1、 第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（理科）学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分） 已知集合 2U ，1， 0， 1， 2，3， 1A ， 0，1，1B ，2， 则() ( U AB ) A 2，3 B 2，2，3 C 2，1，0，3 D 2，1，0，2， 3 2 （5 分）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点 3 4 (, ) 5 5 P ，则si
2、n2( ) A 12 25 B 24 25 C 8 5 D 6 5 3 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y，若()abc，则b在c上的投影为( ) A 10 2 B 10 5 C 10 2 D 10 5 4 （5 分）若 5 sin2 5 ， 10 sin() 10 ，且 4 ， 3 2 ，则的 值是( ) A 7 4 B 9 4 C 5 4 或 7 4 D 5 4 或 9 4 5 （5 分）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受 任何折扣；如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并
3、按 下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元的部分 10% 若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为( ) A1500 元 B1550 元 C1750 元 D1800 元 6 （5 分）若函数 2 1 ( )2 2 f xxxalnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A1a B10a C1a D01a 第 2 页（共 16 页） 7 （5 分）已知0ab，且1ab， 1 ( )bx a ， 11 log () ab y ab ， 1 logbz a ，则x，y， z的大小关系是( ) Azx
4、y Bxyz Czyx Dxzy 8 （5 分）已知命题p： “1x ， e，alnx” ，命题q： “xR ， 2 40 xxa” ”若 “pq”是真命题，则实数a的取值范围是( ) A(1，4 B(0，1 C 1，1 D(4,) 9 （5 分）下列命题中错误的是( ) A “若 2 xy ，则sincosxy”的逆命题是假命题 B “在ABC中，sinsinBC是BC的充要条件”是真命题 C设平面向量, ,a b c均为非零向量，则“()0a bc”是“bc”的充分不必要条件 D命题“(0,)x ，0 xlnx”的否定是“(0,)x ，0 xlnx” 10 （5 分）已知函数sin(0)y
5、axb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是( ) A B C D 11 （5 分） 若数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 第 3 页（共 16 页） 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，2，则 10101011 1010 1011 ()( 1 aa f bb ) Ae B 2 e C 1 e D 9 e 12 （5 分）已知定义域为R的函数( )f x满足 11 ( ),( )40 22 ffxx，其中( )fx为( )f x的 导函数，则不等式(sin )c
6、os20fxx的解集为( ) A2,2, 33 kkkZ B2,2, 66 kkkZ C 2 2,2, 33 kkkZ D 5 2,2, 66 kkkZ 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知扇形的圆心角为 6 ，面积为 3 ，则扇形的弧长为 14（5 分） 等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S，nT， 若对任意正整数n都有 21 32 n n Sn Tn ， 则 511 61079 aa bbbb 的值为 15（5 分） 在ABC中， 角A，B，C成等差数列 且对边分别为a，b，
7、c， 若20BA BC ， 7b ，则ABC的内切圆的半径为 16 （5 分）已知函数 1 1,1 ( )4 ,1 xx f x lnx x 则方程( )f xax恰有两个不同实数根时，实数a的 取值范围是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答题须写出文字说明、证明过程和演算步分解答题须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 ）骤 ） 17（10 分） 在ABC中， 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 向量( 3, 2sin)mB， 向量(cos ,cos2 )nBB，且/ /mn，角B为锐角 （1）求角B的大小； （2）若2b ，求A
8、BC面积的最大值 18 （12 分）已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程( )2f xm在, 4 2 x 上有解，求实数m的取值范围 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； 第 4 页（共 16 页） （2）设 2 log nn ba， 1 1 n nn c b b ，记数列 n c的前n项和 n T，若对 * nN，(4) n Tk n 恒成 立，求实数k的取值范围 20 （12 分）已知等比数列 n a是递增数列，且 15 17
