1、4.2.14.2.1 等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 03 核心素养微专题核心素养微专题( (四四) ) 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.判断给定的数列an是等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d是常数(nN*). (2)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数). (3)前n项和法:数列an的前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数且A2+B20). (4)等差中项法:an+an+2=2an+1(nN*). 2.若数列an,bn
2、为等差数列且项数相同,则kan,anbn,pan+qbn都是 等差数列. 3.判断给定的数列an是等比数列的方法 (1)定义法: +1 =q(常数 q0). (2)通项公式法:an=kqn(k,q 为常数,且 kq0). (3)中项法:an an+2=+1 2 (nN*). (4)前 n 项和法:数列an的前 n 项和为 Sn=A-Aqn(常数 A0,公比 q1). 4.若数列an,bn为等比数列且项数相同,则kan(k0), 2 , 都是等比数 列. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 等差等差(比比)数列的判断与证明数列的判断与证明 【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)
3、已知数列an满足a1=1,an+1=4an+3n-1, bn=an+n. (1)证明:数列bn为等比数列; (2)求数列an的前n项和. (1)证明 bn=an+n,bn+1=an+1+n+1.又 an+1=4an+3n-1, +1 = +1+1 + = (4+3-1)+1 + = 4(+) + =4.又 b1=a1+1=1+1=2, 数列bn是首项为 2,公比为 4的等比数列. (2)解 由(1)知,bn=24 n-1 , an=bn-n=24 n-1 -n, Sn=a1+a2+an=2(1+4+42+4 n-1 )-(1+2+3+n) =2(1-4 ) 1-4 (+1) 2 = 2 3(4
4、 n-1)-1 2n 2-1 2n. 解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差 (比)数列的方法常用定义法. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路 是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、 整理,最终化归为用定义法证明. 【对点训练1】(2019全国,理19)已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. (1)证明 由题设得 4(an+1+bn+1)
5、=2(an+bn), 即 an+1+bn+1=1 2(an+bn). 又因为 a1+b1=1,所以an+bn是首项为 1,公比为1 2的等比数列. 由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即 an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为 a1-b1=1,所以an-bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解 由(1)知,an+bn= 1 2-1,an-bn=2n-1.所以 an= 1 2(an+bn)+(an-bn)= 1 2 +n-1 2, bn=1 2(an+bn)-(an-bn)= 1 2 -n+1 2. 热点二热点二 等差数列的通项及求和等差数列的通项及求和
6、【例2】(2019全国,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求an的通项公式; (2)若a10,求使得Snan的n的取值范围. 解 (1)设an的公差为d. 由S9=-a5,得a1+4d=0. 由a3=4,得a1+2d=4. 可得a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= 由a10知d100的正整数n 的最小值. 解 (1)给出的通项公式为an=2n+4,a1=6,a2=8符合题意. 因为对任意nN*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2, 所以an是公差为2的等差
7、数列. 对任意m,nN*且mn, am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2, 所以an是“Q数列”. (2)因为an是等差数列,所以 Sn=(6+2+4) 2 =n2+5n(nN*). 因为Sn单调递增,且S7=72+57=84100, 所以n的最小值为8. 注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容: an=3n+3,Sn=3 2n 2+9 2n,n 的最小值为 7; an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6. 热点三热点三 等比数列的通项及求和等比数列的通项及求和 【例3】(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8. (1
8、)求an的通项公式; (2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和 S100. 解 (1)设an的公比为q. 由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8. 解得q= (舍去),q=2. 因为a1q2=8,所以a1=2. 所以an的通项公式为an=2n. (2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以 S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100) =0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480. 1 2 解题心得1.已知等比数列前几项或者前几
9、项的关系,求其通项及前n项和时, 只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可. 2.若已知条件没有明确数列an是等比数列,而是已知an=f(Sn)的关系式,在 转化此条件时,通常有两种思路,一是将an用Sn-Sn-1代替,二是由an=f(Sn)推出 an-1=f(Sn-1),两式作差,消去Sn. 【对点训练3】(2020四川绵阳三模,理17)若数列an的前n项和为Sn,已知 a1=1,an+1=2 3Sn. (1)求 Sn; (2)设 bn= 1 ,求证:b1+b2+b3+bnSk+1且Sk+1Sk+1,即SkSk+ak+1,从而ak+10; 同理,若使Sk+1Sk+2,即Sk+
