1、 1 实际问题与实际问题与二元一次方程组二元一次方程组（一一） （提高提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和 检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型； 2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、常见的一些等量关系点一、常见的一些等量关系（一）（一） 1 1. .和差倍分问题：和差倍分问题： 增长量原有量增长率 较大量较小量多余量，总量倍数倍量. 2.2.产品配套问题：产品配套问题： 解这
2、类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.3.工程问题：工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量. 4.4.利润问题：利润问题：商品利润商品售价商品进价，=100% 利润 利润率 进价 . 要要点二点二、实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 1.1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联 系起来，找出题目中的等量关系一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的是同类量：同类量的单位要统一；方程两边的数要相等. 2.2.列二元列二元一次
3、方程组解应用题的一般步骤：一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组） ； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案 要点诠释：要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去； （2） “设” 、 “答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、和差倍分问题和差倍分问题 1.在一次
4、数学测验中，甲、乙两校各有 100 名同学参加测试测试结果显示，甲校男生的优分 率为 60，女生的优分率为 40，全校的优分率为 49.6；乙校男生的优分率为 57，女生的优分率为 37 (男(女)生优分率 () 100% () 男 女 生优分人数 男 女 生测试人数 ，全校优分率100% 全校优分人数 全校测试人数 ) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? (2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计 结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因 【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、 女生人数需设两个未知数， 故可
5、建立二元一次方程组求解 (2) 由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分 2 率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率 【答案与解析】 解：(1)设甲校参加测试的男生人数是 x 人，女生人数是 y 人 由题意可列方程组： 100 60%40%49.6% 100 xy xy 解之得： 48 52 x y 答：甲校参加测试的男生有 48 人，女生有 52 人 (2)如：乙校男生有 70 人，女生有 30 人，则乙校的全校优分率为 70 57%30 37% 100%51% 100 5149.6 (说明：只要所举例子中男生人数多于 63
6、 人，且女生优分率合适，即可得全分) 【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程 组，再求解本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全 校优分率比乙校的全校的优分率低 举一反三：举一反三： 【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在 2009 年正式开始某经销商在政策出台前 一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共 960 台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共 1228 台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长 30和 25% (1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型
7、汽车分别为多少台? (2)若手动型汽车每台价格为 8 万元，自动型汽车每台价格为 9 万元根据汽车补贴政策，政府按每 台汽车价格的 5给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这 1228 台汽车用户共补贴了 多少万元？ 【答案】 解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为 x 辆，自动型汽车为 y 辆， 由题意可得： 960 (1 30%)(1 25%)1228 xy xy 解之得： 560 400 x y 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为 560 辆，自动型汽车为 400 辆 (2)560(1+30)8+400(1+25)95516.2(万元) 答：政策出台后的第一个月
8、，政府对这 1228 台汽车用户共补贴了 516.2 万元 类型二、类型二、配套问题配套问题 2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女 生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐） ，这样安排劳动时恰需筐 68 个，扁 担 40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【答案与解析】 解：设女生x人，男生y人，由题意得： 3 3 440 2 3 2(4)68 2 x y x y 解得： 21 32 x y 答：这个班的男生有 32 人，女生有 21 人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐题中的等量关
9、系是： 参加劳动的同学一共用去箩筐 68 个和 40 根扁担，从而列出方程组，解出即可 【高清课堂：【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）实际问题与二元一次方程组（一）409143409143 例例 2 2 练习练习】 举一反三：举一反三： 【变式】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14 个 或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】 解：设分配 x 人生产螺栓，y 人生产螺母，则根据题意可得： 答：应分配 25 人生产螺栓，35 人生产螺母. 类型三、类型三、工程问题工程问题 【高清
10、课堂：【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）实际问题与二元一次方程组（一）409143409143 例例 3 3】 3.一项工程，甲队单独做要 12 天完成，乙队单独做要 15 天完成，丙队单独做要 20 天完成按 原定计划，这项工程要求在 7 天内完成现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加 入这项工作，这样比原定时间提前 1 天完成任务问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少 天？ 【思路点拨】根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解 【答案与解析】 解：设甲、乙两队先合做了 x 天，丙队加入后又做了 y 天，则 解得 4 2 x y 答：甲、乙两队合做
11、了 4 天，丙队加入后又做了 2 天 【总结升华】工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效 率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工 作总量设为单位“1” 类型四、利润问题类型四、利润问题 7 1 , 111 1 121520 xy xyy 60 20 14 2 xy y x 25 35 x y 4 4.甲乙两件服装的成本为 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按 50%的利润定价，乙 种服装按 40%的利润定价实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利 157 元求甲乙两件服 装的成本各是多少元
12、？ 【答案与解析】 解：设甲、乙两件服装的成本分别为x元和y元，由题意： 解得： 300 200 x y 答：甲、乙两件服装的成本分别为 300 元和 200 元 【总结升华】本题也可以用一元一次方程的知识解答 举一反三：举一反三： 【变式】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠，能比 标价省 13.2 元已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？ 【答案】 解：设书包和文具盒的标价分别为 x 元和 y 元，根据题意，得 (1 0.8)()13.2 36 xy xy 解得： 48 18 x y 答：书包和文具盒的标价分别为 48 元和 18 元 500 (1 50%)(1 40%) 90%500 157 xy xy
