1、第第2323讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 第六单元第六单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 切线的性质 1.提示:见第22讲第3题. 2.(2018 安徽,12,5分)如图,在菱形ABOC中AB,AC分别与O相切于点D,E. 若点D是AB的中点,则DOE=_. 答案 60 解析 连接 OA,四边形 ABOC 是菱形,BA=BO,AB 与O 相切于点 D, ODAB,点 D 是 AB 的中点,直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线, OA=OB,AOB 是等
2、边三角形,AB 与O 相切于点 D,ODAB, AOD=1 2AOB=30 ,同理,AOE=30 ,DOE=AOD+AOE=60 . 命题点2 直线与圆的位置关系 3.(2012 安徽,9,4分)如图,A点在半径为2的O上,过线段OA上的一点P作直 线l,与O过A点的切线交于点B,且APB=60,设OP=x,则PAB的面积y 关于x的函数图象大致是( ) 答案 D 解析 A点在半径为 2的O上,过线段 OA上的一点 P作直线 l,与O过 A 点的切线交于点 B,且APB=60 ,AO=2,OP=x,则 AP=2-x, tan 60 = = 3,解得 AB= 3(2-x)=- 3x+2 3, S
3、ABP=1 2 PA AB= 1 2(2-x) 3 (-x+2)= 3 2 x2-2 3x+2 3, 故此函数为二次函数,a= 3 2 0, 当 x=- 2=2时,S取到最小值为 4-2 4 =0,根据图象得出只有 D符合要求. 命题点3 三角形的外接圆 4.(2013 安徽,10,4分)如图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下 判断中,不正确的是( ) A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形 B.当APC是等腰三角形时,POAC C.当POAC时,ACP=30 D.当ACP=30时,BPC是直角三角形 答案 C 解析 A 当弦 PB 最长时,PB 为O的直径,由圆周角定理得出BAP
4、=90 ,再根据 等边三角形的性质及圆周角定理得出 AP=CP,则APC 是等腰三角形 正 确 B 当APC 是等腰三角形时,点 P 是AC 的中点或与 B 点重合,由垂径定理 可得 POAC 正 确 C 当 POAC 时,点 P 是AC 的中点或与 B 点重合,可得ACP=30 或 ACP=60 错 误 D 当ACP=30 时,点 P 是AC 的中点时,BP 是直径,由圆周角定理得 BCP=90 ;点 P 是AB 的中点时,CP 是直径,得CBP=90 ,BPC 是直角 三角形 正 确 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 与圆有关的位置关系(低频考点) 1.点与圆的位置关
5、系. 点和圆的位置关系有三种,分别是:点在圆外、点在圆上和点在圆内. 设圆的半径为r,平面内任意一点到圆心的距离为d,则 (1)点在圆外dr,如点A ; (2)点在圆上d=r,如点B; (3)点在圆内d r d= r dr 考点二 切线的性质与判定(高频考点) 1.切线的定义:直线与圆只有一 个公共点,这时称直线与圆相切,这条直线 叫做圆的切线,这个公共点叫做切点. 2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的 切线. 注意:(1)若题目中明确了为切线的直线与圆有交点,则连接这个交点和圆 心即得半径,应用切线的判定定理证明半径与这条直线垂直即可. (2)当直线和圆的公共点
6、没有确定时,具体操作过程为,过圆心作直线的垂 线,证明圆心到直线的距离等于半径. 3.切线的性质:圆的切线垂直 于过切点的半径. 注意:(1)圆的切线与圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于圆的半径. (3)“有切线,连半径,得垂直”,这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法. 考点三 三角形的外接圆与内切圆(低频考点) 图 形 内心、外心 性 质 外接圆 三边垂直平分线 的交点叫三角形 的外心 三角形的外心到 三角形三个顶点 的距离相等 内切圆 三条内角平分线 的交点叫三角形 的内心 三角形的内心到 三角形三边的距 离相等 考法互动研析考法互动研析 考法1与圆有关的位置关系 例1(201
7、9 安徽合肥长丰二模)如图,直线y=x+2与x 轴,y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该 直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析 直线 y=x+2与 x轴,y轴分别相交于 A,B两点,圆心 P的坐标为(1,0), A点的坐标为(-2,0),B点的坐标为(0,2),AB=2 2.将圆 P沿 x轴向左移动, 当圆 P与该直线相切于点 C1时,P1C1=1,根据AP1C1ABO, 1 2 = 1 = 1 2 2, AP1= 2,P1的坐标为(-2+ 2,0).将圆 P沿 x
