1、 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 （必考，（必考，12分）分） 重难专题讲练重难专题讲练 典例精讲典例精讲 类型三类型三 特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题 10年2考：2019.28(3)，2013.28(2) 例例 如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与中，抛物线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与，与 y轴交于点轴交于点C，直线，直线BC的解析式为的解析式为ykx3，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D，对称轴与直线，对称轴与直线BC交交 于点于点E，与，与x轴交于点轴交于点F. (1) 求抛物线的解析式；求抛物
2、线的解析式； 【思维教练】已知【思维教练】已知A，B点坐标，可将抛物线解析式设为交点点坐标，可将抛物线解析式设为交点 式，然后代入式，然后代入C点坐标，求解即可，而点坐标，求解即可，而C点是直线点是直线ykx3与与y 轴的交点，只需令轴的交点，只需令x0求出求出y的值即可求得的值即可求得C点坐标；点坐标； 例题图 解：解：(1)直线直线BC的解析式为的解析式为ykx3，令，令x0，得，得y3， 点点C的坐标为的坐标为(0，3)， 又又抛物线与抛物线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)， 将将C(0，3)代入，得代入，得3
3、a3， 解得解得a1， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3； (2)连接连接AC，x轴上是否存在点轴上是否存在点G，使得，使得ACG是等腰三角形？若存在，求出直线是等腰三角形？若存在，求出直线 CG的解析式；若不存在，请说明理由；的解析式；若不存在，请说明理由； 【思维教练】设出点【思维教练】设出点G坐标，然后表示出坐标，然后表示出AC、CG、AG，当，当 ACG是等腰三角形时，可以分为三种情况，分别以三条边作是等腰三角形时，可以分为三种情况，分别以三条边作 为底边，令其他两边相等列关系式求解，若有解，则存在，将点为底边，令其他两边相等列关系式求解，若有解，则存在，将
4、点 C、G的坐标代入直线解析式即可求解，若无解，则不存在；的坐标代入直线解析式即可求解，若无解，则不存在； 例题图 (2)存在存在 设直线设直线CG的解析式为的解析式为ykxb，点，点G的坐标为的坐标为(g，0)，则，则AG2 (1g)2，AC210， 在在RtCOG中，中，CO3，OGg， 由勾股定理得由勾股定理得CG2CO2OG29g2， 当当ACG为等腰三角形时，分为以下三种情况：为等腰三角形时，分为以下三种情况： 以以AC为底边，则为底边，则AGGC， (1g)29g2，解得，解得g4， G(4，0)， 将将G(4，0)，C(0，3)代入代入ykxb中，得中，得 解得解得 4kb0 b
5、3 ， k3 4 b3 ， y x3， 当当ACG是一个以是一个以AC为底边的等腰三角形时，为底边的等腰三角形时，CG的解析式为的解析式为y x3； 3 4 3 4 以以AG为底边，则为底边，则ACCG， 109g2， 解得解得g1或或g1(舍去舍去)， G(1，0)， 将将G(1，0)，C(0，3)代入代入ykxb中，得中，得 kb0 b3， 解得解得 k3 b3， y3x3， 当当ACG是一个以是一个以AG为底边的等腰三角形时，为底边的等腰三角形时，CG的解析式为的解析式为y3x3； 以以CG为底边，则为底边，则ACAG， 10(1g)2， 解得解得x11 ，x21 ， 点点G的坐标为的坐
6、标为(1 ，0)或或(1 ，0)， 1010 1010 10 将将G(1 ，0)，C(0，3)代入代入ykxb中，可得中，可得y x3. 将将G(1 ，0)，C(0，3)代入代入ykxb中，可得中，可得y x3， 101 3 10 101 3 综上所述，直线综上所述，直线CG的解析式为的解析式为y x3或或y3x3或或y x3或或 y x3； 3 4 101 3 101 3 (3)若点若点P在抛物线上，点在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在点在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得使得PDQ是等边是等边 三角形？若存在，求出点三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若
