2020届高三数学(文)“大题精练”6.docx

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1、 2020 届高三数学(文) “大题精练”6 17 (本小题满分 12 分) 已知数列 n a的前 n 项和为 1 22 n n SnN (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 2 2 log nn ba,求数列 1 1 nn b b 的前 n 项和 n T 18 (本小题满分 12 分) 如图,多面体ABCDEF中,21ABDEAD,平面CDE平面ABCD,四边形ABCD为矩形, BCEF,点G在线段CE上,且 2 2 2 3 EGGCAB (1)求证:DE平面ABCD ; (2)若2EFBC,求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比 19 (本小题满分 12 分) 一

2、项针对某一线城市 3050 岁都市中年人的消费水平进行调查,现抽查 500 名(200 名女性,300 名男性) 此城市中年人,最近一年内购买六类高价商品(电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包)的金额(万元)的频数分布表如下: (1)将频率视为概率,估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 (2)把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”,根据已知条件完成 22 列联 表,并据此判断能否有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关? 参考公式: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中

3、nabcd 参考附表: 20 (本小题满分 12 分) 已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上,过点F的直线l与抛物线相交于A,B两 点,且满足 3 . 4 OA OB (1)求抛物线C的方程; (2)若P是抛物线C上的动点,点,M N在x轴上,圆 22 11xy()内切于PMN,求PMN面积 的最小值 21 (本小题满分 12 分) 已知函数( )2(12 )ln a f xxax x (1)讨论 ( )f x的单调性; (2)如果方程 ( )f xm 有两个不相等的解 12 ,x x,且 12 xx,证明: 12 0 2 xx f 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选

4、一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt (t为参数) 以坐标原点为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 (1)在曲线 1 C上任取一点Q,连接OQ,在射线OQ上取一点P,使4OP OQ ,求P点轨迹的极坐 标方程; (2)在曲线 1 C上任取一点M,在曲线 2 C上任取一点N,求MN的最小值 23选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数

5、 2f xxxt(0t )的最小值为 2 ()求不等式 48f xx的解集; ()若 222 5 235 2 abct,求23acbc的最大值 2020 届高三数学(文) “大题精练”6(答案解析) 17 (本小题满分 12 分) 已知数列 n a的前 n 项和为 1 22 n n SnN (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 2 2 log nn ba,求数列 1 1 nn b b 的前 n 项和 n T 【解析】 (1)由 1 22 n n S 可得:当2n时, 1 22 n n S ,上述两式相减可得2n n a 当1n 时: 1 11 11 2222aS 成立,故所求2n n a

6、nN (2)2n n a , 2 2 log2 nn ban, 1 111 11 22241 nn b bnnnn , 故所求 111111111 1 41223141 n T nnn 41 n nN n 18 (本小题满分 12 分) 如图,多面体ABCDEF中,21ABDEAD,平面CDE平面ABCD,四边形ABCD为矩形, BCEF,点G在线段CE上,且 2 2 2 3 EGGCAB (1)求证:DE平面ABCD ; (2)若2EFBC,求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比 【解析】 (1)四边形 ABCD 为矩形,CD=ABAB=DE=2,CD=DE=2 点 G

7、在线段 CE 上,且 EG=2GC= 2 2 3 AB, EC= 2AB=2CD=2 2, 222 DECDEC,即DECD 又平面 CDE平面 ABCD,平面 CDE平面 ABCD=CD,DE平面 CDE,DE平面 ABCD (2)设三棱锥 G-BCD 的体积为 1,连接 EB,AE EG=2GC,CG= 1 3 EC,33 E BCDG BCD VV 易知3. E BCDEABD VV 又 EF=2BC,BCEF,2 ABDEFA SS ,故2 B ABDB AEF VV , 又3 B ABEE ABD VV ,6 B AEF V ,故633 111. B AFEE ABDE BDG VV

8、V 故多面体 ABCDEF 被平面 BDG 分成的大、小两部分的体积比为 11:1 19 (本小题满分 12 分) 一项针对某一线城市 3050 岁都市中年人的消费水平进行调查,现抽查 500 名(200 名女性,300 名男性) 此城市中年人,最近一年内购买六类高价商品(电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包)的金额(万元)的频数分布表如下: (1)将频率视为概率,估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 (2)把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”,根据已知条件完成 22 列联 表,并据此判断能否有 95%的把握认为“

9、高收入人群”与性别有关? 参考公式: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中nabcd 参考附表: 【解析】(1) 该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为80 50 10 90 60 30320, 该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率为: 32016 50025 P (2)根据频数分布表得:高收入人群中女性有 140 人,男性有 180 人,非高收入人群中女性有 60 人,男 性有 120 人,完成列联表如下: 高收入人群 非高收入人群 合计 女 140 60 200 男 180 120 300 合计 320

10、 180 500 根据列联表中的数据,计算得 2 2 500 (140 12060 180) 5.2083.841 200 300 180 320 K , 故有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关 20 (本小题满分 12 分) 已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上,过点F的直线l与抛物线相交于A,B两 点,且满足 3 . 4 OA OB (1)求抛物线C的方程; (2)若P是抛物线C上的动点,点,M N在x轴上,圆 22 11xy()内切于PMN,求PMN面积 的最小值 【解析】 (1)由题意,设抛物线 C 的方程为 2 2(0)xpy p,则焦点 F 的坐标为0 2

