1、第三讲第三讲 轨迹方程轨迹方程 轨迹方程基本思路： （以前说法： “建设限代化” ）轨迹方程基本思路： （以前说法： “建设限代化” ） 1、 建系设点：建立直角坐标系，假设动点坐标 P（x,y） 2、 利用条件求解 x,y 的关系 3、 整理化简并书写出特殊的限制条件。 关键点在如何利用条件求出关键点在如何利用条件求出 x x，y y 的关系常见方式的关系常见方式 1、 直接法（直接利用题目条件带入点的坐标就可以） 2、 定义法（根据条件判断出动点符合哪种曲线定义） 3、 代入法（又名相关点法：不知道动点的轨迹，但是已知和动点相关的点的 轨迹方程） 4、 参数法 （引入一个参数， 求出动点坐
2、标和参数关系， 再从式子中消去参数） 5、 交轨法（求两曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数；或引入参数来建 立动曲线的关系，再消去参数，和参数法有点接近） 练习：练习： 1.1.直接法（直接利用题目条件带入点的坐标就可以）直接法（直接利用题目条件带入点的坐标就可以） 1 已知点)0 , 2(A、).0 , 3(B动点),(yxP满足 2 xPBPA，则点P的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 2.如图所示， 已知P(4， 0)是圆x 2+y2=36 内的一点， A、B是圆上两动点， 且满足APB=90， 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 3.已知A、B为两定点， 动点M到A与到B
3、的距离比为常数,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 2.2.定义法（根据条件判断出动点符合哪种曲线定义）定义法（根据条件判断出动点符合哪种曲线定义） 1.在ABC 中，BC=24，AC、AB 的两条中线之和为 39,求ABC 的重心轨迹方程. 2.已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),点P为其上一点， 12 ,F F为椭圆的焦点， 12 FPF的外角 平分线为l，点F2关于l的对称点为Q， 2 F Q交l于点R .当P点 在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； R P Q F2F1 o y x M(x,y) B(a,0)A(-a,0) o y x 3.3.代入法（又名相
4、关点法：不知道动点的轨迹，但是已知和动点相关的点的轨代入法（又名相关点法：不知道动点的轨迹，但是已知和动点相关的点的轨 迹方程）迹方程） 1.已知x轴上一定点(2,0)A，Q为椭圆 2 2 1 4 x y上任一点，求线段AQ的中点M的轨 迹方程； 2.如图，从双曲线1: 22 yxC上一点Q引直线 2: yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程. 4.4.参数法（引入一个参数，求出动点坐标和参数关系，再从式子中消去参数）参数法（引入一个参数，求出动点坐标和参数关系，再从式子中消去参数） 1.已知椭圆 2 2 1 2 x y，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 2.过抛物线pxy2
5、2 （0p）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中 点M的轨迹方程. 5.5.交轨法（求两曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数；或引入参数来建立交轨法（求两曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数；或引入参数来建立 动曲线的关系，再消去参数，和参数法有点接近）动曲线的关系，再消去参数，和参数法有点接近） 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线1 2 2 2 2 b y a x 于 M、N两点， 21,A A为双曲线的左、右顶点，求直线MA1与 NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 练习练习 1已知 1 F、 2 F是定点， 12 | 8FF ，动点M满足 12 | 8MFMF，则动点
6、M的轨迹是 （ ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段 2 设( 0 , 5 )M，(0, 5)N，MNP的周长为 36， 则M N P的顶点P的轨迹方程是 （ ） （A） 22 1 25169 xy （0 x） （B） 22 1 144169 xy （0 x） （C） 22 1 16925 xy （0y ） （D） 22 1 169144 xy （0y ） 3与圆 22 40 xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4P 在以 1 F、 2 F为焦点的双曲线 22 1 169 xy 上运动，则 12 F F P的重心 G 的轨迹方程 是 ； 5已知圆 C： 22 (3)1
7、6xy内一点(3, 0)A，圆 C 上一动点 Q， AQ 的垂直平 分线交 CQ 于 P 点，则 P 点的轨迹方程为 6ABC 的顶点为( 5, 0)A 、(5, 0)B，ABC 的内切圆圆心在直线3x上，则顶 点 C 的轨迹方程是 . 7.若点P为双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，则 12 PFF的 内切圆圆心的轨迹方程是 . F 1 A 2 A x y P E O 8.若点P为椭圆 22 1 259 xy 上任一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，圆M与线段 1 FP的延 长线、线段 2 PF及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是 . 9.已知
8、动点M到定点(3,0)A的距离比到直线40 x的距离少 1，则点M的轨迹方程是 10.抛物线 2 2yx的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 11.过抛物线 2 4yx的焦点F作直线与抛物线交于 P、 Q 两点， 当此直线绕焦点F旋转时， 弦PQ中点的轨迹方程为 12过定点(1, 4)P作直线交抛物线:C 2 2yx于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的切 线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_ 13 一动圆过点(0, 3)P， 且与圆 22 (3)100 xy相内切， 求该动圆圆心C的轨迹方程 14 过椭圆 22 1 369 xy 的左顶点 1 A作任意弦 1 AE并延长