7、不存在，请说明理由； 【思维教练】要求点【思维教练】要求点P的坐标，由的坐标，由(1)知抛物线的解析式，对称轴及顶点知抛物线的解析式，对称轴及顶点D的坐标，的坐标， 设出点设出点P的坐标，过点的坐标，过点P作作PHDQ于点于点H，由等边三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得PH DH， 可得点可得点H的坐标，而点的坐标，而点P在对称轴的两侧各有一个，求出一个的坐标，另一个由在对称轴的两侧各有一个，求出一个的坐标，另一个由 对称性求出即可；对称性求出即可； 例题图 3 (3)存在存在 由由(1)得抛物线的解析式为得抛物线的解析式为yx22x3(x1)24， 对称轴为对称轴为x1，顶点，顶点D的
8、坐标为的坐标为(1，4)， 点点P在抛物线上，在抛物线上， 设点设点P的坐标为的坐标为(t，t22t3)， 如解图如解图，过点，过点P作作PHDQ于点于点H， PDQ是等边三角形，是等边三角形， PHx轴，且轴，且DHHQ，PH DH， 点点H的坐标为的坐标为(1，t22t3)， DH4(t22t3)t22t1， 3 例题解图 当点当点P在在DQ的右侧时，的右侧时，PHt1， t1 (t22t1)， 即即 t2(2 1)t 10， 解得解得t1 ，t21(舍舍)， 此时点此时点P的坐标为的坐标为( )， 当点当点P在在DQ的左侧时，根据对称性可知，此时点的左侧时，根据对称性可知，此时点P的坐标
9、为的坐标为( ) 3 333 3 3 3 3 3 3 ，11 3 3 3 3 ，11 3 综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为( )或或( )； 3 3 3 ，11 3 3 3 3 ，11 3 例题解图 (4)若点若点H在抛物线的对称轴上，是否存在点在抛物线的对称轴上，是否存在点H使得使得BCH是直角三角形？若存在，是直角三角形？若存在， 求出点求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由； 例题图 【思维教练】分【思维教练】分HCB90、HBC90、CHB90三种情况讨论，利三种情况讨论，利 用直角三角形的性质求解；用直角三角形的性质求解； (4)存在设点存在设点
10、H的坐标为的坐标为(1，h)， 要使要使BCH为直角三角形，可分以下三种情况讨论：为直角三角形，可分以下三种情况讨论： 当当H1CB90，如解图，如解图， 点点D为抛物线顶点，为抛物线顶点，D(1，4)，易得，易得DCBC， 此时点此时点H1与点与点D重合，坐标为重合，坐标为H1(1，4)； 例题解图 当当H2BC90，如解图，如解图， 易得易得BEH2BH2E45，BEBH2， 又又BFEH2， FH2EFBF2， 此时点此时点H2的坐标为的坐标为(1，2)； 例题解图 当当CH3B90，如解图，如解图，过点，过点C作作CMDF于点于点M，M(1，3)， 则则CH3MBH3E90，BH3EF
11、BH390， CH3MFBH3， 又又CMH3BFH390，CH3MH3BF， 例题解图 经检验经检验h1、h2都是原分式方程的根都是原分式方程的根 此时满足条件的点此时满足条件的点H3有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(1， )，(1， ) 综上所述，存在点综上所述，存在点H使得使得BCH是直角三角形，点是直角三角形，点H的坐标为的坐标为(1，4)，(1，2)， (1， )，(1， )； ，即，即 ， H3M CM BF H3F h3 1 2 h 解得解得h1 ，h2 ， 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 (5)设点设点P是第一象限内抛物线
12、上的动点，点是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段是线段BC上一点，是否存在点上一点，是否存在点P使得使得 PCQ是等腰直角三角形？若存在，求出点是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 例题图 【思维教练】要求点【思维教练】要求点Q的坐标，根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角，的坐标，根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角， 一个锐角为一个锐角为45，结合，结合CBOBCO45，从而考虑分三种情况：，从而考虑分三种情况：PCQ 90，PQy轴；轴；CPQ90，CPx轴；轴；CQP90，CPx轴，分轴，分 别进行讨论即可得出结果别进行讨论
13、即可得出结果 (5)存在存在 BOC是等腰直角三角形，且是等腰直角三角形，且BOC90， CBOBCO45， 点点Q在直线在直线BC上，直线上，直线BC解析式为解析式为yx3， 设点设点Q的坐标为的坐标为(t，t3)， 当当PCQ90时，如解图时，如解图，此时点，此时点P与点与点D重合，坐标为重合，坐标为(1，4)，PQy轴，轴， PQCBCO45，此时，此时PCQ是等腰直角三角形，点是等腰直角三角形，点Q与点与点E重合，点重合，点Q 的坐标为的坐标为(1，2)； 例题解图 当当CPQ90，CPx轴时，如解图轴时，如解图，则，则PQy轴，轴， PCQCBO45， 此时此时CPQ是等腰直角三角形
