1、数学 函数模型的应用 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1几种常见的函数模型几种常见的函数模型 函数模型函数模型 函数解析式函数解析式 一次函数模型一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数为常数，a0) 二次函数模型二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数为常数，a0) 指数函数模型指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数为常数，a0 且且 a1，b0) 对数函数模型对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数为常数，a0 且且 a1，b0) 幂函数模型幂函数模型 f(x)axnb(a
2、，b，n 为常数为常数，a0，n0) 2.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在在(0，) 上的单调性上的单调性 _ _ _ 增长速度增长速度 _ _ 相对平稳相对平稳 图象的变化图象的变化 随随 x 值增大值增大， 图象与图象与 _接近平行接近平行 随随 x 值增大值增大，图象与图象与 _接近平行接近平行 随随 n 值变化值变化 而不同而不同 增函数增函数 增函数增函数 增函数增函数 越来越快越来越快 越来越慢越来越慢 y 轴轴 x 轴轴 常用结论常用结论 “对勾对勾”函数函数 f(x)xa x(a0)的性质 的性质 (1)该函数在
3、该函数在(， a和和 a，)上单调递增上单调递增，在在 a，0)和和(0， a 上单调递上单调递 减减 (2)当当 x0 时时，x a时取最小值时取最小值 2 a； 当当 x0 时时，x a时取最大值时取最大值2 a. 二、教材衍化二、教材衍化 1在某个物理实验中在某个物理实验中，测量得变量测量得变量 x 和变量和变量 y 的几组数据的几组数据，如表：如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对则对 x，y 最适合的拟合函数是最适合的拟合函数是 ( ) Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x 解析：解析： 选选 D 根据根据 x
4、0.50， y0.99， 代入计算代入计算， 可以排除可以排除 A； 根据； 根据 x2.01， y0.98， 代入计算代入计算，可以排除可以排除 B，C；将各数据代入函数；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意可知满足题意 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是则下列说法中错误的是 ( ) A收入最高值与收入最低值的比是收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是结余最高的月份是 7 月月 C1 至至 2 月份的收入的变化率与月份的收入的变化率与 4 至至 5 月份的收入的变化率相同月份的收
5、入的变化率相同 D前前 6 个月的平均收入为个月的平均收入为 40 万元万元 解析：解析： 选选 D 由题图可知由题图可知， 收入最高值为收入最高值为 90 万元万元， 收入最低值为收入最低值为 30 万元万元， 其比是其比是 31， 故故 A 正确；由题图可知正确；由题图可知，7 月份的结余最高月份的结余最高，为为 802060(万元万元)，故故 B 正确；由题正确；由题 图可知图可知，1 至至 2 月份的收入的变化率与月份的收入的变化率与 4 至至 5 月份的收入的变化率相同月份的收入的变化率相同，故故 C 正确；正确； 由题图可知由题图可知，前前 6 个月的平均收入为个月的平均收入为1
6、6 (406030305060)45(万元万元)，故故 D 错误错误 3用长度为用长度为 24 的材料围一矩形场地的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大要使矩形的面积最大，则隔则隔 墙的长度为墙的长度为_ 解析：解析：设隔墙的长度为设隔墙的长度为 x(0x1)的增长速度会超过并远远大于的增长速度会超过并远远大于 yx(0) 的增长速度的增长速度 ( ) (3)指数型函数指数型函数模型模型，一般用于解决变化较快一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题短时间内变化量较大的实际问题 ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)忽视实际问题中实际量
7、的单位、含义、范围等； 忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模型出错建立函数模型出错 1 某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过100 km， 票价是票价是0.5元元/km， 如果超过如果超过 100 km，超过超过 100 km 的部分按的部分按 0.4 元元/km 定价定价，则客运票价则客运票价 y(元元)与行驶千与行驶千 米数米数 x(km)之间的函数关系式是之间的函数关系式是_ 解析：解析：由题由题意可得意可得 y 0.5x， ，0100. 答案：答案：y 0.5x， ，0100 2 生产一定数量商
