1、 2020 届高三数学(文) “大题精练”9 17 (12 分) 已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前n项和为 * n SnN, 且 2 2S, 3 S, 4 4S 成等差数列. (1)求数列 n a的通项公式; (2) 对于数列 n A, 若存在一个区间M, 均有1,2,3 i AM i, 则称M为数列 n A 的“容值区间”.设 1 nn n bS S ,试求数列 n b的“容值区间”长度的最小值. 18 (12 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,2ABAC, 2 2AD ,2PB ,PBAC (1)求证:AC 平面PAB; (2)若45PBA o,点E 在线
2、段PA上,且三棱锥DPCE的体积为 4 9 ,求 PE PA 19 (12 分)生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎 的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地 200户家庭进行调查统计.这 200 户 家庭中,头胎为女孩的频率为 0.5,生二孩的频率为 0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭 数为 60. (1)完成下列22列联表,并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关; 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 (2) 在抽取的 200 户家庭的样本中, 按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了
3、5户, 进一步了解情况,在抽取的 5户中再随机抽取 3 户,求这 3户中恰好有 2 户生二孩的概率. 附: 2 P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd (其中nabcd ). 20 (12 分)如图,设抛物线 2 1 C xy与 2 2: 20Cypx p的公共点M的横坐标为 0t t ,过M且与 1 C相切的直线交 2 C于另一点A,过M且与 2 C相切的直线交 1 C于另 一点B,记S为MBA的面积. ()求p的值(用t表示) ; ()若 1 ,2 4
4、 S ,求t的取值范围. 注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直 线与抛物线相切. 21 (12 分)已知函数 2 1 2ln 2 f xxxax, 1 a e . ()讨论 f x的单调性; ()若 f x存在极值,求所有极值之和的取值范围. (二)、选考题:共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 22 1: 2Cxyy,以O为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 1 42 sincoscos . (1)求曲线 1
5、C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (2)设点,M 在曲线 2 C上,直线OM交曲线 1 C于点N,求OMON的最小值. 23. (10 分)已知函数( ) |2| |3|f xxx. (1)解不等式( )32f xx; (2)若函数( )f x最小值为M,且23(0,0)abM ab,求 13 211ab 的最小值 2020 届高三数学(文) “大题精练”9(答案解析) 17 (12 分) 已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前n项和为 * n SnN, 且 2 2S, 3 S, 4 4S 成等差数列. (1)求数列 n a的通项公式; (2) 对于数列 n A, 若存在一个区
6、间M, 均有1,2,3 i AM i, 则称M为数列 n A 的“容值区间”.设 1 nn n bS S ,试求数列 n b的“容值区间”长度的最小值. 【解析】 (1)由题意可知: 324 224SSS ,即 123121234 2aaaaaaaaa , 4 3 1 2 a a ,即公比 1 2 q ,又 1 3 2 a , 1 31 22 n n a . (2)由(1)可知 1 1 2 n n S .当n为偶数时 1 1 2 n n S ,易知 n S随n增大而增大, 3 ,1 4 n S ,根据勾型函数性质,此时 125 2, 12 nn n bS S .当n为奇数时 1 1 2 n n
7、 S ,易知 n S随n增大而减小, 3 1, 2 n S ,根据勾型函数性质,此时 113 2, 6 nn n bS S .又13 25 612 , 13 2, 6 n b .故数列 n b的“容值区间”长度的最小值为 1 6 . 18 (12 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,2ABAC, 2 2AD ,2PB ,PBAC (1)求证:AC 平面PAB; (2)若45PBA o,点E 在线段PA上,且三棱锥DPCE的体积为 4 9 ,求 PE PA 【解析】 (1)由题知:2ABAC, 2 2BCAD ,满足 222 ABACBC ACAB,又PBAC,ABPBB,
8、AB平面PAB,PB 平面PAB AC 平面PAB (2)如图,取线段AB中点O,连接PO在 PAB 中,由余弦定理可得: 22 2cos2PABPBABP BAPBAPB ,POAB,PBPA,且 1 1 2 POAB, 又AB 平面PAB平面ABCD,PO平面PAB, 由 (1) 知AC 平面PAB, 又AC 平面ABCD,平面PAB 平面ABCD,故有PO 平面ABCD, 1112 2 21 3323 D PACP ACDACD VVSPO , 14 2 39 12 3 33 PCE D PCEPCE D PCAPCA PCA h S VSPE VSPA h S , 2 3 PE PA
9、19 (12 分)生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎 的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地 200户家庭进行调查统计.这 200 户 家庭中,头胎为女孩的频率为 0.5,生二孩的频率为 0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭 数为 60. (1)完成下列22列联表,并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关; 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 (2) 在抽取的 200 户家庭的样本中, 按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了 5户, 进一步了解情况,在抽取的 5户中再随机抽取 3 户,求
