1、 第 1 页（共 33 页） 初二三角形所有知识点总结和常考题初二三角形所有知识点总结和常考题 知识点：知识点： 1.三角形：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形. 2.三边关系：三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫 做三角形的高. 4.中线：中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形
2、的稳定性：三角形的形状是固定的， 三角形的这个性质叫三角形的稳定 性. 7.多边形：多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外 角. 10.多边形的对角线：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式
3、公式与性质：与性质： 三角形的内角和：三角形的内角和为 180 三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n180 多边形的外角和：多边形的外角和为 360. 多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引(3)n条对角 线，把多边形分成(2)n个三角形.n边形共有 (3) 2 n n 条对角线. 常考题： 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第 三边的是（ ） A13cm
4、 B6cm C5cm D4cm 2 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示， 若3=50， 则1+2= （ ） 第 2 页（共 33 页） A90 B100 C130 D180 3已知如图，ABC 为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去C，则1+ 2 等于（ ） A315 B270 C180 D135 4如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A B C D 5如图，在四边形 ABCD 中，A+D=，ABC 的平分线与BCD 的平分线交 于点 P，则P=（ ） A90 B90+ C D360 6如图，RtABC 中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点 A
5、 落在边 CB 上 A 处，折痕为 CD，则ADB=（ ） A40 B30 C20 D10 7如图，在锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE 相交 第 3 页（共 33 页） 于一点 P，若A=50，则BPC=（ ） A150 B130 C120 D100 8如图，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA=15 米，OB=10 米，A、B 间的距离不可能是（ ） A20 米 B15 米 C10 米 D5 米 9将一个 n 边形变成 n+1 边形，内角和将（ ） A减少 180 B增加 90 C增加 180 D增加 360 10一
6、个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条 数是（ ） A27 B35 C44 D54 11一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A内角和增加 360 B外角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 180 12一个三角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一定是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 13如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2340的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A13 B14 C15 D16 二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题） 14 若一个多边形的内角和是
7、其外角和的 3 倍， 则这个多边形的边数是 15如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30，再沿直线前进 10 米，又向左转 30，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米 第 4 页（共 33 页） 16将一副直角三角板如图放置，使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的 三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 度 17当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“特征 三角形”，其中 称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为 100，那么 这个“特征三角形”的最小内角的度数为 18若一个多边形内角和等于 1260，则该多边形边数
8、是 19如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则1+2+3+4+ 5= 20一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，则它的边数是 21若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 22在ABC 中，三个内角A、B、C 满足BA=CB，则B= 度 23如图，在ABC 中，A=m，ABC 和ACD 的平分线交于点 A1，得A1； A1BC 和A1CD 的平分线交于点 A2，得A2；A2012BC 和A2012CD 的平分线 交于点 A2013，则A2013= 度 24如图，ABC 中，A=40，B=72，CE 平分ACB，CDAB 于 D，DF 第 5 页