8、品的全部费用称为生产成本生产一定数量商品的全部费用称为生产成本， 某企业一个月生产某种商品某企业一个月生产某种商品 x 万件时万件时 的生产成本为的生产成本为 C(x)1 2x 2 2x20(万元万元)一万件售价为一万件售价为 20 万元万元，为获取更大利润为获取更大利润，该该 企业一个月应生产该商品数量为企业一个月应生产该商品数量为_万件万件 解析：解析：设利润为设利润为 L(x)，则利润则利润 L(x)20 xC(x) 1 2(x 18)2142，当当 x18 时时，L(x)有最大值有最大值 答案：答案：18 考点一考点一 用函数图象刻画变化过程用函数图象刻画变化过程(基础型基础型) 复习
9、指导复习指导 能将实际问题转化为数学问题 能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述会应用函数图象对实际问题进行描述 核心素养：核心素养：数学建模数学建模 1(2020 广州市综合检测广州市综合检测(一一)如图如图，一高为一高为 H 且装满水的鱼缸且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小其底部装有一排水小 孔孔，当小孔打开时当小孔打开时，水从孔中匀速流出水从孔中匀速流出，水流完所用时间为水流完所用时间为 T. 若鱼缸水深为若鱼缸水深为 h 时时， 水流出所用时间为水流出所用时间为 t，则函数则函数 hf(t)的图象大致是的图象大致是 ( ) 解析：解析：选选 B水位由高变低水位由高
10、变低，排除排除 C，D半缸前下降速度先快后慢半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速半缸后下降速 度先慢后快度先慢后快，故选故选 B 2汽车的汽车的“燃油效率燃油效率”是指汽车每消耗是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙如图描述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是 ( ) A消耗消耗 1 升汽油升汽油，乙车最多可行驶乙车最多可行驶 5 千米千米 B以相同速度行驶相同的路程以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多甲车消耗汽油量最多 C甲车以甲车以 80 千米
11、千米/小时的速度行驶小时的速度行驶 1 小时小时，消耗消耗 10 升汽油升汽油 D某城市机动车最高限速某城市机动车最高限速 80 千米千米/小时小时，相同条件下相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：解析： 选选 D 根据图象知消耗根据图象知消耗 1 升汽油升汽油， 乙车最多行驶里程大于乙车最多行驶里程大于 5 千米千米， 故选项故选项 A 错；错； 以相同速度行驶时以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗甲车消耗 汽油最少汽油最少，故选项故选项 B 错；甲车以错；甲车以 80 千
12、米千米/小时的速度行驶时燃油效率为小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米千米/升升， 行驶行驶 1 小时小时，里程为里程为 80 千米千米，消耗消耗 8 升汽油升汽油，故选项故选项 C 错；最高限速错；最高限速 80 千米千米/小时小时， 丙车的燃油效率比乙车高丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油在该市用丙车比用乙车更省油，故选项故选项 D 对对 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型先建立函数模型
13、，再结合模型选再结合模型选 图象图象 (2)验证法：验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势结合图象的变化趋势，验证是验证是 否吻合否吻合，从中排除不符合实际的情况从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案选择符合实际情况的答案 考点二考点二 函数模函数模型的选择型的选择(应用型应用型) 复习指导复习指导 会比较指数函数、 对数函数以及幂函数增长差异； 结合实例体会直线上升、 会比较指数函数、 对数函数以及幂函数增长差异； 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含
