1、第六章计数原理 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质二项式系数的性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.在(a-b)20的展开式中,与第 6项二项式系数相同的项是( ) A.第 15项 B.第 16 项 C.第 17项 D.第 18 项 解析第 6项的二项式系数为 ,与它相等的为倒数第 6项,即第 16 项. 答案 B 2.(2020 四川高三三模) - 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是 ( ) A.-15 B.-20 C.15 D.20 解析因为只有第 4项的二项式系数最大, 得 n=6, 所以 x2- n的展开式的通项为 Tk+1= - - =(-
2、1)k x12-3k. 令 12-3k=0得 k=4, 所以展开式中的常数项是(-1)4 =15. 故选 C. 答案 C 3.(x-1)11的展开式中 x的偶次项系数之和是( ) A.-2 048 B.-1 023 C.1 024 D.-1 024 解析(x-1)11= x11+ x10 (-1)+ x9 (-1)2+ (-1)11,x 的偶次项系数为负数,其和为-210=-1 024. 答案 D 4.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,则 a8等于 ( ) A.180 B.-180 C.45 D.-45 解析(2-x)10= 210(-x)0+ 29(-x)1+ 22
3、(-x)8+ 2(-x)9+ (-x)10, a8= 22=4 =4 =445=180. 答案 A 5.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2的值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析 x3=2+(x-2)3,a2= 2=6. 答案 B 6.(2020 江西南昌高三模拟)在 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则 x3的系 数为 ( ) A.15 B.45 C.135 D.405 解析令 x=1,代入 ,可得各项系数和为 4n,展开式的各项的二项式系数和为 2n, 由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比
4、为 64, 所以 =64,解方程可得 n=6, 则 的展开式的通项公式为 Tk+1= x6-k( ) x6-k 3k - =3k - . 令 6- k=3,解得 k=2, 所以 x3的系数为 32 =915=135. 故选 C. 答案 C 7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则 a0+a2+a4+a2n= . 解析令 x=1,得 3n=a0+a1+a2+a2n-1+a2n, 令 x=-1,得 1=a0-a1+a2-a2n-1+a2n, +得 3n+1=2(a0+a2+a2n), 所以 a0+a2+a2n= . 答案 8.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a
5、3x3+a4x4,则 a0+a1+a2+a3的值为 . 解析令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=1. 又 Tk+1= (-3)4-k(2x)k,当 k=4 时,x4的系数 a4=16. 由-得 a0+a1+a2+a3=-15. 答案-15 9.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则 n的值 为 . 解析(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为 + =210,令(x+3y)n中 x=y=1,则由题设 知,4n=210,即 22n=210,解得 n=5. 答案 5 10.已知(1+m )n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为 256,
6、展开式中含 x的项的系数为 112. (1)求 m,n的值; (2)求展开式中奇数项的二项式系数之和; (3)求(1+m )n(1-x)的展开式中含 x2的项的系数. 解(1)由题意可得 2n=256,解得 n=8.Tk+1= mk ,含 x项的系数为 m2=112,解得 m=2或 m=-2(舍去). 故 m,n的值分别为 2,8. (2)展开式中奇数项的二项式系数之和为 =28-1=128. (3)(1+2 )8(1-x)=(1+2 )8-x(1+2 )8, 所以含 x2的项的系数为 24- 22=1 008. 能力提升练 1.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,且 a1+a
7、2+a6=63,则实数 m的值为( ) A.1 或 3 B.-3 C.1 D.1 或-3 解析令 x=0,得 a0=(1+0)6=1.令 x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+a6.又 a1+a2+a3+a6=63, (1+m)6=64=26,m=1或 m=-3. 答案 D 2.在(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 128,则二项式系数最大的项的系数为( ) A.-960 B.960 C.1 120 D.1 680 解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为 128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为 256,即 2n=256,n=8,则(1-2x)8的展开式
8、中二项式系数最大的项为第 5项,且 T5= (-2)4x4=1 120 x4,即二 项式系数最大的项的系数为 1 120,故选 C. 答案 C 3.(多选)(2020山东寿光现代中学高二期中)关于(a-b)11的说法,正确的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为 2 048 B.展开式中只有第 6项的二项式系数最大 C.展开式中第 6项和第 7项的二项式系数最大 D.展开式中第 6项的系数最大 解析(a-b)11的展开式中的二项式系数之和为 211=2 048,故 A正确; 因为 n=11为奇数,所以展开式中有 12项,中间两项(第 6项和第 7 项)的二项式系数相等且最大, 故 B 不正确
9、,C正确;展开式中第 6 项的系数为负数,不是最大值,故 D 不正确.故选 AC. 答案 AC 4.已知 0a1,方程 a|x|=|logax|的实根个数为 n,且 (x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则 a1等于( ) A.-10 B.9 C.11 D.-12 解析作出 y=a|x|(0a0,b0)的展开式中只有第 6项的二项式系数最大,且展 开式中的第 3项的系数是第 4项的系数的 3 倍,则 ab的值为 . 解析展开式中只有第 6项的二项式系数最大,故 n=10, (a0,b0)的展开式的通项为 Tk+1= (
10、ax)10-k ( ) - x10-2k. 故 - =3 - , 化简得到 ab=8. 答案 8 6.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+a11x10,若数列 a1,a2,a3,ak(1k11,kZ)是一个单调递增数列,则 k 的最大值是 . 解析(1+x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数,当 n=10 时,展开式的第六项的二项式系数最大, 故 k的最大值为 6. 答案 6 7.在 9x- n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 256,则展开式中 x 的系数为 . 解析因为二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以 2n-1=256,解得 n=9.所以 9x- 9的
11、展开式中,通项为 T k+1= (9x)9-k - 99-k - k - .令 9- k=1,解得 k=6,所以展开 式中 x 的系数为 93 - 6=84. 答案 84 8.已知 x+ n的展开式的二项式系数之和为 256. (1)求 n; (2)若展开式中常数项为 ,求 m的值; (3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7项,求 m的取值情况. 解(1)二项式系数之和为 2n=256,可得 n=8. (2)设常数项为第 k+1 项,则 Tk+1= x8-k k= mkx8-2k, 故 8-2k=0,即 k=4,则 m4= ,解得 m= . (3)易知 m0,设第 k+1项
12、系数最大. 则 - - 化简可得 - k . 由于只有第 6项和第 7 项系数最大, 所以 - 即 所以 m只能等于 2. 素养培优练 (2020江苏扬州中学高三三模)(1)已知(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 1 4,求 n 的值. (2)记(1-2x)2n+1=a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1,nN*, 求|a0|+|a1|+|a2n+1|; 设 ak=(-2)kbk,求和:1 b0+2 b1+3 b2+(k+1) bk+(2n+2) b2n+1. 解(1)(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 14, ,解得 n=4. (2)由题意 (1+2x)2n+1=|a0|+|a1|x+|a2n+1|x2n+1, 令 x=1,得|a0|+|a1|+|a2n+1|=32n+1. 由题意 ak= (-2)k,又 ak=(-2)kbk, bk= . (k+1)bk=(k+1) =k =k - - - =(2n+1) - ,k0, 1 b0+2 b1+3 b2+(k+1) bk+(2n+2) b2n+1=1 +2 +3 +(k+1) +(2n +2) + + +(2n+1) + =22n+1+(2n+1)22n=(2n+3) 22n.