14、，是等腰直角三角形， 点点P的坐标为的坐标为(2，3)，点，点Q的坐标为的坐标为(2，1)； 例题解图 当当CQP90，CPx轴时，轴时，CPQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形 如解图如解图，过点，过点Q作作QQCP， CPQ是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， CQPQ， CQPQ， 点点Q在抛物线的对称轴上，则点在抛物线的对称轴上，则点Q的坐标为的坐标为(1，2) 综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点Q有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(1，2)，(2，1) 例题解图 成都成都10年年中考真题精选中考真题精选 1. (2019成都成都B卷卷28题题)如图，抛物线如图，抛物线yax
15、2bxc经过点经过点A(2，5)，与，与x轴相交于轴相交于B( 1，0)，C(3，0)两点两点 (1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式； (2)点点D在抛物线的对称轴上，且位于在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将轴的上方，将BCD 沿直线沿直线BD翻折得到翻折得到BCD，若点，若点C恰好落在抛物线的对称恰好落在抛物线的对称 轴上，求点轴上，求点C和点和点D的坐标；的坐标； (3)设设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的在抛物线的 对称轴上，当对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线为等边三角形时，求直线BP的函数表达式的函数表达式 第
16、1题图 解：解：(1)由题意，得由题意，得 4a2bc5 abc0 9a3bc0 ，解得解得 a1 b2 c3 ， 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx22x3；(3分分) (2)抛物线与抛物线与x轴的交点为轴的交点为B(1，0)，C(3，0)， BC4，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线x1. 设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与x轴交于点轴交于点H，则点，则点H的坐标为的坐标为(1，0)，BH2，由，由 翻折得翻折得CBCB4， 在在RtBHC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得CH . 点点C的坐标为的坐标为(1，2)，tanCBH . CB2BH2 42222 3 CH
17、 BH 2 3 2 3 CBH60. 由翻折得由翻折得DBH CBH30， 在在RtBHD中，中，DHBH tanDBH2tan30 ， 点点D的坐标为的坐标为(1， )；(7分分) 1 2 2 3 3 (3)如解图如解图，取，取(2)中的点中的点C，D，连接，连接CC， BCBC，CBC60， CCB为等边三角形为等边三角形 分类讨论如下：分类讨论如下： 第1题解图 当点当点P在在x轴上方时，点轴上方时，点Q在在x轴上方，轴上方， 连接连接BQ，CP， PCQ，CCB为等边三角形，为等边三角形， CQCP，BCCC，PCQCCB60. BCQCCP. BCQ CCP. BQCP. 点点Q在抛
18、物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上， BQCQ. CPCQCP. 第1题解图 又又BCBC， BP垂直平分垂直平分CC. 由翻折可知由翻折可知BD垂直平分垂直平分CC， 点点D在直线在直线BP上上 设直线设直线BP的函数表达式为的函数表达式为ykxb(k0)， 则则 解得解得 0kb 2 3 3 kb， k 3 3 b 3 3 ， 直线直线BP的函数表达式为的函数表达式为y ； 3 3 x 3 3 第1题解图 如解图如解图，当点，当点P在在x轴下方时，点轴下方时，点Q在在x轴下方，轴下方， QCP，CCB为等边三角形，为等边三角形， CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB 60. BCPCCQ
19、. BCPCCQ. CBPCCQ. BCCC，CHBC， CCQ CCB30. CBP30. 1 2 第1题解图 设设BP与与y轴相交于点轴相交于点E， 在在RtBOE中，中，OEOB tanCBPOB tan301 ， 点点E的坐标为的坐标为(0， ) 设直线设直线BP的函数表达式为的函数表达式为ykxb(k0)， 3 3 3 3 3 3 由由 0kb 3 3 b ， 解得解得 k 3 3 b 3 3 ， 直线直线BP的函数表达式为的函数表达式为y . 综上所述，直线综上所述，直线BP的函数表达式为的函数表达式为y 或或y .(12分分) 3 3 x 3 3 3 3 x 3 3 3 3 x
