1、第第1111讲讲 反比例函数及其应用反比例函数及其应用 第三单元第三单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 反比例函数表达式的确定 1.(2019 安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y= 的 图象上,则实数k的值为( ) A.3 B.1 3 C.-3 D.-1 3 答案 A 解析 点A(1,-3)关于x轴的对称点A的坐标为(1,3),把A(1,3)代入y= 得 k=13=3.故选A. 命题点2 反比例函数的图
2、象和性质 2.(2015 安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y= 与 一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m). (1)求k1,k2,b的值; (2)求AOB的面积; (3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y= 图象上的两点, 且x1x2,y1y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由. 1 1 解 (1)点 A(1,8)在反比例函数 y=1 的图象上, 8=1 1 ,k1=8. 点 B(-4,m)在反比例函数 y=8 的图象上, m= 8 -4=-2. 根据题意,得 2 + = 8, -42+ = -2.解得 2= 2, = 6. (2)由(
3、1)得一次函数解析式为y=2x+6,其图象与x轴的交点为(-3,0), (3)点M在第三象限,点N在第一象限. 理由:当x1x2y2,不合题意,舍去;当x10x2时,此时 y10,y1y2;当0x1y2,不合题意,舍去.综上所述,点M在第 三象限,点N在第一象限. 故 SAOB=1 2 3 2+ 1 2 3 8=15. 命题点3 反比例函数的应用 3.提示:见第8讲第7题. 命题点4 反比例函数与一次函数的综合 4.(2020 安徽,13,5)如图,一次函数y=x+k(k0)的图象与x 轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 上的图 象在第一象限内交于点C,CDx轴,CEy轴,垂足分别
4、为点D,E.当矩形ODCE与OAB的面积相等时,k的值为 _. 答案 2 解析 矩形 ODCE的顶点 C在 y= 上, S矩形ODCE=k. 把 x=0代入 y=x+k,y=k,B(0,k). 把 y=0代入 y=x+k,x=-k. A(-k,0).SAOB=1 2k 2.由题意得1 2k 2=k,解得 k=2或 k=0(舍去), k=2. 5.(2018 安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一 个交点A(2,m),ABx轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直 线l对应的函数表达式是_. 6 答案 y=3 2x-3 解析 将点 A(2,m)代
5、入反比例函数 y=6 ,得 m= 6 2=3,所以交点 A(2,3),正比例函 数为 y=3 2x.又 ABx 轴于点 B,所以点 B(2,0),而平移直线 y=kx,使其经过点 B, 得到直线 l,所以直线 l 的斜率为3 2,所以可设直线 l 的函数表达式为 y= 3 2x+b, 点 B(2,0)代入可得 b=-3,所以直线 l 对应的函数表达式是 y=3 2x-3. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 反比例函数及其图象和性质(低频考点) 1.反比例函数的定义 (1)一般地,如果两个变量y与x的关系可以表示成 (k是常数,k0)的形 式,那么称y是x的反比例函数,其中
6、x是自变量,常数k(k0)称为反比例函数 的比例系数. (2)反比例函数 中的 是一个分式,所以自变量x0 ,函数图象与x轴、 y轴无交点. (3)反比例函数表达式可以写成xy=k(k0),它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y之积,总等于已知常数k. y= y= 2.反比例函数表达式的确定(10年1考) 待定系数法求表达式的步骤: (1)设出反比例函数表达式 (k0); (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b); (3)将P(a,b)代入表达式得k=ab ; (4)确定反比例函数表达式为 . y= y= 3.图象和性质(10年4考) (1)反比例函数 (k0,k为常数)的图象是
7、双曲线,且关于原点 对称. (2)反比例函数的图象和性质 y= 表达式 (k0,k为常数) k k0 k0)上点有关的图形面积 SAPP=2|k| SABC=|k| SABCD=|k| y= 考点三 反比例函数与一次函数结合(高频考点) 利用函数图象确定不等式 ax+b 或 ax+b 的方法: 如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们 连同y轴把平面分为四部分,相应标为,. 1.在,部分,反比例函数图象位于一次函数图象 上方,则不等式ax+b 的解集为xxb或0x 的解集为xbxxa . 考点四 反比例函数的实际应用(低频考点) 1.利用反比例函数的性质解决实际问题
