1、. 33 圆 331 直线与圆，圆与圆的位置关系 设有直线l和圆心为O且半径为r的圆， 怎样判断直线l和圆O的位置关系？ 观察图 3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离dr 时，直线和圆相离，如圆O与直线 1 l；当圆心到直线的距离dr=时，直线和圆 相切，如圆O与直线 2 l；当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相交，如圆O与 直线 3 l. 在直线与圆相交时， 设两个交点分别为 A、 B.若直线 经过圆心， 则 AB 为直径； 若直线不经过圆心， 如图 3.3-2， 连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦 AB.且在Rt OMAV中，OA为圆的半径r，OM为圆
2、心到 直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理， 有 222 () 2 AB rd-=. 当直线与圆相切时，如图 3.3-3，,PA PB为圆O的切 线，可得P AP B?，.OAPA?，且在RtPOA中， 222 POPAOA?. 如图 3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线， 我们可以证得PATPTB，因而 2 PTPA PB?. 例 1 如图 3.3-5， 已知O 的半径 OB=5cm， 弦 AB=6cm， D 是AB的中点，求弦 BD 的长度。 图 3.3-1 图 3.3-2 图 3.3-3 图 3.3-4 . 解 连结 OD，交 AB 于点 E。 ,BDAD O?是
3、圆心， 1 ,3. 2 ODB BEAEABcm? 在Rt BOE中， OB=5cm,BE=3cm, 22 4.OEOBBEcm? 5,1.ODcmDEcm? 在Rt BDE中，BE=3cm,DE=1cm,10.BDcm? 例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6，且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径. 解 设圆的半径为r，分两种情况（如图 3.3-6） ： （1） 若O在两条平行线的外侧， 如图（1） ，AB=6，CD=2 6， 则由3OMON-=，得 22 9243rr-=，解 得5r =. （2）若O在两条平行线的内侧（含线上） ，AB=6，CD=2 6， 则由3OMON
4、+=，得 22 9243rr-+-=，无解. 综合得，圆的半径为 5. 设圆 1 O与圆 2 O半径分别为, ()R r Rr?，它们可能有哪几种位置关系？ 观察图 3.3-7，两圆的圆心距为 12 OO，不难发现：当 12 OORr?时，两圆相 图 3.3-5 图 3.3-6 图 3.3-7 . 内切，如图（1） ；当 12 OORr?时，两圆相外切，如图（2） ；当 12 OORr?时， 两圆相内含，如图（3） ；当 12 RrOORr? ?时，两圆相交，如图（4） ；当 12 OORr?时，两圆相外切，如图（5）. 例 3 设圆 1 O与圆 2 O的半径分别为 3 和 2， 12 4OO
5、 ?，,A B为两圆的交点，试求 两圆的公共弦AB的长度. 解 连AB交 12 OO于C， 则 12 OOAB?，且C为AB的中点， 设ACx?，则 22 12 9,4,OCxO Cx? 22 12 944OOxx?，解得 3 15 8 x ?. 故弦AB的长为 3 15 2 4 x ?. 练习 1 1.如图 3.3-9，O 的半径为 17cm，弦 AB=30cm，AB 所 对的劣弧和优弧的中点分别为 D、 C， 求弦 AC 和 BD 的长。 2.已知四边形 ABCD 是O 的内接梯形，AB/CD，AB=8cm,CD=6cm, O 的半 径等于 5cm，求梯形 ABCD 的面积。 3.如图 3
6、.3-10，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E， 1,5,60 , o AEcm EBcmDEB?求 CD 的长。 图 3.3-8 图 3.3-9 图 3.3-10 . 4若两圆的半径分别为 3 和 8，圆心距为 13，试求两圆的公切线的长度. 332 点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条 件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个 定点旋转一周就得到一个圆， 这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r； 同时， 到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定 长r的点的轨迹. 我们把符合某一条件
7、的所有的点组成的图形， 叫做符合这个条件的点的轨迹轨迹. 这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的 任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件 的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： （1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的 圆圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过 来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下 面的轨迹： （2）
8、 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹， 是这条线段的垂直平分和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹， 是这条线段的垂直平分 线线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： （3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 例 3 O 过两个已知点A、B， 圆心O的轨迹是什么？画出 它的图形. 分析 如图 3.3-11，如果以点O为圆心的圆经过点A、B， 那么OAOB=；反过来，如果一个点O到A、B两点距离相 等，即OAOB=，那么以O为圆心，OA 为半径的圆一定经 过A、B两点. 这就是说，过A、B点的圆的圆心
9、的轨迹，就是到A、B两点距离相等的点 的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹. 答：经过A、B两点的圆的圆心 O 的轨迹是线段AB的垂直平分线. 练习 2 1画图说明满足下列条件的点的轨迹： （1） 到定点A的距离等于3cm的点的轨迹； （2） 到直线l的距离等于2cm的点的轨迹； （3） 已知直线/ABCD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹. 图 3.3-11 . 2画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹. 习题习题 3.3 A 组组 1 已知弓形弦长为 4，弓形高为 1，则弓形所在圆的半径为（ ） A3 B 5 2 C3 D4 2 在半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为
10、（ ） A4 3 B3 3 C2 3 D3 3 AB 为O 的直径，弦CDAB?，E 为垂足，若 BE=6，AE=4，则 CD 等于（ ） A2 21 B4 6 C8 2 D2 6 4 如图 3.3-12，在O 中，E 是弦 AB 延长线上的一点，已知 OB=10cm,OE=12cm，30 , o OEB?求 AB。 B 组组 1 如图3.3-13，已知在Rt ABC中， 90,5,12, o CACcmBCcm?以 C 为圆心，CA 为半径的圆 交斜边于 D，求 AD。 2 如图3.3-14， 在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm 的弓形铁片，求弓形的弦 AB 的长。 图 3.
11、3-13 图 3.3-12 . 3 如图 3.3-15，ABC内接于O， D 为BC的中点，AEBC?于 E。 求证：AD 平分OAE?。 4 如图 3.3-16，90oAOB?，C、D 是AB的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD。 5 已知线段4ABcm=.画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等 于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这 样的点有几个？ 3.3 圆 练习 1 1取 AB 中点 M，连 CM，MD，则,CMAB DMAB?，且 C，O，M，D 共线， 22 17158,25,9,O
12、MCMDM?5 34,3 34ACcm BDcm?. 2 O 到 AB，CD 的距离分别为 3cm,4cm， 梯形的高为 1cm 或 7cm， 梯形的面积为 7 或 49 2 cm. 3. 半径为 3cm，OE=2cm.,OF=3,2 6CDcm?. 4.外公切线长为 12，内公切线长为4 3. 练习 2 1.(1)以 A 为圆心，3cm 为半径的圆； （2）与l平行，且与l距离为 2cm 的两条平行线； （3） 与 AB 平行，且与 AB,CD 距离相等的一条直线. 2.两条平行直线，图略. 习题 3.3 A 组 图 3.3-16 图 3.3-15 图 3.3-14 . 1B 2.A 3.B 4.AB=8cm. B 组 1.作CMAD?于 M，AB=13cm, 6010 ,133 1313 CMADcm?. 2.AB=120cm. 3.先证BAOEAC? ?，再证OADDAE? ?. 4先证明75 , o AECACE?再证 AE=BF=AC=CD. 5有 2 个，图略.
