1、.广西百色市高三年级2019届摸底调研考试数学理试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3函数的图象大致为（ ） 4已知是等差数列，则该数列的前14项的和（ ）A52 B104 C56 D1125设函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小正周期是 B图象关于直线对称 C图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D函数在区间上是增函数6若展开式存在常数项，则的最小值
2、为（ ）A3 B4 C5 D67已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（ ）A2 B C D8在区间上随机地选择一个数，则方程有一正根与一负根的概率为（ ）A B C D 9若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（ ）A2 B C D10如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）平面平面；平面；异面直线与所成角的取值范围是；三棱锥的体积不变.A B C D11已知函数的图象与过原点的直线恰有两个交点，设这两个交点的横坐标的最大值为（弧度），则（ ）A B C0 D212已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、
3、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知，则向量在的方向上的投影为 .14已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为 .15设变量满足约束条件，则的最大值是 . 16已知椭圆方程为，双曲线的方程，他们有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，求的值.18.如图，在四棱锥中，四边形为平行
4、四边形，为直角三角形且，是等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值.19在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品进行改良，为了检查改良效果，从中随机抽取100件作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（1）求的值；（2）根据样本数据，估计样本中个体的重量的众数与平均值；（3）从这个样本中随机抽取3个个体，其中重量在内的个体的个数为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）20.已知抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2
5、）记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在，使得（），且都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.21设函数（，为自然对数的底数）.（1）证明：当时，；（2）讨论的单调性；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.22在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过在平面直角坐标坐标为的点，且直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）若，求的值.23已知函数，.（1）解不等式；（2）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.参考答案1.A 2.D 3.A 4.D 5.B
6、6.C 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.C13. 因为，所以向量在的方向上的投影.14.6 数列为正项的递增等比数列，即解得，则公比，则，即，得，此时正整数的最大值为6.15.8 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令，可得，平移直线，由图象可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，且，当直线经过可行内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，且，所以，故，因此的最大值为8.16. 由题意可知则，又由三边关系，可得解得.由离心率的定义可得，因为，所以，则，因此的取值范围是.17.解：（1），周期为.因为，所以，所以所求函数的单调递减区间
7、为.（2）因为，又，所以，所以，又因为，由正弦定理可得，由可得.18.（1）证明：取中点，连，为等边三角形，又，平面，又平面，.（2）解：，为中点，结合题设条件可得，.如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，得，设平面的一个法向量，则即，.设平面的一个法向量，由即，.设二面角的平面角为，则由图可知，.19.解：（1）由题意，得，解得.（2）由最高矩形所对应区间中点的横坐标为25，可估计样本重量约为25，而100件样本重量的平均值为（克），故估计样本中个体重量的平均值约为29.6克.（3）利用样本估计总体，该样本中个体的重量在内的概率为0.2，则，的分布列为：0123即.20.解：（1）
8、依题意，椭圆：中，得，则，得，即故抛物线的方程为.（2）设：，联立方程消去，得，且，又，则，即，代入得，消去得，易得，则由，解得或（舍），将代入得，又由题意可得，所以解得或.故存在满足题意的实数，其范围是. 21.（1）证明：，令，则当时，所以在上单调递增，又，所以，从而，.（2）解：,当时，在上单调递减，当时，由得.当时，单调递减，当时，单调递增.（3）解：由（1）知，当时，当，时，故当在区间内恒成立时，必有当时，在上单调递减，而，所以此时在区间内不恒成立当时，令（）当时，因此，在区间上单调递增，又因为，所以当时，即恒成立.综上，的取值范围为.22.解：（1）由，得，曲线的直角坐标方程为.直线的倾斜角为且过点，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，设两点对应的参数分别为，则有，又，即，解得或（舍去），的值为2.23.解：（1）由，得或，得或，所以不等式的解集为或.（2）因为对任意，都有，使得成立，所以又，所以，解得或，所以实数的取值范围为.