8、的步骤 (1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式; (2)研究自变量的取值范围; (3)研究所得函数; (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值; (5)解决提出的实际问题. 2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数 图象应是双曲线的一部分. 考法互动研析考法互动研析 考法1反比例函数表达式的确定 例1(2020 上海)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数 的表达式是( ) A.y=2 B.y=-2 C.y=8 D.y=-8 答案 D 解析 设反比例函数表达式为 y= (k0),将(2,-4)代入,得-4= 2,解得 k=-8
9、,所 以这个反比例函数表达式为 y=-8 ,故选 D. 方法总结 求反比例函数的表达式,只要知道函数图象上一个点的坐标或 一对对应的函数值,代入函数表达式,即可利用待定系数法求出比例系数k 的值. 对应练1(2020 黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边 AB在y轴上,点C坐标为(2,-2),并且AOBO=12,点D在函数y= (x0)的图 象上,则k的值为_. 答案 2 解析 如图,点C坐标为(2,-2), 矩形OBCE的面积=22=4, AOBO=12, 矩形AOED的面积=2, 点D在函数y= (x0)的图象上,k=2. 对应练2(2020 陕西)在平面直角坐标系中
10、,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在 三个不同的象限.若反比例函数y= (k0)的图象经过其中两点,则m的值为 _. 答案 -1 解析 点 A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限,且点(-2,1)在第二象 限, 点 C(-6,m)一定在第三象限. B(3,2)在第一象限,反比例函数 y= (k0)的图象经过其中两点, 反比例函数 y= (k0)的图象经过 B(3,2),C(-6,m),3 2=-6m, m=-1. 考法2反比例函数的图象和性质 例2 (2020 浙江嘉兴、舟山)经过实验获得两个变量x(x0),y(y0)的一组对 应值如下表. (1)请
11、画出相应函数的图象,并求出函数表达式. (2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若x10). (2)k=60, 在第一象限内,y 随 x 的增大而减小, 0x1y2. 方法总结 本题考查了反比例函数的图象和性质.在利用反比例函数的性 质比较大小时,一定要注意已知的点是否在同一个象限,若在同一个象限内, 则根据函数增减性比较,如本题;若不在同一个象限内,则要根据函数值的 范围进行比较,如点(-2,y1),(3,y2)在反比例函数y=- 的图象上,因为k=-1,所 以图象位于第二、四象限,又因为点(-2,y1)在第二象限,y10,点(3,y2)在第四 象限,y20y2. 1 对应
12、练3(2020 天津)若点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y= 的图 象上,则x1,x2,x3的大小关系是( ) A.x1x2x3 B.x2x3x1 C.x1x3x2 D.x3x1x2 10 答案 C 解析 点 A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数 y=10 的图象上, -5=10 1,即 x1=-2;2= 10 2,即 x2=5; 5=10 3,即 x3=2.-225,x1x30)的图象经过OA的中点C交AB于 点D,连接CD.若ACD的面积是2,则k的值是_. 解析 连接 OD,过 C 作 CEAB,交 x 轴于 E. ABO=90,
13、反比例函数 y= (x0,k0)的图象经过 OA 的中点 C, = = 1 2k, = =2. CEAB,OCEOAB, = 1 4,4 = , 4 1 2k=2+2+ 1 2k,k= 8 3. 答案 8 3 考法3反比例函数的应用 例3 (2020 浙江台州)小明同学训练某种运算 技能,每次训练完成相同数量的题目,每次训练 题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成 一次训练所需要的时间y(单位:秒)与训练次数 x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关 系.完成第3次训练所需时间为400秒. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2
14、,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的大 小. 解 (1) 设反比例函数解析式为 y= (k0).将点(3,400)代入,即得 k=3 400=1 200, 故反比例函数的解析式为 y=1 200 (x0). (2)当 x=6 时,代入反比例函数解析式中, 解得 y1=1 200 6 =200; 当 x=8 时,代入反比例函数解析式中, 解得 y2=1 200 8 =150; 当 x=10 时,代入反比例函数解析式中,解得 y3=1 200 10 =120. y1-y2=200-150=50, y2-y3=150-120=30, y1-y2y2-y3. 方法总结 利用反比例函数解决实际问