9、 2 aa， 24 4a a （1）求数列 n a的通项公式 （2）若(*) nn bna nN，求数列 n b的前n项和 n S 21 （12 分）已知( )f xxlnx， 32 ( )2g xxaxx （1）求函数( )f x的单调区间； （2）对任意(0,)x，2 ( )( )2f xg x恒成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S( ) t， 求( )S t 的最小值 第 5 页（共 16 页） 2020-202
10、1 学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（理科）学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分） 已知集合 2U ，1， 0， 1， 2，3， 1A ， 0，1，1B ，2， 则() ( U AB ) A 2，3 B 2，2，3 C 2，1，0，3 D 2，1，0，2， 3 【解答】解：集合 2U ，1，0，1，2，3， 1A ，0，1，1B ，2， 则 1AB ，0，1，2， 则() 2 U AB ，3， 故选：A 2
11、（5 分）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点 3 4 (, ) 5 5 P ，则sin2( ) A 12 25 B 24 25 C 8 5 D 6 5 【解答】 解： 平面直角坐标系中， 角的顶点在坐标原点， 其始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点 3 4 (, ) 5 5 P ， 4 sin 5 ， 3 cos 5 ， 则 24 sin22sincos 25 ， 故选：B 3 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y，若()abc，则b在c上的投影为( ) A 10 2 B 10 5 C 10 2
12、D 10 5 【解答】解：向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y， 若()abc， ()( 1ab c ，3) (x，)30yxy ， 第 6 页（共 16 页） (c 3y，) y 设b与c的夹角为，则2 315| | cos510 | cosb cyyybcy ，求得 2 cos 2| y y ， b在c上的投影为 210 | cos5 () 2 |2 y b y ， 故选：A 4 （5 分）若 5 sin2 5 ， 10 sin() 10 ，且 4 ， 3 2 ，则的 值是( ) A 7 4 B 9 4 C 5 4 或 7 4 D 5 4 或 9 4 【解答】解： 4
13、， 3 2 ， 2 2 ，2 ， 又 51 0sin2 52 ， 5 2( 6 ，)，即 5 ( 12 ，) 2 ， ( 2 ， 13 ) 12 ， 2 2 5 cos21sin 2 5 ； 又 10 sin() 10 ， ( 2 ，)， 2 3 10 cos()1sin () 10 ， 2 53 105102 cos()cos2()cos2 cos()sin2 sin()() 5105102 又 5 ( 12 ，) 2 ， 3 2 ， 17 ()( 12 ，2 )， 7 4 ， 第 7 页（共 16 页） 故选：A 5 （5 分）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 80
14、0 元，不享受 任何折扣；如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并按 下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元的部分 10% 若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为( ) A1500 元 B1550 元 C1750 元 D1800 元 【解答】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元 由题可知： 0,0800 0.05(800),8001300 0.1(1300)25,1300 x yxx xx 5025y 1300 x 0.1(1300)2550
15、x 解得，1550 x ， 1550501500， 故此人购物实际所付金额为 1500 元 故选：A 6 （5 分）若函数 2 1 ( )2 2 f xxxalnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A1a B10a C1a D01a 【解答】解：( )f x的定义域是(0,)， 2 2 ( )2 axxa f xx xx ， 若函数( )f x有两个不同的极值点， 则 2 ( )2g xxxa在(0,)和x轴有 2 个不同的交点， 即方程 2 20 xxa在(0,)有 2 个不同的实数根， 第 8 页（共 16 页） 故 1 440 244 0 2 a a x ，解得：01a，
16、故选：D 7 （5 分）已知0ab，且1ab， 1 ( )bx a ， 11 log () ab y ab ， 1 logbz a ，则x，y， z的大小关系是( ) Azxy Bxyz Czyx Dxzy 【解答】解：0ab，1ab， 1 10 2 ab ， 11 1 ab ， 0 11 ( )( )1 b x aa ， ()() 111 log()log1 abab y abab ， 11 log1 bb zlog ab xzy 故选：D 8 （5 分）已知命题p： “1x ， e，alnx” ，命题q： “xR ， 2 40 xxa” ”若 “pq”是真命题，则实数a的取值范围是( )
