1、 贵阳市普通高中贵阳市普通高中 20172017- -20182018 第一学期期末质量监测试卷第一学期期末质量监测试卷 高一数学高一数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 个小题个小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，选 A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，选 A. 3. 甲、 乙两人在一次赛跑中， 路程 与时间 的函数关系如图所示
2、， 则下列说法正确的是 （ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达 终点 【答案】D 【解析】由路程和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发，甲的速度大于乙的速度，甲先 于乙到达.选 D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，故选 D. 5. 若幂函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则，故，从而，故选 C. 6. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合， 所以的零点有 2 个，选 B. 7. 在下
3、列给出的函数中，以 为周期且在区间内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，故，又，故，而，故 ，故的大小关系为，选 C. 点睛：注意利用函数的单调性来比较大小. 9. 在中， 为边上一点，且，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】由题设有，整理有，从而有，故 ，选 D. 点睛：在向量的线性运算中，注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化. 10. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，然后向左 平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的图象
4、是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到的图 像对应的解析式为，然后向左平移 个单位长度后得到的图像对应的解析式为 ，再向下平移 个单位长度后，得到的图像对应的解析式，其最小 正周期为，故排除 C、 D，又该函数的图像过，故选 A. 点睛：一般地，图像变换有周期变换和平移变换，要注意如下事实： （1）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（） ，那么所得图 像对应的解析式为； （2）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为 . 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分分，满分 2
5、020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11. 如图，若集合，则图中阴影部分表示的 集合为_ 【答案】 【解析】图像阴影部分对应的集合为， ，故，故填 . 12. 已知函数是定义在 上的奇函数，且当时，则的值为 _ 【答案】-1 【解析】因为为奇函数，故，故填. 13. 设向量，则_ 【答案】 . 14. 设 、 、 为的三个内角，则下列关系式中恒成立的是_（填写序号） ； 【答案】、 【解析】因为是的内角，故，从而 ， 故选、. 点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用 这个结论. 15. 如图所示，矩形的三个顶点 ， ， 分别在函数，的图象 上，且矩形的边分别平行于两
6、坐标，若点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为_ 【答案】 【解析】因为 的纵坐标为 ，所以令，解得 的横坐标为 ，故令，解 得，故，令，故，所以，填 点睛： 由于是矩形且它的边平行于坐标轴， 所以， 因已知， 故可求， 也就求得了，最后求出即得 的坐标 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 5 5 小题，共小题，共 4040 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 16. 已知，且 为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析： （1）因为 为第二象限角且正弦已知，故可以利用平方关系计算其余弦
7、， 再利用二倍角公式计算 （2）由（1）可以得到，故利用两角和的正切可得 解析： （1）因为，且 为第二象限角，所以，故 （2）由（1）知，故 17. 设 ， 为两个不共线的向量，若,. （1）若 与 共线，求实数 的值； （2）若 ， 为互相垂直的单位向量，且，求实数 的值. 【答案】 （1）（2）. 【解析】试题分析： （1）因为 与 共线，故存在实数 ，使得，再利用平面向量基本定理 可以求出 （2）因为，故，再利用化简前者，可以得到， 从而得到 解析： （1）设为两个不共线的向量，若，由 与 共线可知，存在实 数 ，使得，即,故 （2） 由得， 即，又，故化简得，则 （或 由为互相垂直的
8、单位向量， 则可设.由可得， 即， 故） 点睛：在向量数量积的计算中，注意合理利用向量垂直简化运算. 18. 已知函数，其中. （1）求的定义域； （2）当时，求的最小值. 【答案】 （1）（2）. 【解析】试题分析： （1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为.（2）在定义域上 把化为，利用二次函数求出，从而求出函数的最小 值为. 解析： （1）欲使函数有意义，则有，解得，则函数的定义域为. （2） 因为， 所以， 配方得到 因 为，故，所以（当时取等号） ，即 的最小值为. 点睛：求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件. 19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设
9、备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张 球台每小时 5 元；乙家按月计费，一个月中小时以内（含小时）每张球台元，超过小 时的部分每张球台每小时 元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动， 活动时 间不少于小时，也不超过小时，设在甲家租一张球台开展活动 小时的收费为元，在乙 家租一张球台开展活动 小时的收费为元. （1）试分别写出与的解析式； （2）选择哪家比较合算？请说明理由. 【答案】 （1）（） ，（2）见解析 【解析】试题分析： （1）由题设，后者是分 段函数.（2）令，解得，则时，分别有 ，从而可以确定哪家比较合算. 解析： （1）由题设有， . （2）令时，解得；令，解
10、得，所以： 当时， ，选甲家比较合算； 当时，两家一样合算； 当时，选乙家比较合算. 20. 阅读与探究 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书 数学 4（必修） 在第一章的小结中写到： 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标 系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵 坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与 圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定 理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性； 单位圆周长为与正弦函数、 余弦函数
11、的周 期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此， 三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质. 比如：由图 1.2-7 可知，角 的终边落在四个象限时均存在正切线；角 的终边落在 轴上时， 其正切线缩为一个点， 值为 ； 角 的终边落在 轴上时， 其正切线不存在； 所以正切函数 的定义域是. （1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性； （2）根据阅读材料中途 1.2-7，若角 为锐角，求证：. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： （1）在单位圆中画出角的正切
12、线，观察随 增大正切线的值得变 化情况，再观察时，正切线的值随 增大时的变化情况，发现正切函数在区间 上单调递增.（2）当 是锐角时，有，由此得到 . 解析： （1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间 上的情况完全一样； 随着角 的终边不停旋转， 正切线不停重复出现， 故可得出正切函数 在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称， 在坐标系中画出角 和，它们的终边关于 轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发 现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数. （2）如图，当 为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以 ，又 ，而 ，故即. 点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具， 它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
