1、7.2 离散型随机变量及其分布列 第2课时 课标阐释 思维脉络 1.理解取有限个值的离散型 随机变量及其分布列的概 念.(数学抽象) 2.了解分布列对于刻画随机 现象的重要性.(数学抽象) 3.掌握离散型随机变量分布 列的表示方法和性质.(数学 运算) 4.理解两点分布.(逻辑推理) 激趣诱思 知识点拨 利用随机变量研究某类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件 产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些问题有什 么特点? 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果. 激趣诱思 知识点拨 一、概率分布列 1.分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,xn,我们称X取
2、每 一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,n为X的概率分布列,简称分布 列,分布列的表格表示如下: X x1 x2 xn P p1 p2 pn 激趣诱思 知识点拨 名师点析对分布列的理解应注意的问题 (1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机 现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表 格、等式P(X=xi)=pi和图象表示. (2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能 的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了 随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数 字特征的基础. 激趣诱思 知识点拨 2.离
3、散型随机变量分布列的性质 (1)pi0,i=1,2,n; (2)p1+p2+pn=1. 名师点析对分布列性质的理解 1.离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要 依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求 出分布列中的未知数. 2.离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型 随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率之和. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)一个盒子中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红 球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒 子中随机取出一个球.若取出红球得1分,取出黄球得0分,取
4、出绿球 得-1分,试写出从该盒子中随机取出一球所得分数的分布列. 解:设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n,红球的个数为4n,球的总 数为7n,=1,0,-1,所以 P(=1)=4n 7n = 4 7,P(=0)= n 7n = 1 7,P(=-1)= 2n 7n = 2 7,所以 的分布列为 -1 0 1 P 激趣诱思 知识点拨 (2)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则m的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析:由概率分布列的性质知,1 4+m+ 1 3 + 1 6=1,解得 m= 1 4. 答案:C 激趣诱思 知识点拨 二、两点分布 对
5、于只有两个可能结果的随机试验,用 A 表示“成功”,A表示“失败”, 定义X= 1,A 发生, 0,A发生. 如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如下表 所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或01分布. 激趣诱思 知识点拨 微练习 设某试验成功率是失败率的2倍,用随机变量去描述一次试验的成 功次数,则P(=0)等于( ) A.0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析:由题意知=0表示试验失败,=1表示试验成功,设失败率为p, 则成功率为2p,的分布列如下. 0 1 P p 2p 由 p+2p=1,得 p=1 3,故 P(=0)= 1 3. 答案:C 探究
6、一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 例1从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱 中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球 输1元,取出黄球无输赢. (1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列; (2)求出赢钱(即X0时)的概率. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)依题意, 当取到2个白球时,随机变量X=-2; 当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1; 当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1; 当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2; 当取到
7、2个黑球时,随机变量X=4. 所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. P(X=-2)= C6 2 C12 2 = 5 22,P(X=-1)= C6 1C21 C12 2 = 2 11, P(X=0)= C2 2 C12 2 = 1 66,P(X=1)= C6 1C41 C12 2 = 4 11, P(X=2)=C4 1C21 C12 2 = 4 33,P(X=4)= C4 2 C12 2 = 1 11. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P 5 22 2 11 1 66 4 11 4 33 1 11 (2)P(X0)=
8、P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)= 4 11 + 4 33 + 1 11 = 19 33.所以赢钱的 概率为19 33. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定X=xi的 意义; (2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率 P(X=xi)=pi(i=1,2,n); (3)列成表格的形式. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取 出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列. 解:X
9、的可能取值为 1,2,3,4,5,则 P(X=1)=1 5, P(X=2)=41 54 = 1 5, P(X=3)=431 543 = 1 5, P(X=4)=4321 5432 = 1 5, P(X=5)=43211 54321 = 1 5. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质 例2设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求2X+1的分布列. 解:由分布列的性质知, 0.2+0.1+0
10、.1+0.3+m=1,解得m=0.3. 当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9, 故2X+1的分布列为 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若例2的条件不变,求随机变量=|X-1|的分布列. 解:由例2,知m=0.3.列表为 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 故P(=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3, P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=P(X=3)=0.3, P(=3)=P(X=4)=0.3. 故=|X-1|的分布列为 0 1