10、10. 若选:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,又a5=-1,则可得a1=-13,d=3, 所以an=3n-16, 当k=4时,能使a50成立; 若选:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列an为递减数列, 故不存在ak+10; 若选:由 S5=-25=5( 1+5) 2 =5a3,解得 a3=-5,从而 an=2n-11,所以当 k=4 时,能 使 a50 成立. 解题心得从三个给出的选择性条件中,选择自己好理解的条件是解题的关 键,将已知的条件通过逻辑推理进行转换是解题的突破口,较强的运算能力 是拿到满分的重要保证. 【对点训练 5】(2020 山东枣庄二模,17)在S4是
11、 a2与 a21的等差中项;a7 是3 3 与 a22的等比中项;数列a2n的前 5 项和为 65 这三个条件中任选一个, 补充在横线中,并解答下面的问题. 已知an是公差为 2 的等差数列,其前 n 项和为 Sn, . (1)求 an; (2)设 bn= 3 4 an,是否存在 kN*,使得 bk27 8 ?若存在,求出 k 的值;若不存在, 说明理由. 解 (1)若选S4是 a2与 a21的等差中项,则 2S4=a2+a21, 即 2 4a1+43 2 2 =(a1+2)+(a1+202).解得 a1=3.所以 an=3+2(n-1)=2n+1. 若选a7是3 3 与 a22的等比中项,则
12、7 2 = 3 3 a22, 即(a1+62)2= a1+3-1 2 2 (a1+212).解得 a1=3. 所以an=3+2(n-1)=2n+1. 若选数列a2n的前5项和为65,则a2+a4+a6+a8+a10=65, 即5a1+25d=65,解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1. (2)不存在.理由如下,bn= 3 4 an=(2n+1) 3 4 . bn+1-bn=(2n+3) 3 4 +1 -(2n+1) 3 4 = 3 4+13(2n+3)-4(2n+1)= 3 4+1(5-2n). 所以bn+1bn可转化为bn+1-bn0,即5-2n0,解得nb2b1; bn+1b
13、n可转化为bn+1-bn0,即5-2n2. 5,则n=3,4,5,即 b3b4b5. 所以bn中的最大项为 b3=(23+1) 3 4 3 = 727 64 . 显然 b3=727 64 827 64 = 27 8 . 所以nN*,bn27 8 . 核心素养微专题核心素养微专题( (四四) ) 求解等差、等比数列的应用题 【例1】(2020安徽合肥一中模拟,文12)如图所示,一条螺旋线是用以下方 法画成的:ABC是边长为2的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3是分别以A,B,C 为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈,然 后又以A为圆心,AA3为半
14、径画圆弧,这样画到第n圈,则所得螺旋线的 长度ln为( ) A.(3n2+n) B.2(3n2+n) C.(3 2+) 2 D.(3 2-+1) 2 答案 B 解析 第一圈的三段圆弧为CA1,A1A2,A2A3,第二圈的三段圆弧为 A3A4,A4A5,A5A6,第n圈的三段圆弧为A3(n-1)A3n-2,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n.各段圆 弧的长度分别为 2 2 3 ,4 2 3 ,6 2 3 ,8 2 3 ,10 2 3 ,12 2 3 ,(6n-4) 2 3 ,(6n-2) 2 3 ,6n 2 3 , 此数列是以4 3 为首项,4 3 为公差,项数为 3n 的等差数列, 则 l
15、n= 22 3 +62 3 3 2 =2(3n2+n),故选 B. 核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基 础上,从题目所给的几何图形中通过“数学抽象”得到一组数据;再通过“数 学建模”将问题转化为等差数列模型;然后对等差数列模型的各项数值通 过“数据分析”得到等差数列的项数和公差;最后通过“数学运算”得出答案. 【跟踪训练1】(2019四川绵阳模拟,理16)如图,互不相同的点A1,A2,An, 和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式
16、是 . 答案 an= 3-2 解析 设11=S, a1=1,a2=2,OAn=an, OA1=1,OA2=2. 又易知OA1B1OA2B2, 11 22 = (1)2 (2)2 = 1 2 2 = 1 4 . 梯形1122=311=3S. 所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等,且OA1B1OAnBn, 1 = 11 = +3(-1) = 1 3-2 . 1 = 1 3-2 ,an= 3-2. 【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1 的中点,E1,F1,G1分别为EB1,FB1,B1G的中点,E2,F2,G2分别为E1B1,F
17、1B1,B1G1 的点,依此类推,令三棱锥B-A1B1C1的体积为V1,三棱锥F-EB1G的体积 为V2,三棱锥的体积为F1-E1B1G1的体积为V3,则 V1+V2+V3+Vn=( ) A. 288-18 1 4 -2 3 B. 288-18 1 4 -1 3 C. 288-36 1 8 -1 7 D. 576-9 1 8 -2 7 答案 C 解析 由题意得V1=1 3 1 2 666=36.因为E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中 点,所以三棱锥 F-EB1G 的体积为 V2=1 8V1; E1,F1,G1分别为 EB1,FB1,B1G 的中点,所以 V3=1 8V2; E2,F
18、2,G2分别为 E1B1,F1B1,B1G1的中点,所以 V4=1 8V3;,Vk+1= 1 8Vk. 所以 V1,V2,V3,Vn成等比数列,且首项为 36,公比为1 8, 所以 Sn= 36 1- 1 8 1-1 8 = 288-36 1 8 -1 7 .故选 C. 核心素养分析本例考查三个核心素养,考生在读懂题意的基础上,需要从题 目所给的正方体中通过“数学抽象”得到三棱锥的一组体积数据;再通过“数 学建模”将问题转化为等比数列模型;然后对等比数列通过“数学运算”得出 答案. 【跟踪训练 2】在数列an中,a1=1,前 n项和 Sn满足 3x(Sn+1-1)=(2x+3) Snx0,x-3 2,nN * .令 f(x)= +1 ,则 f(x)= . 答案 2+3 3 解析 由题知,当 n=1 时,3x(a1+a2-1)-(2x+3)a1=0, 因为 a1=1,所以 a2=2+3 3 , 所以 2 1 = 2+3 3 . 当 n2 时,有 3x(Sn+1-1)-(2x+3)Sn=0, 3x(Sn-1)-(2x+3)Sn-1=0, -得 3xan+1-(2x+3)an=0,即 +1 = 2+3 3 ,于是 f(x)=2+3 3 .