20、3 3 第1题解图 典例精讲典例精讲 类型四类型四 特殊四边形存在性问题特殊四边形存在性问题 10年5考：2017.28(3)，2016.28(3)，2015.28(2)，2012.28(2)，2011.28(2) 例例 如图，抛物线如图，抛物线yax2bx5的图象经过的图象经过A(5，0)，B(1，0)两点，顶点坐两点，顶点坐 标为标为M，抛物线的对称轴，抛物线的对称轴l与与x轴交于点轴交于点D，与直线，与直线AC交于点交于点E. (1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； 例题图 【思维教练】要求抛物线的解析式，结合【思维教练】要求抛物线的解析式，结合A，B两点的坐标，设抛物线的解析式为两
21、点的坐标，设抛物线的解析式为 一般式，将两点坐标代入求解即可；一般式，将两点坐标代入求解即可； 解：解：(1)将点将点A(5，0)，B(1，0)代入代入yax2bx5中，中， 得得 ，解得，解得 ， 25a5b50 ab50 a1 b6 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx26x5； (2)将抛物线沿直线将抛物线沿直线AB平移，使得点平移，使得点A落在点落在点B处记为处记为A，此时点，此时点C的对应点为的对应点为C， 求点求点C的坐标，并判断四边形的坐标，并判断四边形AACC的形状，说明理由；的形状，说明理由； 【思维教练】根据平移的性质可知，点【思维教练】根据平移的性质可知，点A平移到点平移
22、到点B的规律与点的规律与点C平移到点平移到点C的规律的规律 一致，即可得到点一致，即可得到点C的坐标，再由的坐标，再由AACC，AACC即可判断四边形的形状；即可判断四边形的形状； 例题图 (2)A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)， AAAB4， 由平移的性质可知由平移的性质可知C(4，5) 四边形四边形AACC是平行四边形是平行四边形 理由如下：理由如下： AACC4，AACC， 四边形四边形AACC是平行四边形；是平行四边形； (3)点点G是坐标平面内一点，当四边形是坐标平面内一点，当四边形ACGM是平行四边形时，求是平行四边形时，求GE的长；的长； 【思维教练】由于平行四边形的两边
23、位置已确定，故点【思维教练】由于平行四边形的两边位置已确定，故点G只有一种情况，利用平只有一种情况，利用平 行四边形的性质求得点行四边形的性质求得点G的坐标，由点的坐标，由点E在直线在直线AC上且在二次函数图象的对称轴上且在二次函数图象的对称轴 上，求得点上，求得点E的坐标，从而即可求得的坐标，从而即可求得GE的长；的长； 例题图 例题解图 (3)如解图如解图，四边形四边形ACGM是平行四边形，是平行四边形， AMCG，AMCG，ACMG，ACMG， A(5，0)，C(0，5)， 点点A向右平移向右平移5个单位，再向上平移个单位，再向上平移5个单位得到点个单位得到点C， 点点M向右平移向右平移
24、5个单位，再向上平移个单位，再向上平移5个单位得到点个单位得到点G， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx26x5(x3)24， 点点M的坐标为的坐标为(3，4)， 点点G的坐标为的坐标为(35，45)，即点，即点G的坐标为的坐标为(2，1)， 设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykxb，由，由A(5，0)，C(0，5)得得yx5， 直线直线AC的解析式为的解析式为yx5，二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为直线x3， E(3，2)，GE ； （32）2（21）2 26 (4)设点设点N是抛物线上一点，点是抛物线上一点，点S是是x轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点N，使得以，使得
25、以A，E，N，S 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由； 例题图 【思维教练】分【思维教练】分NS为平行四边形的边和为平行四边形的边和NS为平行四边形的对角线两种情况讨论为平行四边形的对角线两种情况讨论 结合图形，过点结合图形，过点N作作NTx轴于点轴于点T，由平行四边形的性质得到，由平行四边形的性质得到SNT AED， 从而得到从而得到NTED2，即可得到点，即可得到点N的坐标；的坐标； (4)存在存在 如解图如解图，过点，过点N作作NTx轴，交轴，交x轴于点轴于点T，当，当NS为平行
