1、17.1 17.1 二勾股定理二勾股定理 人教版八年级数学下册人教版八年级数学下册 创设情境创设情境 引入新知引入新知 如图所示，像一棵枝叶茂盛、如图所示，像一棵枝叶茂盛、 姿态优美的树，这就是著名的姿态优美的树，这就是著名的 毕达哥拉斯树（勾股树）毕达哥拉斯树（勾股树）. .它由它由 若干个图形组成，而每个图形若干个图形组成，而每个图形 的基本元素是三个正方形和一的基本元素是三个正方形和一 个直角三角形个直角三角形. .各组图形大小不各组图形大小不 一，但形状一致，结构奇巧一，但形状一致，结构奇巧. .它它 与勾股定理有着密切关系与勾股定理有着密切关系. . 17.1 勾股定理勾股定理 人教
2、版八年级下册人教版八年级下册 （第一课时）（第一课时） 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容；（重点） 2.学会用拼图+面积法证明勾股定理，并利用勾股定理进行计算.（难点） 师生互动师生互动 探究规律探究规律 假设每个小等腰直角三角形的面积为假设每个小等腰直角三角形的面积为1.1. SA+SB=SC . SA=2, SB=2, SC=4. 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 三个正方形A,B,C的面积SA , SB , SC分别是多少? SA , SB , SC之间有什么数量关系呢? 观察：从地面图案中，你发现了什么数量关系？ 思考：图中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边之间有什么
3、关系？ 两直角边的平方和等于斜边的平方. A B C 正方形正方形A的面积为的面积为_， 正方形正方形B的面积为的面积为_， 正方形正方形C的面积为的面积为_. 9 16 25 假设每个小正方形的面积都为假设每个小正方形的面积都为1.1. ? 思考：思考：三个正方形三个正方形A， B，C面积之间有什么关系呢面积之间有什么关系呢? SA+SB=SC. 师生互动师生互动 探究规律探究规律 问题：等腰直角三角形有上述性质，其他的 直角三角形也有这个性质吗？ 思考：思考： 直角三角形三边直角三角形三边a, ,b, ,c之间有什么关系之间有什么关系? ? A B C a2 + b2 = c2 SA +
4、SB= SC a b c 两直角边的平方和等于斜边的平方. 师生互动师生互动 探究规律探究规律 c a b 猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a, ,b, , 斜边长为c，那么a2+ +b2= =c2. 师生互动师生互动 探究规律探究规律 摆一摆，拼一拼，能否得到一个含有边长为含有边长为c的正方形的正方形? ? c a b c a b c a b c a b 动手实践动手实践 验证猜想验证猜想 动手实践动手实践 验证猜想验证猜想 a c b S小正方形= S大正方形 4 4S直角三角形. . (a-b)2 c2 = = a2+ b2 c2 . 猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,
5、 ,b, ,斜边长为c， 那么a2+ +b2= =c2. a22ab+ b2 c2 2ab . = 动手实践动手实践 验证猜想验证猜想 . c a b 证明：证明： S小正方形= S大正方形4 4S直角三角形, , c2 = (a+b)2 . c2 = a22ab b2 2ab . 动手实践动手实践 验证猜想验证猜想 猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a, ,b, ,斜边长为c， 那么a2+ +b2= =c2. 即即 a2 b2 =c2 . c b b a a a c b a c b 状元成才路状元成才路 状状 元元 成成 才才 路路 动手实践动手实践 验证猜想验证猜想 赵爽弦图 a2+
6、 b2 a2+ b2=c2 . c2 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.丌但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法丌断出现，现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一. 美国第二十任总统加菲尔德的证法，美国第二十任总统加菲尔德的证法， 所以又称这种证法为“总统”证法所以又称这种证法为“总统”证法. . b c a a b c a b a b a b ba a b c a b c a b c ab c Q P I H GF D E C B A 毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证
7、法 欧几里得 知识拓展知识拓展 感知文化感知文化 勾股定理：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a ,， 斜边长为斜边长为， 那么那么 a2+b2=c2 . A B C a c b 符号语言：符号语言： 在Rt ABC中， C=90=90， a2+b2 = c2 . 变形形式： 归纳总结归纳总结 得出结论得出结论 由由a2+b2 = c2 得：得： 由由a2 = c2 - b2 得：得： 由由b2= c2 - a2 得：得： . 22 =-acb 22 =+cab 22 =-abc 典例导析典例导析 运用新知运用新知 6 8 C A B 13 12 C
8、A B 例1 1 求出下列直角三角形中未知的边: （1 1） （2 2） 解：在解：在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8， 根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2=6=62 2+8+82 2= =100100， 解：在解：在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=13AB=13，BC=12BC=12， 根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：ACAC2 2=AB=AB2 2- -BCBC2 2= =13132 2- -12122 2=25=25， 100AB=AB= =10.=10. 25AA
9、C C= = =5.=5. 方法总结：在直角三角形中，已知两边求第三边，首先需看清哪个角是直角，方法总结：在直角三角形中，已知两边求第三边，首先需看清哪个角是直角， 从而判断出直角边和斜边，然后利用勾股定理求解从而判断出直角边和斜边，然后利用勾股定理求解. . 【类型一】【类型一】 直接利用勾股定理求长度（直接利用勾股定理求长度（知二求一知二求一） 典例导析典例导析 运用新知运用新知 例2 2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是 正方形.求图中字母所代表的正方形的面积 A 225 144 分析：把正方形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，分析：把正方形的面积与直角三角形三边的平
10、方联系起来， 从而得到三个正方形面积之间的等量关系从而得到三个正方形面积之间的等量关系. 方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形 的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的 等量关系等量关系 解：根据勾股定理，得：解：根据勾股定理，得：SA+144=225， SA=81. 【类型二】【类型二】 利用勾股定理求面积利用勾股定理求面积 这节课你学到了哪些数学知识？ 分享收获分享收获 升华新知升华新知
11、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言： 在RtABC中， C=90 ， a2+b2=c2. 注意： 1.定理应用条件：在直角三角形中. 2.看清哪个角是直角，从而判断出直角边和斜边. a b c 这节课你感悟到了哪些数学思想和方法呢？ 分享收获分享收获 升华新知升华新知 等腰直角三角形 一般的直角三角形 由特殊到一般的化归思想由特殊到一般的化归思想 数形结合数形结合 割补法割补法 必做题： 布置布置作业作业 巩固新知巩固新知 （1）已知3和4是直角三角形的两边长，求第三边的长 （2）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法，并通过上网等方式查找勾股定理的 有关史料、趣事及
12、其他证明方法 选做题： （1）如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线 已知AB5，AD3，则BC的长为（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 （2）如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形 若斜边AB3，则图中ABE的面积为_，阴影部分的面积 为_ 变式练习变式练习 掌握新知掌握新知 变式练习1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=24,求a. A B C a c b 直角边 a 直角边 b 斜边 c 6 10 5 12 24 25 8 13 7 22 =-acb 22 =+cab 22 =-abc A B C D E 变式练习2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形 都是正方形.已知正方形A，B，C，D的面积分别是6，4，4，2， 求最大正方形E的面积 变式练习变式练习 掌握新知掌握新知 10 6 16 解：S正方形F=S正方形A+S正方形B=6+4=10， S正方形G=S正方形C+S正方形D=4+2=6. S正方形E=S正方形F+S正方形G=10+6=16. 若已知条件不变，则最大正方形E的边长为 ； 若最大正方形E的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积和为 . F G 81 4
