1、. 高考大题纵横练高考大题纵横练 高考大题纵横练高考大题纵横练(一一) 1(2016 山东)设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左 平移 3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g? ? ? ? 6 的值 解 (1)f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2 2 3sin2x(12sin xcos x) 3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x 3cos 2x 31 2sin? ? ? ? 2x 3 3
2、1. 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 得 k 12xk 5 12(kZ) 所以 f(x)的单调递增区间是? ? ? ? k 12，k 5 12 (kZ)? ? ? ? 或? ? ? ? k 12，k 5 12 ?kZ? . (2)由(1)知 f(x)2sin? ? ? ? 2x 3 31， 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 得到 y2sin? ? ? ? x 3 31 的图象 再把得到的图象向左平移 3个单位， 得到 y2sin x 31 的图象， 即 g(x)2sin x 31. 所以 g? ? ? ? 6 2sin 6 31 3. 2(2016
3、 天津)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人 数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和均值 . 解 (1)由已知，有 P(A)C 1 3C 1 4C 2 3 C210 1 3. 所以事件 A 发生的概率为1 3. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X0)C 2 3C 2 3C 2 4 C210 4 15， P(X1
4、)C 1 3C 1 3C 1 3C 1 4 C210 7 15， P(X2)C 1 3C 1 4 C210 4 15. 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 随机变量 X 的数学期望 E(X)0 4 151 7 152 4 151. 3(2016 浙江)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90 ，BE EFFC1，BC2，AC3. (1)求证：BF平面 ACFD； (2)求二面角 BADF 的平面角的余弦值 (1)证明 延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图(1)所示 图(1) 因为平面 BCFE平面 ABC， 平
5、面 BCFE平面 ABCBC， 且 ACBC， 所以 AC平面 BCFE， 因此 BFAC. 又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点， 则 BFCK，且 CKACC， 所以 BF平面 ACFD. (2)解 方法一 如图(1)所示，过点 F 作 FQAK 于 Q，连接 BQ. . 因为 BF平面 ACFD，所以 BFAK， 则 AK平面 BQF，所以 BQAK. 所以BQF 是二面角 BADF 的平面角 在 RtACK 中，AC3，CK2，得 FQ3 13 13 . 在 RtBQF 中，FQ3 13 13 ，BF 3， 得 cosBQF 3
6、4 . 所以二面角 BADF 的平面角的余弦值为 3 4 . 方法二 如图(2)所示，延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，则BCK 为等边三角形 图(2) 取 BC 的中点 O，连接 KO， 则 KOBC， 又平面 BCFE平面 ABC， 所以 KO平面 ABC. 以点 O 为原点， 分别以射线 OB， OK 的方向为 x 轴， z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意得 B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0， 3)，A(1，3，0)，E? ? ? ? 1 2，0， 3 2 ，F? ? ? ? 1 2，0， 3 2 . 因此，AC (0,3,0)，AK(1,3，
7、3)，AB(2,3,0) 设平面 ACFD 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 平面 ABED 的法向量为 n(x2，y2，z2) 由 ? ? ? ? ? AC m0， AK m0， 得? ? 3y10， x13y1 3z10， 取 m( 3，0，1)； 由 ? ? ? ? ? AB n0， AK n0， 得? ? 2x23y20， x23y2 3z20， 取 n(3，2， 3) . 于是 cosm，n m n |m| |n| 3 4 . 所以二面角 BADF 的平面角的余弦值为 3 4 . 4设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*) (1)若 a1
8、2，点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn； (2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1 ln 2，求数列 an bn的 前 n 项和 Tn. 解 (1)由已知，得 b72 7 a ，b82 8 a 4b7， 有 2 8 a 42 7 a 2 7 2a . 解得 da8a72. 所以 Snna1n?n1? 2 d2nn(n1)n23n. (2)函数 f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为 y2 2 a (2 2 a ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1 ln 2. 由题意知，a2 1 l
9、n 22 1 ln 2，解得 a22. 所以 da2a11，从而 ann，bn2n. 所以 Tn1 2 2 22 3 23? n1 2n 1 n 2n， 2Tn1 1 2 2 3 22? n 2n 1. 因此 2TnTn11 2 1 22? 1 2n 1 n 2n 2 1 2n 1 n 2n 2n 1n2 2n . 所以 Tn2 n1n2 2n . 5设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点与抛物线 C：x 24 3y 的焦点重合，F 1，F2分别 是椭圆的左，右焦点，且离心率 e1 2，过椭圆右焦点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点 (1)求椭圆 C 的方程；
10、 (2)若OM ON 2，求直线 l 的方程； (3)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MNAB，求证：|AB| 2 |MN|为定值 (1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0， 3)， . 即 b 3，ec a 1 2，a2， 椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)解 由题意可知，直线 l 与椭圆必相交 当直线斜率不存在时，经检验不合题意 当斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，且 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 ? ? ? ? ? x2 4 y2 31， yk?x1? 得(34k2)x28k2x4k2120， x1x2 8k2 34k2，x1x2 4k
11、212 34k2 ， OM ON x1x2y1y2 x1x2k2x1x2(x1x2)1 4k 212 34k2 k2(4k 212 34k2 8k2 34k21) 5k 212 34k2 2， 解得 k 2， 故直线 l 的方程为 y 2(x1)或 y 2(x1)， 即 2xy 20 或 2xy 20. (3)证明 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得 |MN|1k2|x1x2|?1k2?x1x2?24x1x2 ?1k2? 8k2 34k2? 24?4k 212 34k2 ?12?k 21? 34k2 ， 由 ? ? ? ? ? x2 4 y
12、2 31， ykx 消去 y 并整理得 x2 12 34k2， |AB| 1k2|x3x4|4 3?1k2? 34k2 ， |AB| 2 |MN| 48?1k2? 34k2 12?k21? 34k2 4，为定值 6已知函数 f(x)ax2(a1)2xa23a1ex(aR) (1)若函数 f(x)在(2,3)上单调递增，求实数 a 的取值范围； . (2)若 a0， 设 g(x)f?x? ex ln xx， 斜率为 k 的直线与曲线 yg(x)交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)(其 中 x12. (1)解 f(x)ax2(a21)xaex， 当 a0 时，x(2,3)，f(x)0 恒成立， f(x)在(2,3)上单调递增 当 a2， 即证(x1x2) ln x2ln x1 x2x1 2， x2x10，即证 ln x2 x1 2?x2 x11? x2 x11 (x2 x11) 令 h(x)ln x2?x1? x1 (x1)， 则 h(x)1 x 4 ?x1?2 ?x1?2 x?x1?20， h(x)在(1，)上单调递增， h(x)h(1)0.ln x2 x1 2?x2 x11? x2 x11 . 即(x1x2)k2 成立
