1、第第1818讲讲 相似三角形相似三角形 第四单元第四单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点 相似三角形的判定与性质 1.(2019 安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12,点D在 边BC上,点E在线段AD上,EFAC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则 CD的长为( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 答案 B 解析 作 DHEG交 AB于点 H,则AEGADH, = , EFAC,C=90
2、, EFA=C=90,EFCD,AEFADC, = , = , EG=EF,DH=CD,设 DH=x,则 CD=x,BC=12,AC=6,BD=12-x, EFAC,EFEG,DHEG,EGACDH, BDHBCA, = ,即 6 = 12- 12 ,解得,x=4,CD=4,故选 B. 2.(2016 安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段 AC的长为( ) A.4 B.4 2 C.6 D.4 3 答案 B 解析 由B=DAC,又找到公共角C,得出CADCBA, = , AD 是中线,CD=1 2BC=4, 8 = 4 ,解得 AC=4 2,故选 B. 3.(
3、2013 安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为 PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则 S1+S2=_. 答案 8 解析 过P作PQDC交BC于点Q,由DCAB,得到PQAB, 四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形, PDCCQP,ABPQPB, SPDC=SCQP,SABP=SQPB, EF为PCB的中位线, EFBC,EF= BC, PEFPBC,且相似比为12, SPEFSPBC=14, SPEF=2,SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+S2=8. 1 2 4.(2019 安徽,23
4、,14分)如图,RtABC中,ACB=90,AC=BC,P为ABC内 部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2 h3. 1 2 解 (1)ACB=90,AB=BC, ABC=45=PBA+PBC. 又APB=135,PAB+PBA=45, PBC=PAB. 又APB=BPC=135, PABPBC. (2)证法一:PABPBC, = = , 在 RtABC 中,AB=AC, = 2,PB= 2PC,PA= 2PB, PA=2PC; 证法二:APB=BPC=13
5、5,APC=90. CAPCP. 在线段AP上取点D,使AD=CP. 又PAB=CBP,CAD=BCP. AC=CB,ADCCPB. ADC=CPB=135. CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45. CAD=PBA. 又CDP=45,PDC为等腰直角三角形, CP=PD.AD=CP,PA=2PC. (3)如图,过点P作PDBC,PEAC交 BC,AC于点D,E, PF=h1,PD=h2,PE=h3, CPB+APB=135+135=270, APC=90,EAP+ACP=90, 又ACB=ACP+PCD=90 EAP=PCD,RtAEPRtCDP, = =2,即 3 2=2,h3=2h
6、2, PABPBC, 1 2 = = 2,h1= 2h2, 1 2=222=2h2 h2=h2h3. 即:1 2=h2 h3. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 比例线段(低频考点) 1.比例线段的定义 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线 段的比相等 ,如 (即ad=bc ),我们就说这四条线段成比例. = 2.比例的基本性质 (1)若 = ,则 ad=bc (b,d0); (2)若 ad=bc,则 = (b,d0). (3)若 = ,则 = (b,d0). (4)若 = = (b,d,n0 且 b+d+n0),则+ + = .
7、3.平行线分线段成比例 (1)两条直线被一组平行线 所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等, 那么在另一条直线上截得的线段也相等 . (2)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 .如图1, 若l1l2l3, (3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线 段成比例.如图2,在ABC中,DE BC,则 . 则 = 或 = . = 图1 图2 4.黄金分割 一般地,如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果AC是线段 AB和BC的比例中项 ,且 ,那么点C叫做线段AB的黄 金分割点.AC和AB的比叫做黄金比. = = 5-1 2 0.
8、618 考点二 相似三角形的概念、性质及判定(高频考点) 1.概念 对应角相等 ,对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形 对应边的比叫做相似比 . 2.相似三角形的性质及判定(10年9考) 性 质 (1)相似三角形的对应角相等 ,对应边成比例; (2)相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比 ,面积比等于相似比的平方 判 定 (1)两角 分别相等的两个三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似; (3)三边对应成比例 的两个三角形相似; (4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似; (5)顶角相等 的两等腰
9、三角形相似 3.三角形相似的判定思路和常见的图形 三角形 相似的 判定思 路 有平行截线,用平行线的性质,找等角 有一对等角,找 另一个等角, 该角的两边对应成比例 有两边对应成比例,找 夹角相等, 第三边也对应成比例, 有一对直角 直角三角形,找 一对锐角相等, 斜边、直角边对应成比例 等腰三角形,找 顶角相等, 一对底角相等, 底和腰对应成比例 几 种 常 见 的 图 形 1.“A”字型 DEBC 2.“X”字型 ABCD 3.斜交型 AED=B 4.蝴蝶型 A=D或B=C 5.双垂图 ABAC,且 ADBC 6.双垂图拓展型 CAD=B 对于双垂图有:AB2=BD BC;AC2=CD B
10、C;AD2=BD CD;对于拓 展型仅有 AC2=CD BC 考点三 相似多边形及其性质(低频考点) 1.概念 对应角相等 ,对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形 对应边的比叫做相似比 . 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等 ,对应边成比例 ; (2)相似多边形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 相似比 ; (3)相似多边形周长的比等于相似比 ,面积的比等于相似比的平方 . 考法互动研析考法互动研析 考法1比例线段及比例的性质 例1 (2020 四川成都)如图,直线l1l2l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,且 AB=5,BC=6,EF=4