26、四边为平行四边 形的一条边时，形的一条边时，SNAE，且，且SNAE，则，则NSTEAD， NTx轴，轴，EDx轴，轴， NTSEDA90， 又又SNAE， SNT AED(AAS)， 由由(3)知，知，E(3，2)， D(3，0)，ED2. NTED2. 例题解图 设点设点N的坐标为的坐标为(n，n26n5)， 当点当点N在在x轴上方时，轴上方时， NTn26n52， 解得解得n1 3，n2 3， 此时点此时点N的坐标为的坐标为( 3，2)或或( 3，2)； 当点当点N在在x轴下方时，轴下方时，NTn26n52， 解得解得n33 ，n43 ， 此时点此时点N的坐标为的坐标为(3 ，2)或或(
27、3 ，2)； 6 6 66 22 22 例题解图 如解图如解图，过点，过点N作作NTx轴，交轴，交x轴于点轴于点T，当，当NS是平是平 行四边形的对角线时，则行四边形的对角线时，则NEx轴，轴， 点点N的纵坐标为的纵坐标为2，将其代入抛物线得，将其代入抛物线得NTn26n52， 解得解得n5 3，n6 3， 点点N的坐标为的坐标为( 3，2)或或( 3，2) 综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点N有四个，分别为有四个，分别为( 3，2)，( 3，2)，(3 ，2)，(3 ，2)； 例题解图 66 66 6 622 (5)设点设点G是抛物线的对称轴上一点，点是抛物线的对称轴上一点，点K是
28、平面内一点，是否存在点是平面内一点，是否存在点G，使得以，使得以A， C，G，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明的坐标；若不存在，请说明 理由；理由； 【思维教练】要使以【思维教练】要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需为顶点的四边形是矩形，只需ACG是直角三是直角三 角形即可，可分为角形即可，可分为ACG90，CAG90，CGA90三种情况，三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解；分别利用勾股定理列方程即可求解； 例题图 (5)存在存在 要使以要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，则为顶点的四边形是矩形，则A
29、CG一定是直角三角形一定是直角三角形 点点G在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上， 设点设点G的坐标为的坐标为(3，g)， 由勾股定理得由勾股定理得AC2525250，AG2(53)2g24g2， CG232(g5)2g210g34， 若若ACG90，则，则AC2CG2AG2， 即即50g210g344g2， 解得解得g8， 此时点此时点G的坐标为的坐标为G1(3，8)； 若若CAG90，则，则AC2AG2CG2， 即即504g2g210g34， 解得解得g2， 此时点此时点G的坐标为的坐标为G2(3，2)； 若若CGA90，则，则CG2AG2AC2， 即即g210g344g250， 解得解
30、得g16，g21， 此时点此时点G的坐标为的坐标为G3(3，6)或或G4(3，1)， 综上所述，存在满足题意的点综上所述，存在满足题意的点G，点，点G的坐标分别为的坐标分别为(3，8)，(3，2)，(3，6)， (3，1)； (6)设点设点Q是抛物线上一点，点是抛物线上一点，点R是平面内一点，是否存在四边形是平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形？若是菱形？若 存在，求出点存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 【思维教练】由四边形【思维教练】由四边形AQCR是菱形可确定是菱形可确定AC是对角线，结合是对角线，结合OCOA，过点，过点O作作 OIAC，则，则O
31、I平分平分AC，从而可得点，从而可得点Q在在OI上只需求出上只需求出OI所在直线的解析式，与所在直线的解析式，与 抛物线联立解方程组即可得点抛物线联立解方程组即可得点Q的横坐标，进而可得点的横坐标，进而可得点Q的坐标的坐标 例题图 (6)存在存在 如解图如解图，过点，过点O作作OIAC于点于点I， 四边形四边形AQCR是菱形，是菱形， QR垂直平分垂直平分AC. OAOC5， AICI， OI是是AC的垂直平分线，的垂直平分线， 点点Q、R在在AC的垂直平分线上，的垂直平分线上， 点点Q是直线是直线OI与抛物线的交点与抛物线的交点 例题解图 过点过点I作作II1x轴于点轴于点I1，则，则II1
32、是是AOC的中位线，的中位线， II1 OC ，I1O AO ， 点点I的坐标为的坐标为( ， )， 设直线设直线OI的解析式为的解析式为ytx，将点，将点I的坐标代入，可得的坐标代入，可得t1， 直线直线OI的解析式为的解析式为yx， 1 2 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 联立联立 yx26x5 yx ， 解得解得 x17 29 2 y17 29 2 或 x27 29 2 y27 29 2 ， 存在满足题意的点存在满足题意的点Q，点，点Q的坐标分别为的坐标分别为( )、( ) 7 29 2 ，7 29 2 7 29 2 ，7 29 2 成都成都10年年中考真题精选中考真题精选 1.
