1、第七章 复数 7.2 复数的四则运算复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算复数的乘、除运算 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握复数代数形式的乘法和 除法运算，并会简单应用.(数学 运算) 2理解复数乘法的交换律、结 合律和乘法对加法的分配律.(逻 辑推理) 1对比向量坐标的数量积运算，感觉复 数乘法运算的差异，体会复数
2、乘法运算 与实数运算的异同. 2对比复数除法运算与实数除法运算的 差异，类比分母有理化与共轭的关系. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1 z2(abi)(cdi) _. 复数的乘法法则 知识点1 (acbd)(adbc)i 对任意复数z1，z2，z3C，有 复数乘法的运算律 知识点2 交换律 z1 z2_ 结合律 (z1 z2) z3z1 (z2 z3) 分配律 z1(z2z3)_ z2 z1 z1z2z1z3 返回导航 第七章 复数 数学（必修
3、第二册RJA） 复数代数形式的除法法则 理想化理想化 知识点3 (abi) (cdi)abi cdi_(cdi0). acbd c2d2 bcad c2d2 i 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可 仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成1). (2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式 也适用. (3)常用结论 (abi)2a22abib2(a，bR)； (abi)(abi)a2b2(a，bR)； (1i)22i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修
4、第二册RJA） 2对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简后即得结 果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理 化”很类似. (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 复数代数表示式的乘法运算 典典例例 1 (1)(2020 全国卷理)若 z1i，则|z22z| ( ) A0 B1 C 2 D2 (2)(2019 全国卷)设
5、zi(2i)，则 z ( ) A12i B12i C12i D12i D D 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (3)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的 取值范围是 ( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 分析 利用乘法公式进行运算. 解析 (1)由题意可得z22z2i2(1i)2 故|z22z|2|2 故选D B 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)因为 zi(2i)12i，所以 z 12i.故选 D (3)z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所 以 a10， 解得 a1，故选 B 返回
6、导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)计算：(1i)2(23i)(23i) ( ) A213i B132i C1313i D132i (2)(2017 全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) Ai(1i)2 Bi2(1i) C(1i)2 Di(1i) D C 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)(1i)2(23i)(23i)12i
7、i2(49i2)132i. 故选D (2)A项，i(1i)2i 2i2，不是纯虚数； B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数； C项，(1i)22i,2i是纯虚数； D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数.故选C 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 分析 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化 为乘法进行. 题型二题型二 复数代数形式的除法运算 典典例例 2 (1)(2020 全国) 2i 12i ( ) A1 B1 Ci Di (2)若复数 z 满足 z(2i)117i(i 是虚数单位)，则 z 为 ( ) A35i B35i C35i D35i D A 返回导
8、航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1) 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i.故选 D (2)z(2i)117i， z117i 2i 117i2i 2i2i 1525i 5 35i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形 式. 2常用公式 (1)1 i i；(2)1i 1ii；(3) 1i 1ii. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)在
9、复平面内，复数 5i 2i的对应点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)计算：1i43i 2i1i _. B 2i 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1) 5i 2i 5i2i 2i2i 5i2i 5 12i， 对应的点的坐标为(1,2)，位于第二象限. (2)法一：1i43i 2i1i 17i 13i 17i13i 10 2i. 法二：1i43i 2i1i 1i 1i 43i 2i i43i2i 5 34i2i 5 105i 5 2i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 已知x1i是方程x2axb0(a，bR)的一个根.
10、(1)求实数a，b的值； (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明. 分析 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条 件. 题型三题型三 实系数一元二次方程在复数范围内根的问题 典典例例 3 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)把 x1i 代入方程 x2axb0，得(ab)(a 2)i0， ab0， a20， 解得 a2， b2. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)由(1)知方程为x22x20 设另一个根为x2，由根与系数的关系，得1ix22， x21i. 把x21i代入方程x22x20， 则左边(1i)22(1i)20
11、右边， x21i是方程的另一个根. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复 数abi(a，bR，b0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a bi是该方程的另一根. (2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问 题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发 生改变了. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)方程x26x130的一个根是 ( ) A32i B32i C23i D23i (2)已知a，bR，且2ai，bi(i是虚数单位)是实系数一元二次方 程
12、x2pxq0的两个根，求p，q的值. A 解析 (1)3641316， x6 16 2 3 2i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)由根与系数的关系可得 2aibip， 2ai biq， 即 p2ba1i， q2ba2abi， 因为 p，q 均为实数，所以 a10， 2ab0， 解得 a1， b2， 从而有 p4， q5. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 已知复数z满足条件z2|z|60，求复数z. 错解 由z2|z|60(|z|3)(|z|2)0 因为|z|20，所以|z|3 则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数 均符合要求.
13、错因分析 本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2 z2 易错警示易错警示 典典例例 4 误认为|z|2z2 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 正解 设 zxyi(x，yR)， 则由条件得 x2y22xyi x2y260 由复数相等的充要条件得 x2y2 x2y260， 2xy0， 解得 x2 x260， y0 或 y2 y260， x0 (无解)， 即 x23 x220， y0， 解得 x 3， y0. 故 z3 或 z3 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 误区警示 设复数zabi(a，bR)，则z2(abi)2a2b2 2abi，|z|2a2b2，即z2|z|2，二者不可混淆. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2019 湖南省长沙市检测)已知复数z满足z |z|，则z的实部 ( ) A不小于0 B不大于0 C大于0 D小于0 B 解析 设 zabi(a，bR)，z|z|，abi a2b2， a a2b2， b0， 解得 a0， b0. 故 z 的实部不大于 0
