1、第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 第第1课时课时 余弦定理余弦定理 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解余弦定理的推导过程， 掌握余弦定理及其推论.(逻辑推 理) 2能用余弦定理解三角形.(数 学运算) 1进一步感受向量三角
2、形法则与数量积 运算的价值，体会向量数量积运算在解 决长度问题中的特点. 2通过特殊化与一般化感受勾股定理与 余弦定理的关系，并加深对勾股定理的 理解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 余弦定理 知识点1 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_ 这两边与它们的夹角的余弦的积的_倍 符号语言 在ABC中，a2_， b2_， c2_ 推论 在ABC中， cos A_，cos B_，cos C_ 减去 两 b2c22bccos A c2a22cacos B a
3、2b22abcos C b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_. 解三角形 知识点2 元素 解三角形 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 微提醒 (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题 已知两边及其夹角，解三角形； 已知三边，解三角形. (2)余弦定理和勾股定理的关系 在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C，若角C90， 则cosC0，于是c2a2
4、b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 (1)由余弦定理可直接求第三边； (2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长. 题型探究题型探究 题型一题型一 已知两边及一角解三角形 典典例例 1 (1)在ABC 中，已知 b60 cm，c60 3 cm，A 6，则 a_cm； (2)在ABC 中， 若 AB 5， AC5， 且 cos C 9 10， 则 BC_. 60 4或5 返回导航 第六章 平面向量及其应
5、用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由余弦定理得： a60260 3226060 3cos 6 4602360260(cm). (2)由余弦定理得：( 5)252BC225BC 9 10， 所以 BC29BC200，解得 BC4 或 BC5 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一 元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再 用余弦定理和三角形内角和定理求其它角. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA）
6、 【对点练习】 (1)在ABC 中，已知 a4，b6，C120 ，则 边 c 的值是 ( ) A8 B2 17 C6 2 D2 19 (2)在ABC 中，a2 3，c 6 2，B45 ，解这个三角形. D 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)根据余弦定理，c2a2b22abcos C1636 246cos 120 76，c2 19. (2)由余弦定理得 b2a2c22accos B (2 3)2( 6 2)222 3( 6 2)cos 45 8， b2 2， 又cos Ab 2c2a2 2bc 8 6 2 22 32 22 2 6 2 1 2， A60 ，
7、C180 (AB)75 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 在ABC中，abc357，求其最大内角. 分析 由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解. 题型二题型二 已知三边解三角形 典典例例 2 解析 由于 abc357，不妨设 a3k，b5k，c7k(k0). 因此 c 是最大边，其所对角 C 为最大内角. 由余弦定理推论得： cos Ca 2b2c2 2ab 9k 225k249k2 2 3k 5k 1 2， 0 C0， a0， 2a10， 解得 a1 2， 2a1 是三边长中最长的边，设其所对角为 ， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第
8、二册RJA） 2a1，a,2a1 是钝角三角形的三边， cos0， 即a 22a122a12 2a2a1 aa8 2a2a10， 解得1 2a2a1，即 a2，而不 是 a1 2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 2a1，a,2a1 是三角形的三边， 2a10， a0， 2a10， 解得 a1 2，此时 2a1 最大. 要使 2a1，a,2a1 表示三角形的三边， 还需 a(2a1)2a1，解得 a2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 设最长边 2a1 所对的角为 ， 则 cosa 22a122a12 2a2a1 aa8 2a2a
9、10， 解得1 2a8 a 的取值范围是(2,8). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 名师点津 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方 等运算，可能会因不细心而导致错误.在利用余弦定理求出三角形的三边 时，还要判断一下三边能否构成三角形. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 在钝角三角形ABC中，a1，b2，ct，且C是 最大角，求t的取值范围. 解析 因为 a，b，c 是ABC 的三边， 所以 bacab，所以 21t123，所以 1t3 又ABC 是钝角三角形，且 C 是最大角，所以 90 C180 . 所以 cos C0，所以 cos Ca 2b2c2 2ab 5t 2 4 5又 t0，所以 t 5. 所以 t 的取值范围为( 5，3).