9、（共 33 页） CE，则CDF= 度 25用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、 压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC= 度 26平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合 并叠在一起，如图，则3+12= 三解答题（共三解答题（共 14 小题）小题） 27如图，直线 DE 交ABC 的边 AB、AC 于 D、E，交 BC 延长线于 F，若B=67， ACB=74，AED=48，求BDF 的度数 28 如图， 已知 D 为ABC 边 BC 延长线上一点， DFAB 于 F 交 AC 于 E， A=35， D=42，
10、求ACD 的度数 29已知ABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，BE 平分ABC，分别交 CD、 AC 于点 F、E，求证：CFE=CEF 第 6 页（共 33 页） 30如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线， （1）若ABE=25，BAD=50，则BED 的度数是 度 （2）在ADC 中过点 C 作 AD 边上的高 CH （3）若ABC 的面积为 60，BD=5，求点 E 到 BC 边的距离 31如图，在ABC 中，AD 平分BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PEAD 交 直线 BC 于点 E （1）若B=35，ACB=85，求E 的度数； （2）当 P
11、点在线段 AD 上运动时，猜想E 与B、ACB 的数量关系，写出结 论无需证明 32如图所示，在ABC 中，B=C，FDBC，DEAB，垂足分别为 D，E， AFD=158，求EDF 的度数 33如图，AD 平分BAC，EAD=EDA （1）EAC 与B 相等吗？为什么？ （2）若B=50，CAD：E=1：3，求E 的度数 34 （1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两 条直角边 XY、 XZ 分别经过点 B、 C ABC 中， A=30， 则ABC+ACB= ， 第 7 页（共 33 页） XBC+XCB= （2）如图 2，改变直角三角板 XYZ
12、的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 仍然分别经过 B、C，那么ABX+ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明； 若不变化，请求出ABX+ACX 的大小 35已知：MON=40，OE 平分MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点（A、B、C 不与点 O 重合） ，连接 AC 交射线 OE 于点 D设OAC=x （1）如图 1，若 ABON，则 ABO 的度数是 ； 当BAD=ABD 时，x= ；当BAD=BDA 时，x= （2）如图 2，若 ABOM，则是否存在这样的 x 的值，使得ADB 中有两个相等 的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由
13、36平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）如图 a，若 ABCD，点 P 在 AB、CD 外部，则有B=BOD，又因BOD 是POD 的外角，故BOD=BPD+D，得BPD=BD将点 P 移到 AB、 CD 内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、 B、D 之间有何数量关系？请证明你的结论； 第 8 页（共 33 页） （2）在图 b 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q， 如图 c，则BPDBDBQD 之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图 d 中A+B+C+D+E+F 的度数 37如下几个图形
14、是五角星和它的变形 （1）图（1）中是一个五角星，求A+B+C+D+E （2）图（2）中的点 A 向下移到 BE 上时，五个角的和（即CAD+B+C+D+ E）有无变化 说明你的结论的正确性 （3）把图（2）中的点 C 向上移到 BD 上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即 CAD+B+ACE+D+E）有无变化说明你的结论的正确性 38RtABC 中，C=90，点 D、E 分别是ABC 边 AC、BC 上的点，点 P 是一 动点令PDA=1，PEB=2，DPE= （1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且=50，则1+2= ； （2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则
15、、1、2 之间的关系 为： ； （3）若点 P 运动到边 AB 的延长线上，如图（3）所示，则、1、2 之间 有何关系？猜想并说明理由 （4）若点 P 运动到ABC 形外，如图（4）所示，则、1、2 之间的关系 为： 39如图所示，求A+B+C+D+E+F 的度数 第 9 页（共 33 页） 40将纸片ABC 沿 DE 折叠使点 A 落在 A处的位置 （1）如果 A落在四边形 BCDE 的内部（如图 1） ，A与1+2 之间存在怎样的 数量关系？并说明理由 （2）如果 A落在四边形 BCDE 的 BE 边上，这时图 1 中的1 变为 0角，则A 与2 之间的关系是 （3）如果 A落在四边形 B
16、CDE 的外部（如图 2） ，这时A与1、2 之间又存 在怎样的数量关系？并说明理由 第 10 页（共 33 页） 初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练 习习( (含答案解析含答案解析) ) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2008福州）已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线 段中能作为第三边的是（ ） A13cm B6cm C5cm D4cm 【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找 到符合条件的数值 【解答】解：根据三
17、角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边 之和， 即 94=5，9+4=13 第三边取值范围应该为：5第三边长度13， 故只有 B 选项符合条件 故选：B 【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和 第三边，两边之差第三边 2 （2013河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则 1+2=（ ） A90 B100 C130 D180 【分析】设围成的小三角形为ABC，分别用1、2、3 表示出ABC 的三 个内角，再利用三角形的内角和等于 180列式整理即可得解 【解答】解：如图，BAC=180901=901， ABC=180603=1