14、义 核心素养：核心素养：数学建模、数学运算数学建模、数学运算 某新型企业为获得更大利润某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资须不断加大投资，若预计年利润低于若预计年利润低于 10%时时，则则 该企业就考虑转型该企业就考虑转型，下表显下表显示的是某企业几年来年利润示的是某企业几年来年利润 y(百万元百万元)与年投资成本与年投资成本 x(百万百万 元元)变化的一组数据：变化的一组数据： 年份年份 2008 2009 2010 2011 投资成本投资成本 x 3 5 9 17 年利润年利润 y 1 2 3 4 给出以下给出以下 3 个函数模型：个函数模型： ykxb(k0)； yabx(a0， b
15、0， 且且 b1)； yloga(x b)(a0，且且 a1) (1)选择一个恰当的选择一个恰当的函数模型来描述函数模型来描述 x，y 之间的关系；之间的关系； (2)试判断该企业年利润超过试判断该企业年利润超过 6 百万元时百万元时，该企业是否要考虑转型该企业是否要考虑转型 【解】【解】 (1)将将(3，1)，(5，2)代入代入 ykxb(k0)， 得得 1 3kb， 25kb，解得 解得 k 1 2， ， b1 2， ， 所以所以 y1 2x 1 2. 当当 x9 时时，y4，不符合题意；不符合题意； 将将(3，1)，(5，2)代入代入 yabx(a0，b0，且且 b1)， 得得 1 ab
16、3， 2ab5，解得 解得 a 2 4 ， b 2， 所以所以 y 2 4 ( 2)x2 x3 2 . 当当 x9 时时，y2 93 2 8，不符合题意；不符合题意； 将将(3，1)，(5，2)代入代入 yloga(xb)(a0，且且 a1)， 得得 1 loga（3b）， 2loga（5b），解得 解得 a 2， b1，所以 所以 ylog2(x1) 当当 x9 时时，ylog283； 当当 x17 时时，ylog2164.故可用故可用来描述来描述 x，y 之间的关系之间的关系 (2)令令 log2(x1)6，则则 x65. 因为年利润因为年利润 6 65 10%，所以该企业要考虑转型所以该
17、企业要考虑转型 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择可结合图象特征选择 (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时当研究的问题呈现先增长后减少的特点时， 可以选用二次函数模型可以选用二次函数模型 yax2bxc(a， b，c 均为常数均为常数，a0) (3)对数函数对数函数(底数大于底数大于 1 时时)增长越来越慢增长越来越慢，而指数函数而指数函数(底数大于底数大于 1 时时)增长越来越快增长越来越快 某地西红柿上市后某地西红柿上市后，通过市场
18、调查通过市场调查，得到西得到西红柿的种植成本红柿的种植成本 Q(单位：单位： 元元/100 kg)与上市时间与上市时间 t(单位：天单位：天)的数据如下表：的数据如下表： 时间时间 t 60 100 180 种植成本种植成本 Q 116 84 116 根据上表数据根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 Q 与上市时间与上市时间 t 的的 变化关系：变化关系： Qatb，Qat2btc，Qa bt，Qa logbt. 利用你选取的函数利用你选取的函数，求：求： (1)西红柿种植成本最低时的上市西红柿种植成本最低时的上市天数是天数是_
19、； (2)最低种植成本是最低种植成本是_元元/100 kg. 解析：解析：因为随着时间的增加因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加种植成本先减少后增加，而且当而且当 t60 和和 t180 时种植时种植 成本相等成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应种植成本与上市时间的变化关系应 该用二次函数该用二次函数 Qat2btc，即即 Qa(t120)2m 描述描述，将表中数据代入可得将表中数据代入可得 a（ （60120）2m116， a（100120）2m84，解得 解得 a 0.01， m80， 所以所以 Q0.01(t120
20、)280， 故当上市天数为故当上市天数为 120 时时， 种植成本取到最低值种植成本取到最低值 80 元元/100 kg. 答案：答案：(1)120 (2)80 考点三考点三 构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题(应用型应用型) 复习指导复习指导 了解函数模型 了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用的广泛应用 核心素养：核心素养：数学建模、数学运算数学建模、数学运算 角度一角度一 构建二次函数、分段函数、构建二次函数、分段函数、“对勾对勾”函数模型函数模型 小王大学毕业后小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过
21、市场调查决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小生产某小 型电子产品需投入年固定成本为型电子产品需投入年固定成本为 3 万元万元，每生产每生产 x 万件万件，需另投入流动成本为需另投入流动成本为 W(x) 万元万元，在年产量不足在年产量不足 8 万件时万件时，W(x)1 3x 2 x(万元万元)在年产量不小于在年产量不小于 8 万件时万件时，W(x) 6x100 x 38(万元万元)每件产品售价为每件产品售价为 5 元通过市场分元通过市场分析，小王生产的商品能当年析，小王生产的商品能当年 全部售完全部售完 (1)写出年利润写出年利润 L(x)(万元万元)关于年产量关于年产量 x(万件