10、这 3户中恰好有 2 户生二孩的概率. 附: 2 P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd (其中nabcd ). 【解析】 (1)因为头胎为女孩的频率为 0.5,所以头胎为女孩的总户数为200 0.5100. 因为生二孩的概率为 0.525,所以生二孩的总户数为200 0.525105. 22列联表如下: 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 10 合计 105 95 200 2 2 200(605545 40)6
11、00 4.5113.841 105 95 100 100133 K , 故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. (2)在抽取的 200 户家庭的样本中, 按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了 5 户,则这 5 户家庭中,生二胎的户数为 3,分别记为, ,A B C,不生二孩的户数为 2,分别记为 , a b.从这 5 户家庭中随机抽取 3户有 ( , ,)A B C,( , , )A B a, ( , , )A B b,( , , )B C a,( , , )B C b,( , , )A C a,( , , )A C b,( , , )A a b,( , , )B a
12、b,( , , )C a b, 共 10 种情况, 其中恰好有 2户生二孩的有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , )A B aA B bB C aB C bA C aA C b,故 6 种情况,故所求概率为 63 105 . 20 (12 分)如图,设抛物线 2 1 C xy与 2 2: 20Cypx p的公共点M的横坐标为 0t t ,过M且与 1 C相切的直线交 2 C于另一点A,过M且与 2 C相切的直线交 1 C于另 一点B,记S为MBA的面积. ()求p的值(用t表示) ; ()若 1 ,2 4 S ,求t的取值范围. 注:若直
13、线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直 线与抛物线相切. 【解析】 ()因点M在抛物线 1 C: 2 xy上,故 2 ,0M t tt ,又点M在抛物线 2 C: 2 20ypx p上,故 2 2 2tpt,则 3 2 t p () 设点 11 ,A x y,直线MA的方程为 2 yk xtt, 联立方程组 2 2 (), , yk xtt xy 消 去y,得 22 0 xkxktt, 则 2 22 420kkttkt , 因此2kt=, 即直线MA 的方程为 2 2ytxt 则直线MA的斜率 223 11 22 111 3 2 ytytt kt yxtyt
14、t t ,从而 2 1 2 t y ,即 2 , 42 tt A ,同 理,直线MB的方程为 2 22 tt yx,点 2 , 2 4 t t B ,因此 2 2 3 11 2224 tttt MBt ,点 2 , 42 tt A 到直线MB: 2 0 22 tt xy的距 离 22 2 22 9 2 422 8 1 1 4 2 tttt t d t t ,故MBA的面积 2 23 2 9 11 327 8 1 22 2432 1 4 t ttt SMB d t ,即 3 27 32 t S ,因为 1 ,2 4 S ,即 3 127 2 432 t ,解得 2 4 , 3 3 t . 21
15、(12 分)已知函数 2 1 2ln 2 f xxxax, 1 a e . ()讨论 f x的单调性; ()若 f x存在极值,求所有极值之和的取值范围. 【解析】 ()定义域:0,, 2 2 2 axxa x x fx x . 当1a 时, 0fx , f x在0,单调递增; 当 1 1a e 时, 令 0f x , 11xa , 则 f x在 0,11 a, 11,a 单调递增,在11,11aa单调递减. ()由(I)知,当1a 是, f x没有极值点.当 1 1a e 时, f x有两个极值点,分 别记为 12 ,x x,则 12 2xx, 12 x xa. 22 12111222 11
16、 2ln2ln 22 fxfxxxaxxxax 2 12121212 1 22ln 2 xxx xxxax x ,又 12 2xx, 12 x xa,所以 12 1 424lnln2 2 f xf xaaaaaa,且 1 ,1a e ,设 ln2g aaaa, ln0gaa, g a在 1 ,1 e 单调递减. max 11112 ln22g eeee a e g , min 13g ag .所以所有极值之和的取 值范围为 2 3,2 e . (二)、选考题:共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分. 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,
17、曲线 22 1: 2Cxyy,以O为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 1 42 sincoscos . (1)求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (2)设点,M 在曲线 2 C上,直线OM交曲线 1 C于点N,求OMON的最小值. 【解析】 (1)将 222 sin xy y 代入 22 2xyy得,2sin,所以曲线 1 C的极坐标方 程为2sin. 曲线 2 C的方程可化为 222 sincoscos1, 4 2 , 即 2 10 xyxx, 得 1 0y xx x , 所以 2 C的直角坐标方程为 1 0yxx x ; (2)由
18、(1)及题设条件知, 2 1 sincoscos OM ,2sinON,其中 , 4 2 , 所以 22 22 2 4sin4tan sincoscostan1 OMON a , 令t a n1t, 因为, 4 2 , 所以tan1,所以0t ,所以 2 22 4111 484 2816 t OMONtt ttt , 当且仅当1t , 即t a n2, , 4 2 时等号成立.所以OMON的最小值为4. 23. (10 分)已知函数( ) |2| 3|f xxx. (1)解不等式( )32f xx; (2)若函数 ( )f x最小值为M,且23(0,0)abM ab ,求 13 211ab 的
19、最小值. 【解析】 (1)当2x时,2332xxx ,即 3 5 x ,无解;当23x 时, 2332xxx , 即 7 3 x, 得 7 3 3 x; 当3x 时,2332xxx , 即1x , 得3x .故所求不等式的解集为 7 , 3 . (2) 因为( ) |2|3| |(2)(3)| 5f xxxxx, 所以235(0,0)abab, 则213(1)9ab , 1311313(1)3(21)16 213(1)10 2119 21192119 ba ab ababab 当且仅当 211, 235, 0,0, ab ab ab 即 5 , 8 5 4 a b 时取等号.故 13 211ab 的最小值为16 9