1、 1 数轴与相反数（基础）数轴与相反数（基础） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解数轴的概念及三要素； 2理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 3会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义； 4. 掌握多重符号的化简. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、数轴数轴 1.1.定义：定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释：要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为 度量线段的长度而制定的单
2、位有 km、m、dm、cm 等 （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动 2.2. 数轴与有理数的关系：数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理 教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释：要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原 点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 要点二、要点二、相反数相反数 1.1.定义：定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0. 要点诠释：要点诠释： （
3、1） “只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2） “0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.2.性质：性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为 0. 要点三、要点三、多重符号的化简多重符号的化简 多重符号的化简， 由数字前面 “-” 号的个数来确定， 若有偶数个时， 化简结果为正， 如-(-4)=4 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 . 要点诠释：
4、要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“” ，仍然与原数相同，如55，（5）5. （2）在一个数的前面添上一个“” ，就成为原数的相反数.如（3）就是3 的相反数，因此， （3）3. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、数轴的数轴的概念概念 1如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) 2 A(1)(2)(3) B(2)(3)(4) C只有(2) D(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致； （3）中 负有理数的标记有错误； （4）图中漏画了表示方向的箭头. 【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无
5、限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一 不可 类型二类型二、相反数的概念相反数的概念 2 （2011 烟台）下列各组数互为相反数的是（ ） A 1 8 和0.8 B 1 3 和0.33 C6和( 6) D3.14和 【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同” ，所以只要将原数的符 号变为相反的符号，即可求出其相反数. 【答案】C 【解析】 1 8 的相反数是 1 8 ， 而不是0.8； 1 3 的相反数是 1 3 ， 而不是0.33， 6 的相反数就是( 6) ， 所以 C 正确；3.14的相反数是3.14，不是. 【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数
6、的符号，其他部分都不变. 举一反三：举一反三： 【高清课堂：数轴和相反数【高清课堂：数轴和相反数 例例 1（1）（7） 】 【变式变式 1 1】填空： (1) (2.5)的相反数是 ；(2) 是-100 的相反数；(3) 1 5 5 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2 和 互为相反数.（6）a 和 互为相反数 . （7）_的相反数比它本身大， _的相反数等于它本身 【答案】 （1）2.5； （2）100； （3） 1 5 5 ； （4）1.1； （5）-8.2； （6）-a； （7）负数， 0 . 【高清课堂：数轴和相反数【高清课堂：数轴和相反数 例例 2 2】 【变式变
7、式 2 2】下列说法中正确的有( ) 3 和3 互为相反数；符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数必定一个是正数， 一个是负数；的相反数是3.14；一个数和它的相反数不可能相等 A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个或更多 【答案】B 【高清课堂：数轴和相反数【高清课堂：数轴和相反数 例例 1（8） 】 3已知 ,m n互为相反数，则2 22 3 mn mn 【答案】2 【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知0mn，代入上式可得：02 02 . 3 【总结升华】若,m n互为相反数，则0mn或mn. 类型类型三、三、多重符号的化简多重符号的化简 4.化简下列各数中的符号
8、（1） 1 2 3 （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） 1 2 （5）-(+1) （6）-(-a) 【答案】 (1) 11 22 33 （2）-(+5)-5 （3）-(-0.25)0.25 （4） 11 22 （5）-(+1)-(-1)1 (6)-(-a)a 【解析】 (1) 1 2 3 表示 1 2 3 的相反数，而 1 2 3 的相反数是 1 2 3 ，所以 11 22 33 ； （2）-(+5)表示+5 的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5； （3）-(-0.25)表示-0.25 的相反数，而-0.25 的相反数是 0.25，所以-(-0.25)0.25； （4）负数前
9、面的“+”号可以省略，所以 11 22 ； （5）先看中括号内-(+1)表示 1 的相反数，即-1，因此-(+1)-(-1)而-(-1)表示-1 的相反数，即 1，所以-(+1)-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a 的相反数，即 a 所以-(-a)= a 【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负号若 有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负 类型四、类型四、利用数轴比较大小利用数轴比较大小 5在数轴上表示 2.5，0， 3 4 ，-1，-2.5， 1 1 4 ，3 有理数，并用“”把它连接起来 【答案与解析】如图所示，点 A、B、C、D、E、F、
10、G 分别表示有理数 2.5，0， 3 4 ，-1，-2.5， 1 1 4 ， 3 由上图可得： 31 2.51012.53 44 【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表 示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （2011 浙江省）如图，在数轴上点 A 表示的数可能是（ ） 4 A. 1.5 B.1.5 C.2.6 D. 2.6 【答案】C 【高清课堂：数轴和相反数【高清课堂：数轴和相反数 例例 4（2） 】 【变式 2】填空： 大于 7 6 3且小于 7 6 7的整数有_个； 比 5 3 3小的非负整数
11、是_ 【答案】11；0，1，2，3 类型类型五、五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用） 6 已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a， b(ab)并且A、 B两点间的距离是 1 4 4 ， 求 a、b 两数 【思路点拨】因为 a、b 两数互为相反数(ab)，所以表示 a，b 的两点 A、B 离原点的距离相等，而 A、 B 两点间的距离是 1 4 4 ，所以 A、B 两点到原点的距离就是 11 422 48 【答案与解析】 解：由题意 A、B 两点到原点的距离都是： 11 422 48 而 ab，所以 1 2 8 a ， 1 2 8 b 【总结升华】(1)理解相反数的几何意义 (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点 对称 举一反三：举一反三： 【变式】填空： （1）数轴上离原点 5 个单位长度的点表示的数是_； （2）从数轴上观察，-3 与 3 之间的整数有_个 【答案】 （1）5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点； （2）5，提示：画出数轴，容易看 出-3 和 3 之间的整数是-2，-1，0，1，2 共 5 个