33、 (2017成都成都B卷卷28题题)如图如图，在平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线C：yax2bxc 与与x轴相交于轴相交于A，B两点，顶点为两点，顶点为D(0，4)，AB4 ，设点，设点F(m，0)是是x轴的正半轴上轴的正半轴上 一点，将抛物线一点，将抛物线C绕点绕点F旋转旋转180，得到新的抛物线，得到新的抛物线C. (1)求抛物线求抛物线C的函数表达式；的函数表达式； (2)若抛物线若抛物线C与抛物线与抛物线C在在y轴的右侧有两个不同的公共点，求轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；的取值范围； (3)如图如图，P是第一象限内抛物线是第一象限内抛物线C上一点
34、，它到两坐标轴上一点，它到两坐标轴 的距离相等，点的距离相等，点P在抛物线在抛物线C上的对应点为上的对应点为P，设，设M是是C上上 的动点，的动点，N是是C上的动点，试探究四边形上的动点，试探究四边形PMPN能否成为能否成为 正方形，若能，求出正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由的值；若不能，请说明理由 2 第1题图 解：解：(1)AB4 ，且顶点，且顶点D(0，4)在在y轴上，轴上， A，B两点关于原点对称，两点关于原点对称， A(2 ，0)，B(2 ，0)，(1分分) 设抛物线的函数表达式为设抛物线的函数表达式为yax24，把，把A(2 ，0)代入代入 得得08a4，解得，解得a
35、. 抛物线抛物线C的函数表达式为的函数表达式为y x24；(3分分) 2 22 2 1 2 1 2 (2)抛物线抛物线C绕点绕点F(m，0)旋转旋转180得到抛物线得到抛物线C，则抛物线，则抛物线C的顶点为的顶点为D(2m， 4)，开口大小不变，开口方向改变，开口大小不变，开口方向改变， 二次项系数为二次项系数为 ，(4分分) 抛物线抛物线C的函数表达式为的函数表达式为y (x2m)24； 1 2 1 2 将抛物线将抛物线C与抛物线与抛物线C联立方程组联立方程组 y1 2x 24 y1 2（x2m） 24， 整理得整理得x22mx2m280，(5分分) 两抛物线在两抛物线在y轴的右侧有两个不同
36、的交点，轴的右侧有两个不同的交点， b24ac0 x1x20 x1x20 ， 即即 4m24（2m28）0 2m0 2m280 ， 解得解得2m2 ；(7分分) 满足条件的满足条件的m的取值范围为的取值范围为2m0)与与x轴从轴从 左至右依次交于左至右依次交于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，经过点，经过点B的直线的直线y xb与抛物线与抛物线 的另一交点为的另一交点为D. (1)若点若点D的横坐标为的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；，求抛物线的函数表达式； (2)若在第一象限内的抛物线上有一点若在第一象限内的抛物线上有一点P，使得以，使得以A，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形
37、与ABC 相似，求相似，求k的值；的值； (3)在在(1)的条件下，设的条件下，设F为线段为线段BD上一点上一点(不含端点不含端点)，连接，连接AF， 一动点一动点M从点从点A出发，沿线段出发，沿线段AF以每秒以每秒1个单位的速度运动到个单位的速度运动到F， 再沿线段再沿线段FD以每秒以每秒2个单位的速度运动到个单位的速度运动到D后停止当点后停止当点F的坐的坐 标是多少时，点标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？在整个运动过程中用时最少？ 3 3 8 k 第1题图 解：解：(1)由抛物线解析式由抛物线解析式 y (x2)(x4)，得，得A(2，0)，B(4，0)， 直线直线y xb经过点经