22、万件)的函数解析式；的函数解析式；(注：注：年利润年销售收年利润年销售收 入固定成本流动成本入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】【解】 (1)因为每件商品售价为因为每件商品售价为 5 元元，则则 x 万件商品销售收入为万件商品销售收入为 5x 万元万元， 依题意得依题意得，当当 0x8 时时， L(x)5x 1 3x 2 x 31 3x 2 4x3； 当当 x8 时时，L(x)5x 6x100 x 38 335 x100 x . 所以所以 L(x) 1
23、3x 2 4x3，0x8， 35 x100 x ，x8. (2)当当 0x8 时时，L(x)1 3(x 6)29. 此时此时，当当 x6 时时，L(x)取得最大值取得最大值 L(6)9 万元万元 当当 x8 时时，L(x)35 x100 x 352 x 100 x 352015，当且仅当当且仅当 x100 x 时时 等号成立等号成立， 即即 x10 时时，L(x)取得最大值取得最大值 15 万元万元 因为因为 915，所以当年产所以当年产量为量为 10 万件时万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大小王在这一商品的生产中所获利润最大，最最 大利润为大利润为 15 万元万元 建模解决实际问题的
24、三个步骤建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：建模：抽象出实际问题的数学模型抽象出实际问题的数学模型 (2)推理、演算：推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解得到问题在数学意义上的解 (3)评价、解释：评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释作出评价、解释，返回到原来的返回到原来的 实际问题中去实际问题中去，得到实际问题的解得到实际问题的解 即：即： 提醒提醒 (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 (2)利用模型利用模型 f(x)axb
25、 x求解最值时 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件注意取得最值时等号成立的条件 角度二角度二 构建指数、对数函数模型构建指数、对数函数模型 (1)(2020 广西桂林一模广西桂林一模)一个放射性物一个放射性物质不断衰变为其他物质质不断衰变为其他物质， 每经过一年就有每经过一年就有3 4 的质量发生衰变若该物质余下质量不超过原有的的质量发生衰变若该物质余下质量不超过原有的 1%，则至少需要的年数是则至少需要的年数是 ( ) A6 B5 C4 D3 (2)里氏震级里氏震级 M 的计算公式为：的计算公式为：Mlg Alg A0，其中，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最是测震仪记录的地震曲线的
26、最 大振幅大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为则此次地震的震级为_级；级；9 级地震的最级地震的最 大振幅是大振幅是 5 级地震最大振幅的级地震最大振幅的_倍倍 【解析】【解析】 (1)设这种放射性物质最初的质量为设这种放射性物质最初的质量为 1，经过经过 x(xN)年后年后，剩余量是剩余量是 y.则有则有 y 1 4 x， ，依题意得依题意得 1 4 x 1 100， ，整理得整理得 22x100，解得解得 x
27、4，所以至少需要的年数是所以至少需要的年数是 4， 故选故选 C (2)Mlg 1 000lg 0.0013(3)6. 设设 9 级地震的最大振幅和级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为级地震的最大振幅分别为 A1，A2，则则 9lg A1lg A0lg A1 A0， ，则则A1 A0 109， 5lg A2lg A0lg A2 A0， ，则则A2 A0 105，所以所以A1 A2 104. 即即 9 级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的级地震最大振幅的 10 000 倍倍 【答案答案】 (1)C (2)6 10 000 指数型、对数型函数模型指数型、对数型函数模
28、型 (1)在实际问在实际问题中题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模 型表示通常可以表示为型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其中其中 N 为基础数为基础数，p 为增长率为增长率，x 为时间为时间)的形的形 式解题时式解题时，往往用到对数运算往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解要注意与已知表格中给定的值对应求解 (2)有关对数型函数的应用题有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数要求根据实际情况求出函数 解析式中的参数解析式中的参数，或给出