17、A(1，4 B(0，1 C 1，1 D(4,) 【解答】解：若命题p： “1x ， e，alnx，为真命题， 则1alne， 若命题q： “xR ， 2 40 xxa”为真命题， 则1640a，解得4a， 若命题“pq”为真命题， 则p，q都是真命题， 则 1 4 a a ， 解得：14a 第 9 页（共 16 页） 故实数a的取值范围为(1，4 故选：A 9 （5 分）下列命题中错误的是( ) A “若 2 xy ，则sincosxy”的逆命题是假命题 B “在ABC中，sinsinBC是BC的充要条件”是真命题 C设平面向量, ,a b c均为非零向量，则“()0a bc”是“bc”的充分
18、不必要条件 D命题“(0,)x ，0 xlnx”的否定是“(0,)x ，0 xlnx” 【解答】 解： 对于A：“若 2 xy ， 则s i nc o s xy” 的逆命题是 “若sincosxy” 则 “ 2 xy ” 错误，故逆命题是假命题，故A正确； 对于B： “在ABC中，sinsin2 sin2 sinBCRBRCbcBC，故B正确； 对于C：设平面向量, ,a b c均为非零向量，当“()0a bc”时，则“bc”不成立， 当“bc”时，即0bc， 所以“()0a bc”成立， 故“()0a bc”是“bc”的必要不充分条件，故C错误； 对于D：命题“(0,)x ，0 xlnx”的
19、否定是“(0,)x ，0 xlnx”故D正确 故选：C 10 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是( ) A B 第 10 页（共 16 页） C D 【解答】解：由函数sin(0)yaxb a的图象可得01b， 2 23 a ， 2 1 3 a， 故函数log () a yxb是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b， 故选：A 11 （5 分） 若数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，
20、2，则 10101011 1010 1011 ()( 1 aa f bb ) Ae B 2 e C 1 e D 9 e 【解答】解：数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 所以 1010101112020 1010 10111 2020 27 ()()() 1112 aaaa ffff bbbb （9） ， 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，2， f（9）f （7）f（5）f （3）f（1）e 故选：A 12 （5 分）已知定义域为R的函数( )f x满足 11 ( ),( )40 22
21、ffxx，其中( )fx为( )f x的 导函数，则不等式(sin )cos20fxx的解集为( ) A2,2, 33 kkkZ B2,2, 66 kkkZ C 2 2,2, 33 kkkZ D 5 2,2, 66 kkkZ 【解答】解：设 2 ( )( )21g xf xx， ( )( )40g xfxx 在R上恒成立， ( )g x在R上单调递增，不等式 2 (sin )cos2(sin )2sin1fxxfxx，且 1 ( )0 2 g， 不等式(sin )cos20fxx 1 (sin )( ) 2 gxg， 第 11 页（共 16 页） 1 sin 2 x， 5 22 66 kx x
22、k 剟，kZ 故选：D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知扇形的圆心角为 6 ，面积为 3 ，则扇形的弧长为 3 【解答】解： 2 1 | 2 Sr， 2 4r，2r ， 扇形的弧长| 3 lr ， 故答案为： 3 14（5 分） 等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S，nT， 若对任意正整数n都有 21 32 n n Sn Tn ， 则 511 61079 aa bbbb 的值为 29 43 【解答】解：因为 n a， n b是等差数列， 所以 5115811 6107988
23、2 22 aaaaa bbbbbb ， 因为 151158 151158 22 15129 23 15243 Saaa Tbbb 故答案为： 29 43 15（5 分） 在ABC中， 角A，B，C成等差数列 且对边分别为a，b，c， 若20BA BC ， 7b ，则ABC的内切圆的半径为 3 【解答】解：由题意得 222 2cosbacacB，且60B 即 22 492cos60acac， 又cos6020BA BCac ， 联立得 22 89ac，40ac ，可得 2 ()169ac， 故13ac，故三角形ABC的周长为13720abc 又三角形的面积为 113 sin4010 3 222
24、acB 设三角形ABC的内切圆半径为r，则 1 ()10 3 2 abc r， 第 12 页（共 16 页） 即 1 2010 3 2 r，解得3r 16 （5 分）已知函数 1 1,1 ( )4 ,1 xx f x lnx x 则方程( )f xax恰有两个不同实数根时，实数a的 取值范围是 1 4 ， 1) e 【解答】解：方程( )f xax恰有两个不同实数根， ( )yf x与yax有 2 个交点， 又a表示直线yax的斜率， 1 y x ， 设切点为 0 (x， 0) y， 0 1 k x ， 切线方程为 00 0 1 ()yyxx x ， 而切线过原点， 0 1y， 0 xe， 1
25、 k e ， 直线 1 l的斜率为 1 e ， 又直线 2 l与 1 1 4 yx平行， 直线 2 l的斜率为 1 4 ， 实数a的取值范围是 1 4 ， 1) e 故答案为： 1 4 ， 1) e 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答题须写出文字说明、证明过程和演算步分解答题须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 ）骤 ） 17（10 分） 在ABC中， 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 向量( 3, 2sin)mB， 向量(cos ,cos2 )nBB，且/ /mn，角B为锐角 （1）求角B的大小； （2）若2b ，求ABC面积