18、203， ACB=180602=1202， 在ABC 中，BAC+ABC+ACB=180， 901+1203+1202=180， 1+2=1503， 3=50， 1+2=15050=100 故选：B 第 11 页（共 33 页） 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用1、2、3 表示出ABC 的三 个内角是解题的关键，也是本题的难点 3 （2010西藏）已知如图，ABC 为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去 C，则1+2 等于（ ） A315 B270 C180 D135 【分析】 利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两 个内角之和解答 【解答】解：1、2 是CD
19、E 的外角， 1=4+C，2=3+C， 即1+2=2C+（3+4） ， 3+4=180C=90， 1+2=290+90=270 故选：B 【点评】 此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它 不相邻的两个内角之和 4 （2015长沙）如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是 （ ） A B C D 【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之 间的线段叫做三角形的高线解答 第 12 页（共 33 页） 【解答】解：为ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项 故选 A 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的
20、定义是解题的 关键 5 （2014达州） 如图， 在四边形 ABCD 中， A+D=， ABC 的平分线与BCD 的平分线交于点 P，则P=（ ） A90 B90+ C D360 【分析】 先求出ABC+BCD 的度数， 然后根据角平分线的性质以及三角形的内 角和定理求解P 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 中，ABC+BCD=360（A+D）=360， PB 和 PC 分别为ABC、BCD 的平分线， PBC+PCB=（ABC+BCD）=（360）=180， 则P=180（PBC+PCB）=180（180）= 故选：C 【点评】 本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理， 属于
21、基础题 6 （2009荆门）如图，RtABC 中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则ADB=（ ） A40 B30 C20 D10 【分析】 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 得ADB=CAD B，又折叠前后图形的形状和大小不变，CAD=A=50，易求B=90 A=40，从而求出ADB 的度数 【解答】解：RtABC 中，ACB=90，A=50， B=9050=40， 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则CAD=A， CAD 是ABD 的外角， 第 13 页（共 33 页） ADB=CADB=5040=1
22、0 故选：D 【点评】 本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质关键是要理解折叠是一 种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不 变， 只是位置变化解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相 等 7 （2004陕西）如图，在锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE 相交于一点 P，若A=50，则BPC=（ ） A150 B130 C120 D100 【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是 360求得 【解答】解：BEAC，CDAB， ADC=AEB=90， BPC=DPE=18050=130 故选 B 【点评】 主要考查了
23、垂直的定义以及四边形内角和是 360 度 注意BPC 与DPE 互为对顶角 8 （2009黑河）如图，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取 一点 O，测得 OA=15 米，OB=10 米，A、B 间的距离不可能是（ ） A20 米 B15 米 C10 米 D5 米 【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于 两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可 【解答】解：1510AB10+15， 5AB25 所以不可能是 5 米 故选：D 【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：已知的两边的差，而两边 的和 9 （2014临沂）将一个 n 边形变成
24、n+1 边形，内角和将（ ） A减少 180 B增加 90 C增加 180 D增加 360 【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案 【解答】解：n 边形的内角和是（n2）180， 第 14 页（共 33 页） n+1 边形的内角和是（n1）180， 因而 （n+1） 边形的内角和比 n 边形的内角和大 （n1） 180 （n2） 180=180 故选：C 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容 10 （2015莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边 形对角线的条数是（ ） A27 B35 C44 D54 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内