11、,则DE的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.10 3 答案 D 解析 由平行线分线段成比例得5 6 = 4 , 解得 DE=20 6 = 10 3 ,故选 D. 对应练1(2020 黑龙江哈尔滨)如图,在ABC中,点D在BC上,连接AD,点E在 AC上,过点E作EFBC,交AD于点F,过点E作EGAB,交BC于点G,则下列 式子一定正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 答案 C 解析 EFBC,AEFACD, = = ,故选项 A错误; = - = , EGAB,CEGCAB, = = , = - ,故选项 B错误; = ,故选项 D错误; EFBC, = , EGAB
12、, = , = ,故选项 C正确. 故选 C. 对应练 2(2020 湖南湘潭)若 = 3 7,则 - =. 答案 4 7 解析 由 = 3 7,可设 y=3k,x=7k,k 是非零整数,则 - = 7-3 7 = 4 7 = 4 7. 对应练 3(2020 湖南娄底)若 = = 1 2(ac),则 - - =_. 答案 1 2 解析 由 = = 1 2(ac)可得 a=2b,c=2d, 代入- - = - 2-2 = - 2(-) = 1 2. 考法2 相似三角形的性质与判定 例2 (2020 四川攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形 的重心.如图G是ABC的重心.求证:AD
13、=3GD. 证明 连接DE,如图, 点G是ABC的重心,点E和点D分别是AB和BC的中点, DE是ABC的中位线. DEAC 且 DE=1 2AC, DEGACG. = , 1 2 = , = 1 3, AD=3DG,即 AD=3GD. 方法总结 利用相似三角形证明等积线段的基本思路: 1.先把等积线段转化为比例线段,再找出与比例线段中的线段有关的两个 三角形,然后再证明这两个三角形相似,利用“相似三角形对应边成比例”即 可推出结论. 2.寻找并证明两个三角形相似是解题的关键,寻找相似三角形的基本方法 是“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法,具 体做法是:先看比例式前
14、项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能 否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这 叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点 能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了, 这叫做“竖定”. 对应练4(2020 新疆建设兵团)如图,在ABC中,A=90,D是AB的中点,过 点D作BC的平行线,交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且 DFE的面积为1,则BC的长为( ) A.2 5 B.5 C.4 5 D.10 答案 A 解析 DEBC,D 是 AB 的中点,DE 是ABC 的中位线, SADE=SDE
15、F=1,ADEABC,AE=CE. =( ) 2=1 4,SABC=4. AB=CE,AC=2AB. A=90,1 2AB AC=4, 1 2AB 2AB=4. AB0,AB=2,AC=4, BC= 22+ 42=2 5.故选 A. 对应练 5(2020 广东深圳)如图,已知四边形 ABCD,AC与 BD相交于点 O, ABC=DAC=90,tanACB=1 2 , = 4 3,则 =_ . 答案 3 32 解析 过 B 点作 BEAD 交 AC 于点 E,则 BEAC,ADOEBO, = = 3 4. 由 tanACB=1 2可得 CE=2BE=4AE, = = 3 4+(3+4)4 = 3
16、 32 对应练6(2020 浙江杭州)如图,在ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边 上,DEAC,EFAB. (1)求证:BDEEFC. 若BC=12,求线段BE的长; 若EFC的面积是20,求ABC的面积. (2)设 = 1 2, (1)证明 DEAC, DEB=FCE.EFAB, DBE=FEC,BDEEFC. (2)解 EFAB, = = 1 2. EC=BC-BE=12-BE, 12- = 1 2, 解得 BE=4. = 1 2, = 2 3. EFAB,EFCBAC, =( ) 2=(2 3) 2=4 9. = 9 4 = 9 4 20=45. 对应练7(2020 上海)如
17、图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD 上,BE=DF,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线 于点H. (1)求证:BECBCH; (2)如果BE2=AB AE,求证:AG=DF. 证明 (1)四边形ABCD是菱形,CD=CB,D=B,CDAB. DF=BE,CDFCBE(SAS), DCF=BCE.CDBH, H=DCF,BCE=H, B=B,BECBCH. DF=BE,BC=AB,BE=AG=DF, 即AG=DF. (2)BE2=AB AE, = . AGBC, = , = . 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大
18、的金字塔.塔高146.59米,因年久风化,顶 端剥落10余米,现高136.5米,相当于40层大厦高.大小不等的石料重达1.5吨 至50吨,塔的总质量约为684万吨,它的规模是埃及至今发现的110座金字塔 中最大的. 它是一座几乎实心的巨石体,成群结队的人将这些大石块沿着金字塔内部 的螺旋上升通道往上拖运,然后逐层堆砌而成,十万多个工匠共用约20年的 时间才完成的人类奇迹,埃菲尔铁塔还未建成时,胡夫金字塔还曾是世界上 最高的建筑物. G 关联中考关联中考 1.(2020 山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家,他最早提 出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、
19、金字塔的影长,推算出金字塔的高度.这种测量原理,就是我们所学的( ) A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似 答案 D 解析 根据题意画出图形:可以得到ABECDE,则 = ,AB 即为金字塔 的高度,CD 即为标杆的高度,通过测量影长即可求出金字塔的高度,故选 D. 2.(2018 吉林长春)孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一 千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆, 长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它 在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸 (提示:1丈=10尺
20、,1尺=10寸),则竹竿的长为( ) A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 答案 B 解析 设竹竿的长度为x尺.竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五 寸=1.5尺,标杆的影长五寸=0.5尺, ,解得x=45,即竹竿的长度为四 丈五尺. 15 = 1.5 0.5 3.(2020 上海)九章算术中记载了一种测量井深的方 法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从 木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB 交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井 深AC为_米. 答案 7 解析 BDAB,ACAB,BDAC,ACEBDE. = , 1 = 1.4 0.2 AC=7(米).