11、2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注 意检验,以保证每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各 随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款 期数的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.12 0.24 0.18 0.21 0.25 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付 款,其利润为250元
12、;分4期或5期付款,其利润为300元.若表示经销 一件该商品的利润,求的分布列. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:由题意得,的可能取值为200,250,300, 则P(=200)=P(=1)=0.12, P(=250)=P(=2)+P(=3)=0.24+0.18=0.42, P(=300)=P(=4)+P(=5)=0.21+0.25=0.46, 故的分布列为 200 250 300 P 0.12 0.42 0.46 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两点分布两点分布 例3一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,
13、用1表示摸出红球,即 X= 0,摸出白球, 1,摸出红球.求 X 的分布列; (2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示 “两个球不全是白球”,求Y的分布列. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)由题意知 P(X=0)=3 7,P(X=1)= 4 7. 故X的分布列为 X 0 1 P 3 7 4 7 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)由题意知 P(Y=0)=C3 2 C7 2 = 1 7, P(Y=1)=1-P(Y=0)=6 7. 故 Y 的分布列为 Y 0 1 P 1 7 6 7 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感
14、悟 两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3在掷一枚图钉的随机试验中,令 X= 1,针尖向上, 0,针尖向下. 若针尖向上的概率为2 5,试写出随机变量 X 的分布列. 解:依题意,P(X=1)=2 5,P(X=0)=1- 2 5 = 3 5.故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 3 5 2 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分布列在实际生活中的应用分布列在实际生活中的应用 典例某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大
15、表明质 量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新 配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并 测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果. A配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 8 20 42 22 8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 B配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率; (2)已知用B配方生产的一件
16、产品的利润y(单位:元)与其质量指标 值 t 的关系式为 y= -2,90 94, 2,94 102, 4,102 110 从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分 布列.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 质量指标值落入相应组的概率) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 22+8 100 =0.3,所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为32+10 100 =0.42, 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的
17、估计值为 0.42. (2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间 90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 故X的分布列为 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 本题已知条件中有表格,有函数关系式,出现的概念、术 语较多,是比较综合的一道统计概率问题.解答此类问题的技巧和 关键在于理解题意,明确各种术语的联系,利用求频率及分布列的 思路和方法,逐步求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成
18、当堂检测 1.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则P(|X-3|=1)=( ) A. 7 12 B.1 6 C.1 4 D. 5 12 解析:依题意,m=1-1 3 1 4 1 6 = 1 4,则 P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= 1 4 + 1 6 = 5 12. 答案:D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数). X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列结论错误的是( ) A.a=0.1 B.P(X2)=0.7 C.
19、P(X3)=0.4 D.P(X1)=0.3 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.若随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= 2,i=1,2,3,则 P(X=2)= . 解析:由分布列的性质,可得 1 2 + 2 2 + 3 2=1,解得 a=3,故 P(X=2)= 2 2 = 1 3. 答案:1 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.设为一个离散型随机变量,其分布列为 -1 0 1 P 1 2 1-2q q2 则P(0)= . 解析:由分布列的性质,得 1-2q0,q20,1 2+(1-2q)+q 2=1, 解得 q=1- 2 2 或 q=1+ 2 2 (舍
20、去). 故 P(0)=P(=-1)+P(=0)=1 2+1-2 1- 2 2 = 2 1 2. 答案: 2 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 , 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再 取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在 每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止所需要的取球 次数. (1)求袋中所有的白球的个数. (2)求随机变量的分布列. (3)求甲取到白球的概率. 1 7 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)设袋中有 n 个白球, 由题意知1 7 =
21、 C 2 C7 2 = (-1) 2 76 2 = (-1) 76 , 解得 n=3 或 n=-2(舍去).故袋中所有的白球的个数为 3. (2)依题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5, 则 P(=1)=3 7,P(=2)= 43 76 = 2 7, P(=3)=433 765 = 6 35, P(=4)=4323 7654 = 3 35,P(=5)= 43213 76543 = 1 35. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 故的分布列为 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白 球.记“甲取到白球”为事件 A,则 P(A)=P(=1)+P(=3)+P(=5)=22 35.