29、具体情境或给出具体情境，从中提炼出数据从中提炼出数据，代入解析式求值代入解析式求值，然后根据值然后根据值 回答其实际意义回答其实际意义 1某养殖场需定期购买饲料某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料已知该场每天需要饲料 200 千克千克，每千克每千克饲料的价格为饲料的价格为 1.8 元元， 饲料的保管费与其他费用平均每千克每饲料的保管费与其他费用平均每千克每天天 0.03 元元， 购买饲料每次支付运费购买饲料每次支付运费 300 元元，求该养殖场求该养殖场_天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 解析：解析：设该养殖场设该养殖场 x(xN
30、*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每平均每 天支付的总费用为天支付的总费用为 y 元元 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 2000.036(元元)，所以所以 x 天饲料的保天饲料的保 管费与其他费用共是管费与其他费用共是 6(x1)6(x2)63x23x(元元)从而有从而有 y1 x(3x 2 3x 300)2001.8300 x 3x357417， 当且仅当当且仅当300 x 3x， 即即 x10 时时， y 有最小值 故有最小值 故 该养殖场该养殖场 10 天购买一次饲料才能使平均每
31、天支付的总费用最少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 答案：答案：10 2某化工厂生产一种溶液某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质若初时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少每过滤一次可使杂质含量减少1 3， ，至少应过滤至少应过滤_次才能达到市场要求次才能达到市场要求(已知已知 lg 2 0.301 0，lg 30.477 1) 解析：解析：设至少过滤设至少过滤 n 次才能达到市场需求次才能达到市场需求， 则则 2% 11 3 n 0.1%，即即 2 3 n 1 20， ， 所以所以 nlg 2 3 1lg 2，所以所以
32、 n7.39， 所以所以 n8. 答案：答案：8 3 据气象中心观察和预测： 发生于沿海据气象中心观察和预测： 发生于沿海 M 地的台风一直向正南地的台风一直向正南 方向移动方向移动， 其移动速度其移动速度 v(km/h)与时间与时间 t(h)的函数图象如图所示的函数图象如图所示， 过线段过线段 OC 上一点上一点 T(t，0)作横轴的垂线作横轴的垂线 l，梯形梯形 OABC 在直线在直线 l 左侧部分的面积即为时间左侧部分的面积即为时间 t(h)内台风所经过的路程内台风所经过的路程 s(km) (1)当当 t4 时时，求求 s 的值；的值； (2)将将 s 随随 t 变化的规律用数学关系式表
33、示出来；变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若若 N 城位于城位于 M 地正南方向地正南方向，且距且距 M 地地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到试判断这场台风是否会侵袭到 N 城城，如果会如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到在台风发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会城？如果不会，请说明理由请说明理由 解：解：(1)由题图可知由题图可知，直线直线 OA 的方程是的方程是 v3t，直线直线 BC 的方程是的方程是 v2t70. 当当 t4 时时，v12，所以所以 s1 2 41224. (2)当当 0t10 时时，s1 2 t3t3 2t 2； ； 当当 10t20 时时，s
34、1 2 1030(t10)3030t150； 当当 20t35 时时，s1503001 2 (t20)(2t7030)t270t550. 综上可知综上可知，s 随随 t 变化的规律是变化的规律是 s 3 2t 2， ，t0，10， 30t150，t（10，20， t270t550，t（20，35. (3)当当 t0，10时时，smax3 2 102150650， 当当 t(10，20时时，smax3020150450650， 当当 t(20，35时时，令令t270t550650，解得解得 t30 或或 t40(舍去舍去)，即在台风发生即在台风发生 30 小时后将侵袭到小时后将侵袭到 N 城城 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