15、题,主要是根据题目所给图象或表 格等求出反比例函数的表达式,再利用反比例函数的性质解决问题. 对应练6(2020 湖南长沙)2019年10月,长沙晚报对外发布长沙高铁两 站的设计方案,该方案以三湘四水,杜鹃花开为主题,塑造出杜鹃花开的美 丽姿态,该高铁站建设初期需要运送大量的土石方,某运输公司承担了运送 总量为106 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:m3/ 天)与完成运送任务所需的时间t(单位:天)之间的函数关系式是( ) A.v=10 6 B.v=106 C.v= 1 106t 2 D.v=106t2 答案 A 解析 vt=106,v=10 6 . 故选 A. 对应
16、练7(2020 山东临沂)已知蓄电池的电压 为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻 R(单位:)是反比例函数关系.当R=4 时, I=9 A. (1)写出I关于R的函数解析式; (2)完成下表,并在给定的平面直角坐标系中 画出这个函数的图象; R/ 3 10 I/A (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A.那么用电器 可变电阻应控制在什么范围内? 解 (1)电流 I 是电阻 R的反比例函数, 设 I= (k0). 当 R=4 时,I=9 A,代入,得 k=4 9=36, I=36 . (2)填表如下: 函数图象如下: R/ 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A
17、 12 9 7.2 6 36 7 4.5 4 3.6 (3)I10,I=36 ,36 10,R3.6, 即用电器可变电阻应控制在 3.6 以上的范围内. 考法4反比例函数与一次函数的综合 例4(2020 四川乐山) 如图,已知点A(-2,-2)在双曲线y= 上,过点A的直线 与双曲线的另一支交于点B(1,a). (1)求直线AB的解析式; (2)过点B作BCx轴于点C,连接AC,过点C作 CDAB于点D.求线段CD的长. 解 (1)将点 A(-2,-2)代入 y= ,得 k=4,即 y= 4 .将 B(1,a)代入 y= 4 , 得 a=4,即 B(1,4). 设直线 AB 的解析式为 y=m
18、x+n, 将 A(-2,-2),B(1,4)代入 y=mx+n,得 -2 = -2 + , 4 = + , 解得 = 2, = 2. 直线 AB 的解析式为 y=2x+2. (2)A(-2,-2),B(1,4), AB= (-2-1)2+ (-2-4)2=3 5. BCx 轴, BC=4, SABC=1 2 AB CD= 1 2 BC 3, CD=3 = 43 3 5 = 4 5 5 . 对应练8(2020 四川成都) 在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (x0)的 图象经过点A(3,4),过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴 分别交于B,C两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)若
19、AOB的面积为BOC的面积的2倍,求此直 线的函数表达式. 解 (1)将 A(3,4)代入 y= 得 m=12, 反比例函数的表达式为 y=12 . (2)当直线 y=kx+b与 x轴负半轴交于点 B,与 y轴正半轴交于点 C时, 如图所示. AOB的面积是BOC的面积的 2倍, SBOC=SAOC, C是 AB的中点. 又C在 y轴上,xC=0, + 2 =xC=0, 即 xB=-xA=-3, B(-3,0).将 B(-3,0),A(3,4)代入直线 y=kx+b得 3 + = 4, -3 + = 0,解得 = 2 3 , = 2, 直线的函数表达式为 y=2 3x+2. 当直线 y=kx+
20、b与 x轴正半轴交于 B,与 y轴负半轴交于 C时,如图所示. AOB 的面积是BOC 的面积的 2 倍, 而 SAOB=1 2OB|yA|,SBOC= 1 2OB|yC|, |yA|=2|yC|,且 yC0)的 图象交于点P,以P为圆心,以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R 作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,Q,连接 OM得到MOB. (1)求证:点Q在直线OM上; (2)你能说明MOB= AOB的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时,你还会求三等分角吗? 1 1 3 (1)证明 设P,R两点的坐标分别为P 1, 1 1 ,R 2, 1 2 ,则Q 1, 1 2 ,M
21、2, 1 1 . 设直线 OM 的关系式为 y=kx, 1 1=ka2,k= 1 12, y= 1 12x.当 x=a1 时,y= 1 2,点 Q 1, 1 2 在直线 OM 上. (2)解 如图,设 PR 与 OM 的交点为 C.四边形 PQRM 是矩形, PC=1 2PR=CM,2=23. PR=2PC,PR=2OP,PC=PO,1=2. 3=4,1=24,即MOB=1 3AOB. (3)解 当给定的已知角是钝角或直角时,先作出钝角或直角的一半,按第(2) 问方法先将此钝角的一半(锐角)三等分,进而再作一个角与已作角的角相 等即可得到钝角或直角的三等分角. 2.(2018 湖北宜昌)如图,一块砖的A,B,C三个面的面积比是421.如果 A,B,C面分别向下放在地上,地面所受压强为p1,p2,p3.压强的计算公式为 p= ,其中p是压强,F是压力,S是受力面积.则p1,p2,p3的大小关系正确的是 ( ) A.p1p2p3 B.p1p3p2 C.p2p1p3 D.p3p2p1 答案 D 解析 砖的质量一定,压力F是固定的,p与S成反比,S越大,p越 小.A,B,C三个面的面积比为421,p3p2p1.