38、过点B， b 40 ， 直线直线BD的表达式为的表达式为y ，(2分分) 又又点点D为抛物线为抛物线y (x2) (x4)与直线与直线BD的交点，点的交点，点D 的横坐标为的横坐标为5， y ，即，即D(5，3 )， 8 k 3 3 3 3 4 3 3 3 3 x4 3 3 8 k 3 3 (5)4 3 3 3 3 3 将点将点D坐标代入抛物线解析式中得坐标代入抛物线解析式中得k ， 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y (x2)(x4)；(4分分) 8 3 9 3 9 (2)如解图如解图，连接，连接AP，BP，设，设AP与与y轴交于点轴交于点E，由抛物线，由抛物线y (x2)(x4)
39、得得C(0，k)， P在第一象限的抛物线上，在第一象限的抛物线上，ABP90， 有有PABABC和和APBABC两种情况，两种情况， 8 k 第1题解图 i)当当PABABC时，有时，有PABABC，APCB， B(4，0)，C(0，k)， 直线直线BC的解析式为的解析式为y (x4)， 又又A(2，0)，直线直线AP的解析式为的解析式为y (x2)， 点点P为直线为直线AP与抛物线的交点，与抛物线的交点， 4 k 4 k 联立联立 yk 8（x2） （x4） yk 4（x2） ， 解得解得 x6 y2k， P(6，2k)，AP ，(6分分) PABABC， ， 又又AB6，BC ， （26）
40、2（02k）22 16k2 PA AB AB BC 2 16k 2 16k2 6 6 16k2 ， 解得解得k ， 又又k0，k ；(7分分) 2 2 ii)当当APBABC时，时，PABBAC， 点点E是点是点C关于关于x轴的对称点，即轴的对称点，即E(0，k)，直线直线AP的表达式为的表达式为y (x2)， 2 k 联立联立 yk 8（x2） （x4） yk 2（x2） ， 解得解得 x8 y5k， P(8，5k)，AP 8（2）2（5k0）25 4k2， APBABC， ， AP AB AB AC 又又AB6，AC ， 4k2 5 4k2 6 6 4k2， 又又k0，k ， 4 5 5
41、4 5 5 综上所述，综上所述，k的值为的值为 或或 ；(8分分) 4 5 5 2 解得解得k ， (3)如解图如解图，过点，过点D作作DNy轴于点轴于点N，过，过F作作FGDN于点于点G，过，过A作作AEDN 于点于点E，BD与与y轴的交点记为点轴的交点记为点K . BD与与y轴交于点轴交于点K， K的坐标为的坐标为(0， )， KO ， tanKBO ， KBO30， 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3 43 KO BO KBO30， 又又DNAB， GDFKBO30， 第1题解图 又又GFDG， DFG是直角三角形，是直角三角形， GF DF， GFAF DFAFAE，(10分分) 又又点点M的运动时间为的运动时间为 AF DF， 当当F的位置位于的位置位于AE与与BD的交点上时，点的交点上时，点M在整个运动过程中用时最少，在整个运动过程中用时最少， 即即 DFAFAE， 此时此时F点的横坐标为点的横坐标为2，代入，代入y 中得中得y2 ， 当点当点F的坐标为的坐标为(2，2 )时，点时，点M在整个运动过程中用时最少在整个运动过程中用时最少(12分分) 1 2 1 2 AF 1 DF 2 1 2 1 2 34 3 33 x 3 3 点击链接至针对训练点击链接至针对训练 W 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