25、角和公式列出相应等式，根据边数 为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答 【解答】解：设这个内角度数为 x，边数为 n， （n2）180 x=1510， 180n=1870+x=1800+（70+x） ， n 为正整数， n=11， =44， 故选：C 【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方 法，属于需要识记的知识 11 （2011 春滨城区期末） 一个多边形的边数每增加一条， 这个多边形的 （ ） A内角和增加 360 B外角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 180 【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题 【解答
26、】解：因为 n 边形的内角和是（n2）180， 当边数增加一条就变成 n+1，则内角和是（n1）180， 内角和增加： （n1）180（n2）180=180； 根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变 故选：D 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征先设这是一个 n 边形是解题的关键 12 （2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一定 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角 的度数，由此判断三角形的类型 【解答】解：三角形的三个角依次为 180=30，
27、180=45，180 =105，所以这个三角形是钝角三角形 故选：D 第 15 页（共 33 页） 【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为 18090 本题也可以利用方程思想来解答，即 2x+3x+7x=180，解得 x=15，所以最大角为 7 15=105 13 （2014毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到 一个内角和为 2340的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边 形多 1 条边，可得答案 【解答】解：设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得 （n
28、2）180=2340， 解得 n=15， 原多边形是 151=14， 故选：B 【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键 二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题） 14 （2015资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边 数是 8 【分析】任何多边形的外角和是 360，即这个多边形的内角和是 3360n 边 形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边 数的方程，解方程就可以求出多边形的边数 【解答】解：设多边形的边数为 n，根据题意，得 （n2）180=3360， 解得 n=8 则这个多边形的边数是 8 【点评】已
29、知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决 15 （2006镇江）如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30，再 沿直线前进 10 米，又向左转 30，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点 时，一共走了 120 米 第 16 页（共 33 页） 【分析】 由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可 求出答案 【解答】解：36030=12， 他需要走 12 次才会回到原来的起点，即一共走了 1210=120 米 故答案为：120 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理任何一个多边形的外角和都是 360 16 （2014随州）将一副直角三角板如图
30、放置，使含 30角的三角板的短直角边 和含 45角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 75 度 【分析】根据三角形三内角之和等于 180求解 【解答】解：如图 3=60，4=45， 1=5=18034=75 故答案为：75 【点评】考查三角形内角之和等于 180 17 （2013上海）当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此 三角形为“特征三角形”， 其中 称为“特征角” 如果一个“特征三角形”的“特征角” 为 100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30 【分析】根据已知一个内角 是另一个内角 的两倍得出 的度数，进而求出 最小内角即可 【解答】解：由题意得：=2
31、，=100，则 =50， 18010050=30， 故答案为：30 【点评】 此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理， 根据已知得出 的度 数是解题关键 18 （2013遂宁）若一个多边形内角和等于 1260，则该多边形边数是 9 【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答； 第 17 页（共 33 页） 【解答】解：一个多边形内角和等于 1260， （n2）180=1260， 解得，n=9 故答案为 9 【点评】 本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计 算公式 19 （2015北京）如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则1+ 2+3+4
32、+5= 360 【分析】首先根据图示，可得1=180BAE，2=180ABC，3=180 BCD， 4=180CDE， 5=180DEA， 然后根据三角形的内角和定理， 求出五边形 ABCDE 的内角和是多少， 再用 1805 减去五边形 ABCDE 的内角和， 求出1+2+3+4+5 等于多少即可 【解答】解：1+2+3+4+5 =（180BAE）+（180ABC）+（180BCD）+（180CDE）+（180 DEA） =1805（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA） =900（52）180 =900540 =360 故答案为：360 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握
