1、第七章 复数 7.3* 复数的三角表示复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1复数的三角表示.(数学抽象) 2复数的代数表示与三角表示 之间的关系.(数学运算) 3复数乘、除运算的三角表示
2、 及其几何意义.(数学运算与直观 想象) 1在复数几何意义的基础上感受复数的 三角表示. 2类比三角函数的单位圆定义体会复数 三角表示的特征. 3类比三角函数的特点，结合复数的几 何意义，体会复数运算的三角表示与三 角函数之间的关联. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数的三角形式 知识点1 一般地， 任何一个复数 zabi 都可以表示成_ 的形式，其中，r 是复数 z 的模； 是以 x 的非负半轴为始边，向量OZ 所 在射线(射线 OZ)为终边的角， 叫做复数 zabi 的_， r(cos i
3、sin )叫做复数 zabi 的三角表示式，简称_，为了与三角形式 区分开来，abi 叫做复数的代数表示式，简称_. r(cos isin ) 辐角 三角形式 代数形式 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 规定在_范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作 _. 辐角主值 知识点2 02 arg z 两个复数相乘，积的模等于各复数模的_，积的辐角等于各复 数的辐角的_. r1(cos 1isin 1) r2(cos 2isin 2) _. 复数三角形式的乘法 知识点3 积 和 r1r2cos(12)isin(12) 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数三角形式的除法
4、 知识点4 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的_， 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的_. r1cos 1isin 1 r2cos 2isin 2_. 商 差 r1 r2cos(12)isin(12) 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1复数三角式的特征 有三个特征：(1)r0；(2)相同角 ， 为辐角但不一定是辐角主值； (3)cos 与 isin 之间用“”号连接. 2辐角和辐角主值的区别与联系 区别：辐角 是指以 x 轴的非负半轴为始边，以复数 z 所对应的向 量OZ 所在射线(射线 OZ)为终边的角， 显然辐角有无数个.而辐角主值是
5、指 在 02 范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个. 联系：2karg z，kZ. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 3复数乘法运算三角表示的几何意义 复数 z1，z2对应的向量为OZ1 ，OZ2 ，把向量OZ1 绕点 O 按逆时针方 向旋转 2(如果 20，就要把OZ1 绕点 O 按顺时针方向旋转角|2|)，再把 它的模变为原来的 r2倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是积 z1z2 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 4复数除法运算三角表示的几何意义 复数 z1，z2对应的向量为OZ1 ，OZ2 ，把向量OZ1 绕点 O 按顺时针方 向旋转 2，再
6、把它的模变为原来的 1 r2，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是 商z1 z2. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 分析 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主 值，然后写出复数的三角形式. 题型探究题型探究 题型一题型一 复数的代数形式化为三角形式 典典例例 1 将下列复数代数式化成三角形式： (1)2 32i；(2)1i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)r 2 32224，所以 cos 3 2 ，对应的点在第一 象限，所以 arg(2 32i) 6，
7、所以 2 32i4 cos 6isin 6 . (2)r 1212 2，所以 cos 2 2 ， 对应的点在第四象限，所以 arg(1i)7 4 ， 所以 1i 2 cos 7 4 isin 7 4 . 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐 角；(4)求得复数的三角形式. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 把下列复数表示成三角形式. (1)z11 3i； (2)z24i. 解析 (1)由 a1，b 3，知点 Z1(1， 3)在第二象限，
8、故辐 角为第二象限的角. r 12 322 又 cos 1 2，所以 arg z1 2 3 . 因此复数 z11 3i 的三角形式为 z12 cos2 3 isin 2 3 . 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)由 a0，b40，知 r 02424，arg z23 2 ， 因此复数 z24i 的三角形式为 z24 cos 3 2 isin 3 2 . 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 分析 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三 角函数值求出数值即可. 题型二题型二 将复数的三角形式化为代数形式 典典例例 2 将下列复数表示成代数形式： (1)
9、9(cos isin )； (2)6 cos 4 3 isin 4 3 . 解析 (1)9(cos isin )9 (2)6 cos 4 3 isin 4 3 6 1 2 3 2 i 33 3i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数 三角形式zr(cos Aisin A)，代数形式为zxyi，对应实部等于实部， 虚部等于虚部，即xrcos A，yrsin A. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 将复数 z 2 cos 4 isin 4 代为代数形式为 _. 1i 解析 z 2 cos 4isi
10、n 4 2cos 4i 2sin 41i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 分析 按照复数三角形式的乘法法则进行. 题型三题型三 复数三角形式的乘法运算 典典例例 3 计算： (1)2 cos 2 3 isin 2 3 3 cos 5 6 isin 5 6 ； (2)2(cos 5 isin 5 )4(cos 30 isin 30 )1 2(cos 25 isin 25 ). 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即 两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加. 解析 (1)2 cos 2 3 isin 2 3
11、 3 cos 5 6 isin 5 6 2 3 cos 3 2 isin 3 2 2 3i. (2)2(cos 5 isin 5 )4(cos 30 isin 30 )1 2(cos 25 isin 25 ) 8(cos 35 isin 35 )1 2(cos 25 isin 25 ) 4(cos 60 isin 60 )22 3i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 计算：( 3i)(cos 60 isin 60 )_. 2i 解析 法一：( 3i)(cos 60 isin 60 ) 2(cos 30 isin 30 )(cos 60 isin 60 ) 2(c
12、os 90 isin 90 )2i. 法二：( 3i)(cos 60 isin 60 ) ( 3i) 1 2 3 2 i 3 2 3 2i 1 2i 3 2 2i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 分析 根据复数三角形式的除法法则进行. 题型四题型四 复数三角形式的除法运算 典典例例 4 计算：8 cos 7 6 isin 7 6 4 cos 3isin 3 . 解析 8 cos 7 6 isin 7 6 4 cos 3isin 3 2 cos 5 6 isin 5 6 2 3 2 1 2i 3i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 直接利用复数三角
13、形式的除法运算法则进行运算，即 两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 计算：2i 1 2cos 30 isin 30 . 解析 2i 1 2cos 30 isin 30 2(cos 90 isin 90 ) 1 2cos 30 isin 30 4(cos 60 isin 60 )22 3i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 求复数z1cos isin (2)的模与辐角主值. 易错警示易错警示 典典例例 5 求辐角主值时的常见误区 错解 z1cos isin 1 2cos2 21 2isin 2cos 2
14、2cos 2 cos 2isin 2 复数 z 的模为 2cos 2，辐角主值为 2. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 错因分析 从形式上看，2cos 2 cos 2isin 2 似乎就是三角形式， 不少同学认为 r2cos 2，arg z 2. 错误之处在于他们没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负， 角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 正解 z1cos isin 1 2cos2 21 2i sin 2 cos 2 2cos 2 cos 2isin 2 . 2， 2 2，cos 20， 返回导航 第七章 复数
15、数学（必修第二册RJA） 2cos 2 cos 2isin 2 2cos 2 cos 2isin 2 2cos 2 cos 2 isin 2 ， r2cos 2， 2 2， 3 2 22，arg z 2. 故复数 z 的模是2cos 2，辐角主值是 2. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 求复数z1cos isin (2)的模与辐角主 值. 解析 z2cos2 22i sin 2cos 22cos 2 cos 2isin 2 2cos 2 cos 2isin 2 2cos 2 cos 2 isin 2 ， r2cos 2，2， 2 2，0 2 2，arg z 2. 故复数 z 的模是2cos 2，辐角主值为 2.