8、轴向左移动,当圆 P与该直 线相切于 C2时,P2C2=1,根据AP2C2ABO,1 2 = 2 = 2 2 2,AP2= 2,P2 的坐标为(-2- 2,0).综上,从-2+ 2到-2- 2的整数点有-1,-2,-3,故横坐标为整 数的点 P的个数是 3个. 方法总结 直线与圆的位置关系:圆心到直线的距离大于圆的半径,直线与 圆相离;圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与圆相切;圆心到直线的距 离小于圆的半径,直线与圆相交,反之也成立. 对应练1(2020 安徽模拟)若A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标 是(5,2),那么点P的位置为( ) A.在A内 B.在A上 C.在A外
9、D.不能确定 答案 A 对应练2(2020 广东广州)如图,在RtABC中,C=90,AB=5,cosA= ,以 点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4 5 答案 B 考法2切线性质与判定 例2(2020 安徽合肥三模)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的 O交AC于点E,O的切线DE交BC于点F,交AB的延长线于点D. (1)若BD=2,DE=4,求O的半径; (2)求证:BF=CF. (1)解 如图,连接OE, DE为O的切线, OEF=90. 设O半径为x, 则OB=OE=x, BD=2, OD=OB
10、+BD=x+2. 在RtDEO中,OE2+DE2=OD2, x2+42=(x+2)2,解得x=3, 即O的半径为3. (2)证明 连接BE,如图, AB为O的直径, AEB=90,CEB=90, CBE+C=90,CEF+FEB=90. ABC=90, BC为O的切线. DE为O的切线, BF=EF, CBE=BEF. C=CEF,CF=EF,BF=CF. 方法总结 (1)过切点作半径,把切线条件转化为垂直条件.(2)用过交点的半 径与直线的位置关系来判断:如果已知直线和圆有公共点,过该点作半径, 判断该半径与直线是否垂直,若垂直,则相切;若不垂 直,则相交.(3)通过比较圆心到直线的距离与半
11、径的大小来判断:如果不知 道直线和圆有无公共点,则过圆心作直线的垂线,根据该垂线段的长与半径 长的大小关系判定即可.(4)用直线与圆的交点个数来判断:如果直线与圆 只有一个公共点,则直线与圆相切;如果直线与圆有两个公共点,则直线与 圆相交,如果直线与圆没有公共点,则直线与圆相离. 对应练3(2020 四川凉山州)如图,AB是半圆AOB的 直径,C是半圆上的一点,AD平分BAC交半圆于点 D,过点D作DHAC与AC的延长线交于点H. (1)求证:DH是半圆的切线; (2)若 DH=2 5,sinBAC= 5 3 ,求半圆的直径. (1)证明 连接OD, OA=OD,DAO=ADO. AD平分BA
12、C, CAD=OAD, CAD=ADO,AHOD. DHAC,ODDH, DH是半圆的切线. (2)解 连接BC交OD于E, AB是半圆AOB的直径,ACB=90. ANODODBC, H=HCE=DEC=90, 四边形CEDH是矩形. AB=12, 即半圆的直径为12. CE=DH=2 5, BC=2CE=4 5, sinBAC= = 5 3 , 考法3三角形的外接圆与内切圆 例3(2020 四川达州)已知ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+a2-8a= , 则ABC的内切圆半径=_. 4 -1-19 答案 1 解析 b+|c-3|+a2-8a=4 -1-19, |c-3|+(a-4)
13、2+( -1-2)2=0,c=3,a=4,b=5. 32+42=25=52,c2+a2=b2, ABC是直角三角形. 设内切圆的半径为 r, 根据题意,得 SABC=1 2 3 4= 1 2 3 r+ 1 2 4 r+ 1 2 r 5, r=1. 方法总结 常用的内切圆半径公式有2个:(1)设RtABC三边长为a,b,c(斜 边),则内切圆半径为 r=+- 2 ;(2)设任意ABC 三边长为 a,b,c,内切圆半径 为 r= 2 +(S 为该三角形的面积). 对应练4(2020 安徽芜湖二模)如图,ABC内接于O,BDAC于点E,连接 AD,OFAD于点F,D=45.若OF=1,则BE的长为_
14、. 答案 2 对应练5(2020 安徽合肥肥东县一模)如图,P为等腰ABC内一 点,AB=BC,BPC=108,D为AC中点,BD与PC相交于点E,已知P为ABE 的内心. (1)求证:PEB=60; (2)求PAC的度数. (1)证明 因为点P为ABE内心, 所以PB,PE,PA分别是 ABE,AEB,BAE的角平分线, 即PBE+PEB+PAE=90. 又BPC=108, 所以PBE+PEB=72, 所以PAE=18,BAE=36. 因为AB=BC,且D是AC中点, 所以ABE=CBE. 又BE=BE,AB=CB, 所以ABECBE(SAS), 即BCE=36. 又BPC=108, 所以CBP=36. 又CBE=ABE=2PBE, 所以CBE=24, 所以PEB=BCE+CBE=60. (2)解 由(1)ABECBE, 所以BEC=BEA. 易知CED=AED=PEB=60, 所以EAD=30, 所以PAC=30+18=48.