33、，解答此题的关键是要 明确： （1）n 边形的内角和=（n2）180 （n3）且 n 为整数） （2）多边形 的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外 角和永远为 360 20 （2014自贡）一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，则它的边数是 9 【分析】多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，而多边形的外角和是 360， 则内角和是 3360+180n 边形的内角和可以表示成（n2）180，设这个 多边形的边数是 n，得到方程，从而求出边数 【解答】解：根据题意，得 （n2）180=3360+180， 解得：n=9 则这个多边形的边数是
34、9 故答案为：9 【点评】 考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量 第 18 页（共 33 页） 关系，构建方程即可求解 21 （2015徐州）若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 9 【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数 【解答】解：正多边形的一个内角是 140， 它的外角是：180140=40， 36040=9 故答案为：9 【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形 的外角度数，再利用外角和定理求出求边数 22 （2013黔东南州）在ABC 中，三个内角A、B、C 满足BA=C B，则B= 60 度
35、 【分析】先整理得到A+C=2B，再利用三角形的内角和等于 180列出方程 求解即可 【解答】解：BA=CB， A+C=2B， 又A+C+B=180， 3B=180， B=60 故答案为：60 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出A+C=2B 是解 题的关键 23 （2013达州）如图，在ABC 中，A=m，ABC 和ACD 的平分线交于点 A1， 得A1； A1BC 和A1CD 的平分线交于点 A2， 得A2； A2012BC 和A2012CD 的平分线交于点 A2013，则A2013= 度 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证A1=A，进而可求 A1，由于A1=
36、A，A2=A1=A，以此类推可知A2013= A= 第 19 页（共 33 页） 【解答】解：A1B 平分ABC，A1C 平分ACD， A1BC=ABC，A1CA=ACD， A1CD=A1+A1BC， 即ACD=A1+ABC， A1=（ACDABC） ， A+ABC=ACD， A=ACDABC， A1=A， A1=m， A1=A，A2=A1=A， 以此类推A2013=A= 故答案为： 【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出 A1=A，并能找出规律 24 （2012 春金台区期末）如图，ABC 中，A=40，B=72，CE 平分ACB， CDAB 于 D，DFCE，则
37、CDF= 74 度 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算 【解答】解：A=40，B=72， ACB=68， CE 平分ACB，CDAB 于 D， BCE=34，BCD=9072=18， DFCE， CDF=90（3418）=74 故答案为：74 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系 （1）三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是 180 度，求角的度数常常要用到 “三角形的内角和是 180”这一隐含的条件； （3）三角形的一个外角任何一个和 第 20 页（共 33 页） 它不相邻的内角注意：垂直和直角总是联系在一起 25 （2006临安市）用一条宽相
38、等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示， 然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC= 36 度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】解：ABC=108，ABC 是等腰三角形， BAC=BCA=36 度 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 n 边形的内角和为：180（n2） 26 （2015河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12= 24 【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、 正六边形的每个内角的度数是多
39、少， 然后分别求出3、 1、 2 的度数是多少， 进而求出3+12 的度数即可 【解答】解：正三角形的每个内角是： 1803=60， 正方形的每个内角是： 3604=90， 正五边形的每个内角是： （52）1805 =31805 =5405 =108， 正六边形的每个内角是： （62）1806 =41806 =7206 =120， 第 21 页（共 33 页） 则3+12 =（9060）+（120108）（10890） =30+1218 =24 故答案为：24 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确： （1）n 边形的内角和=（n2）180 （n3）且 n
40、 为整数） （2）多边形 的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外 角和永远为 360 三解答题（共三解答题（共 14 小题）小题） 27 （2013 春临清市期末）如图，直线 DE 交ABC 的边 AB、AC 于 D、E，交 BC 延长线于 F，若B=67，ACB=74，AED=48，求BDF 的度数 【分析】先根据三角形的内角和定理求出A 的度数，再根据三角形外角的性质 求出BDF 的度数 【解答】解：因为A+B+ACB=180， 所以A=1806774=39， 所以BDF=A+AED=39+48=87 【点评】 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角