11、 p ( , ) 设直线l的方程为 1122 2 p ykxA xyB xy, 联立方程得 2 2 2 xpy p ykx ,消去y得 22222 20,440 xpkxpp kp , 2 2 121212 2. 4 p xxpkx xpy y , 1212 3 4 OA OBx xy y ,1.p 故抛物线的方程为 2 2xy (2)设 0000 000P xyx yM mN n,,易知点MN,的横坐标与P的横坐标均不相同,不妨设 mn ,易得直线 PM 的方程为 0 0 y yxm xm 化简得 000 0y xxm ymy, 又圆心(0,1)到直线 PM 的距离为 1, 00 2 2 0

12、0 1 xmmy yxm , 22 222 000000 2xmyxmmyxmm y, 不难发现 0 2y ,故上式可化为 2 000 220ymx my,同理可得 2 000 220ynx ny, ,m n 可以看作是 2 000 220ytx ty的两个实数根,则 00 00 2 22 xy mnmn yy , 22 22 000 2 0 448 4. 2 xyy mnmnmn y 00 P xy,是抛物线 C 上的点, 2 00 2xy,则 2 2 0 2 0 4 2 y mn y , 又 0 2y , 0 0 2 , 2 y mn y 从而 0 2 0 000 000 14 24 22

13、22 PMN y y Smn yyy yyy 0 0 4 2248 2 y y , 当且仅当 2 0 24y 时取得等号,此时 00 4,2 2yx ,故PMN 面积的最小值为 8 21 (本小题满分 12 分) 已知函数( )2(12 )ln a f xxax x (1)讨论 ( )f x的单调性; (2)如果方程 ( )f xm 有两个不相等的解 12 ,x x,且 12 xx,证明: 12 0 2 xx f 【解析】 (1) 2 222 122(12 )()(21) ( )2(0) aaxa xaxax fxx xxxx 当0a时,(0,),( )0,( )xfxf x 单调递增; 当0

14、a 时,(0, ),( )0,( )xafxf x 单调递减; ( ,),( )0,( )xafxf x 单调递增 综上:当0a时, ( )f x在(0,)单调递增; 当0a 时, ( )f x在(0, )a单调递减,在( ,)a 单调递增 (2)由(1)知, 当0a时, ( )f x在(0,)单调递增,( )f xm 至多一个根,不符合题意; 当0a 时, ( )f x在(0, )a单调递减,在( ,)a 单调递增,则 ( )0fa 不妨设 12 0 xax,要证 12 0 2 xx f ,即证 12 2 xx a ,即证 12 2xxa,即证 21 2xax ( )f x在( ,)a 单调

15、递增,即证 21 2f xfax, 21 f xf x,即证 11 2f xfax,即证()()f axf ax 令( )()()g xf axf ax 2()(12 )ln()2()(12 )ln() aa axaaxaxaax axax 4(12 )ln()(12 )ln() aa xaaxaax axax , 22 1212 ( )4 ()() aaaa g x axaxaxax 22222 222222 24 2 (12 ) 4 () ()() () a axxxaa aa axaxaxaxax 当(0, )xa时,( )0, ( )g xg x 单调递减,又(0)(0)(0)0gf

16、af a,(0, )xa时, ( )(0)0g xg,即()()f axf ax,即( )(2)f xfax 又 1 (0, )xa, 11 2f xfax, 12 0 2 xx f 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分记分 22选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt (t为参数) 以坐标原点为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 (1)在曲线 1 C上任取

17、一点Q,连接OQ,在射线OQ上取一点P,使4OP OQ ,求P点轨迹的极坐 标方程; (2)在曲线 1 C上任取一点M,在曲线 2 C上任取一点N,求MN的最小值 【解析】 (1)曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt (t为参数) , 1 C化为普通方程为 340 xy,故 1 C的极坐标方程为cos2 3 , 设 00 ,QP ,则 0 0 4, ,即 0 0 4 , 00 cos2 3 , 4 cos2 3 , P点轨迹的极坐标方程为2cos0 3 (2)曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 , 2 C化为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y 故 2 C可

18、化为参数方程为 2cos sin x y (为参数) , MN的最小值为椭圆 2 C上的点N到直线 1 C距离的最小值 设2cos ,sinN,则 2cos3sin47sin4 47sin 222 a a d min 47 2 d , min 47 2 MN 23选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 2f xxxt(0t )的最小值为 2 ()求不等式 48f xx的解集; ()若 222 5 235 2 abct,求23acbc的最大值 【解析】 () 2222xxtxxtt,4t (0t 舍去) , 103 ,2 2246,24 310,4 x x f xxtxxxx xx , 当2x时,令1038x,得 2 3 x , 2 3 x ; 当24x时,令68x,得2x,无解; 当4x 时,令3108x,得6x,6x 不等式的解集为 2 | 6 3 x xx 或 () 222 23510abc , 2222222 102352346abcacbcacbc, 2 35acbc ,当且仅当 1abc 时等号成立,2 3acbc 的最大值为 5.

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