26、的最大值 【解答】解： （1）由/ /mn可得3cos22sincossin2BBBB ， 所以tan23B ， 因为B为锐角， 第 13 页（共 16 页） 所以 2 2 3 B 即 3 B ， （2）由余弦定理可得， 222 1 cos 22 acb B ac ， 所以 22 42acacac，当且仅当2ac时取等号， 所以4ac， 1133 sin3 2224 ABC ac SacBac 即面积的最大值3 18 （12 分）已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程( )2f xm在, 4 2 x
27、上有解，求实数m的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx 1cos(2 )3cos2 2 xx 1sin23cos2xx 2sin(2)1 3 x ， 周期;222 232 Tkxk 剟， 解得( )f x的单调递增区间为 5 ,() 1212 kkkZ （2）, 4 2 x ，所以 2 2, 363 x ， 1 sin(2) ,1 32 x ， 所以( )f x的值域为2，3 而( )2f xm，所以22m ，3，即0m，1 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 l
28、og nn ba， 1 1 n nn c b b ，记数列 n c的前n项和 n T，若对 * nN，(4) n Tk n 恒成 立，求实数k的取值范围 【解答】解： （1）当1n 时， 111 22aSa，解得 1 2a 当2n时， 111 22(22)22 nnnnnnn aSSaaaa ， 化为 1 2 nn aa ， 数列 n a是以 2 为公比的等比数列， 第 14 页（共 16 页） 2n n a （2） 22 log2n nn balogn， 1 1111 (1)1 n nn c b bn nnn 数列 n c的前n项和 111111 (1)()()1 223111 n n T
29、nnnn 对 * nN，(4) n Tk n 恒成立， (4) 1 n k n n ，化为 1 4 (1)(4) 5 n k nn n n 44 5 259nn nn ，当且仅当2n 时取等号 11 4 9 5n n ， 1 9 k 实数k的取值范围是 1 ,) 9 20 （12 分）已知等比数列 n a是递增数列，且 15 17 2 aa， 24 4a a （1）求数列 n a的通项公式 （2）若(*) nn bna nN，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1）由 n a是递增等比数列， 15 17 2 aa， 2 243 44a aa 4 11 17 2 aa q， 2 2
30、 1 ()4aq； 解得： 1 1 2 a ，2q ； 数列 n a的通项公式： 2 2n n a ； （2）由(*) nn bna nN， 2 2n n bn ； 1 1 2 S； 那么 1012 1 22 23 22n n Sn ， 则 01221 21 22 23 2(1)22 nn n Snn ， 第 15 页（共 16 页） 将得： 21 1 1222 2 nn n Sn ； 即： 1022111 1 (22222)222 2 nnnn n Snn 21 （12 分）已知( )f xxlnx， 32 ( )2g xxaxx （1）求函数( )f x的单调区间； （2）对任意(0,)x
31、，2 ( )( )2f xg x恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )1fxlnx， 令( )0fx得： 1 0 x e ， ( )f x的单调递减区间是 1 (0, ) e ， 令( )0fx得： 1 x e ， ( )f x的单调递增区间是 1 ( e ，)， （2） 2 ( )321g xxax，由题意 2 2321xlnxxax， 0 x ， 31 22 a lnxx x 恒成立 ， 设 31 ( ) 22 x h xlnx x ， 则 22 131(1)(31) ( ) 222 xx h x xxx 令( )0h x得：1x ， 1 3 x （舍去） 当01x时，(
32、)0h x； 当1x 时，( )0h x 当1x 时，( )h x有最大值2， 若恒成立，则2a ， 即a的取值范围是 2，) 22 （12 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S( ) t， 求( )S t 的最小值 第 16 页（共 16 页） 【解答】解： （） 2 ( )12f xx的导数( )2fxx ， 令切点为( , )m n，可得切线的斜率为22m ， 1m，12111n ， 切线的方程为213yx ； （）曲线( )yf x在点(t，( )f
33、 t处的切线的斜率为2kt ， 切线方程为 2 (12)2 ()ytt xt， 令0 x ，可得 2 12yt，令0y ，可得 16 2 xt t ， S 2 116 ( )| (12) 22 ttt t ， 由()( )StS t，可知( )S t为偶函数， 不妨设0t ，则 2 112 ( )()(12) 4 S ttt t ， 22 2 22 11443 (4)(12) ( )(324) 44 tt S tt tt ， 由( )0S t，得2t ， 当2t 时，( )0S t，( )S t递增；当02t 时，( )0S t，( )S t递减， 则( )S t在2t 和2处取得极小值，且为最小值 32， 所以( )S t的最小值为 32