41、和定理，解答的关键是外角 和内角的关系 28 （2013湖州校级模拟）如图，已知 D 为ABC 边 BC 延长线上一点，DFAB 于 F 交 AC 于 E，A=35，D=42，求ACD 的度数 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答 【解答】解：AFE=90， AEF=90A=9035=55， CED=AEF=55， ACD=180CEDD=1805542=83 答：ACD 的度数为 83 【点评】 三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和三角形内角和定理：三角形的三个内角和为 180 29 （2015 秋全椒县期中）已知ABC 中，ACB=90
42、，CD 为 AB 边上的高，BE 第 22 页（共 33 页） 平分ABC，分别交 CD、AC 于点 F、E，求证：CFE=CEF 【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角 相等，然后利用等量代换可得答案 【解答】证明： ACB=90， 1+3=90， CDAB， 2+4=90， 又BE 平分ABC， 1=2， 3=4， 4=5， 3=5， 即CFE=CEF 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量 代换是解答本题的关键 30 （2010 春横峰县校级期末）如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线， （1）若ABE=25，
43、BAD=50，则BED 的度数是 度 （2）在ADC 中过点 C 作 AD 边上的高 CH （3）若ABC 的面积为 60，BD=5，求点 E 到 BC 边的距离 【分析】 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，BED= ABE+BAE=75； （2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段 弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点， 连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接 该点和另一端点，则为高线； （3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形， 那么可依据 D 是 B
44、C 中点，E 是 AD 中点，求出三角形 BED 的面积三角形 BDE 第 23 页（共 33 页） 中，E 到 BD 的距离就是 BD 边上的高，有了三角形 BDE 的面积，BD 的长也容易 求得那么高就求出来了 【解答】解： （1）BED=ABE+BAE=75； （2） CH 为所求的高 （3）解：如图，过点 E 作 EFBD 于点 F， AD 是 BC 的中线 BD=CD SABD=SACD=60=30 同理 SBED=SABE=30=15 又SBED=BDEF=5EF=15 EF=6 即点 E 到 BC 边的距离为 6 【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外
45、角等 知识点 31 （2015 春单县期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，P 为线段 AD 上的 一个动点，PEAD 交直线 BC 于点 E （1）若B=35，ACB=85，求E 的度数； （2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想E 与B、ACB 的数量关系，写出结 论无需证明 第 24 页（共 33 页） 【分析】 （1）中，首先根据三角形的内角和定理求得BAC 的度数，再根据角平 分线的定义求得DAC 的度数， 从而根据三角形的内角和定理即可求出ADC 的 度数，进一步求得E 的度数； （2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系 【解答】解： （1）B=35，AC
46、B=85， BAC=60， AD 平分BAC， DAC=30， ADC=65， E=25； （2） 设B=n，ACB=m， AD 平分BAC， 1=2=BAC， B+ACB+BAC=180， B=n，ACB=m， CAB=（180nm）， BAD=（180nm）， 3=B+1=n+（180nm）=90+nm， PEAD， DPE=90， E=90（90+nm）=（mn）=（ACBB） 【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义特别注意第（2）小 题，由于B 和ACB 的大小不确定，故表达式应写为两种情况 第 25 页（共 33 页） 32 （2010 春朝阳区期末）如图所示，在ABC
47、中，B=C，FDBC，DEAB， 垂足分别为 D，E，AFD=158，求EDF 的度数 【分析】要求EDF 的度数，只需求出BDE 和FDC 的度数即可，由 FDBC， 得FDC=90；而BDE 在 RtBDE 中，故只需求出B 的度数因B=C，只 需求出C 的度数即可因AFD 是CDF 的外角，AFD=158C=AFD FDC=15890=68 【解答】解：FDBC，所以FDC=90， AFD=C+FDC， C=AFDFDC=15890=68， B=C=68 DEAB， DEB=90， BDE=90B=22 又BDE+EDF+FDC=180， EDF=180BDEFDC=1802290=68
48、 【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识 33 （2014 春岱岳区期末）如图，AD 平分BAC，EAD=EDA （1）EAC 与B 相等吗？为什么？ （2）若B=50，CAD：E=1：3，求E 的度数 【分析】 （1）由于 AD 平分BAC，根据角平分线的概念可得BAD=CAD，再 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得EAC 与B 相等； （2）若设CAD=x，则E=3x根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理 及其推论列方程进行求解即可 【解答】解： （1）相等理由如下： AD 平分BAC， BAD=CAD 又EAD=EDA， EAC=EADCAD =EDABAD =B； 第 26 页（共 33 页） （2）设CAD=x，则E=3x， 由（1）知：EAC=B=50， EAD=EDA=（x+50） 在EAD 中，E+EAD+EDA=180， 3x+2（x+50）=180， 解得：x=16 E=48 【点评】 （1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等