9、到F， 使 1 | |E FAE， 2 A为 椭圆另一顶点，连结OF交 2 A E于点P，求动点P的轨迹方程 15.已知 1 A、 2 A是椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴 12 A A对称的 两点，求直线 1 PA和 2 QA的交点M的轨迹 16.已知点 G 是ABC 的重心，(0, 1), (0,1)AB，在x轴上有一点 M，满足 | |MAMC， GMABR （1）求点 C 的轨迹方程. 17 已知 O 为坐标原点， 点( 1,0)E 、(1,0)F， 动点A、M、N满足|AEm EF（1m） ， 0M NA F， 1 () 2 ONOAOF，/AMM
10、E求点 M 的轨迹 W 的方程 18已知点(0, 1)F，点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足0MN MF， 0MNMP （1）求P点轨迹E的方程； 19设 A，B 分别是直线 2 5 5 yx和 2 5 5 yx 上的两个动点，并且|20AB ，动点 P 满足OPOA OB记动点 P 的轨迹为 C （I） 求轨迹 C 的方程； 20设双曲线 22 2 1 3 yx a 的两个焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 2 （1）求此双曲线的渐近线 1 l、 2 l的方程； （2）若 A、B 分别为 1 l、 2 l上的动点，且 12 2| 5|ABFF，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方
11、程，并说明是什么曲线 练习答案：练习答案： 1.1.直接法（直接利用题目条件带入点的坐标就可以）直接法（直接利用题目条件带入点的坐标就可以） 1 已知点)0 , 2(A、).0 , 3(B动点),(yxP满足 2 xPBPA，则点P的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解：),3(),2(yxPByxPA ， 2 )3)(2(yxxPBPA 22 6yxx. 由条件， 222 6xyxx，整理得6 2 xy，此即点P的轨迹 方程，所以P的轨迹为抛物线，选 D. 2.如图所示， 已知P(4， 0)是圆x 2+y2=36 内的一点， A、B是圆上两动点， 且满足APB=90， 求矩形A
12、PBQ的顶点Q的轨迹方程 利用矩形特点和垂径定理： 22222 OBORBRORPR 将各边表示出来化简即可 22 56xy 3.已知A、B为两定点， 动点M到A与到B的距离比为常数,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解 建立坐标系如图所示， 设|AB|=2a,则A(a,0）,B(a,0) 设M(x,y）是轨迹上任意一点 则由题设，得 | | MB MA =,坐标代入，得 22 22 )( )( yax yax =,化简得 (1 2)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0 新疆新疆 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 http:/ http:/ 源
13、头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 新疆新疆 B Q R A Po y x M(x,y) B(a,0)A(-a,0) o y x (1)当=1 时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴) (2)当1 时，点M的轨迹方程是x 2+y2+ 2 2 1 )1 (2 a x+a 2=0 点 M的轨迹是以( 2 2 1 )1 ( a ，0）为圆心， |1 | 2 2 a 为半径的圆 2.2.定义法（根据条件判断出动点符合哪种曲线定义）定义法（根据条件判断出动点符合哪种曲线定义） 1.在ABC 中，BC=24，AC、AB 的两条中线之和为 39,求AB
14、C 的重心轨迹方程. 利用中线交点为重心，其中有 2:1 的特点确认轨迹为椭圆 22 1 16925 xy 2.已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),点P为其上一点， 12 ,F F为椭圆的焦点， 12 FPF的外角 平分线为l，点F2关于l的对称点为Q， 2 F Q交l于点R .当P点 在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； 利用椭圆的定义发现 1211 2FPF PFPPQFQa 再由中位线得ORa，所以轨迹为圆 3.3.代入法（又名相关点法：不知道动点的轨迹，但是已知和动点相关的点的轨代入法（又名相关点法：不知道动点的轨迹，但是已知和动点相关的点的轨 迹方程）迹方程）
15、1.已知x轴上一定点(2,0)A，Q为椭圆 2 2 1 4 x y上任一点，求线段AQ的中点M的轨 迹方程； 设 M（x,y）,则 Q（2x-2,2y） ，将 Q 点带入椭圆化简 22 (1)41xy 易错点：忘记易错点：忘记 x x 的范围：的范围：2x R P Q F2F1 o y x 2.如图，从双曲线1: 22 yxC上一点Q引直线 2: yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程. 解：设),(),( 11 yx，QyxP，则)2 ,2( 11 yyxxN.N在直线l上， . 222 11 yyxx 又lPN 得, 1 1 1 xx yy 即0 11 xyyx. 联解得 2
16、 23 2 23 1 1 xy y yx x .又点Q在双曲线C上，1) 2 23 () 2 23 ( 22 xyyx ， 化简整理得：012222 22 yxyx，此即动点P的轨迹方程. 4.4.参数法（引入一个参数，求出动点坐标和参数关系，再从式子中消去参数）参数法（引入一个参数，求出动点坐标和参数关系，再从式子中消去参数） 1.已知椭圆 2 2 1 2 x y，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为 1122 ,P x yQ xy，PQ的中点为,M x y. 则 2 21 1 1 2 x y， （1） 2 22 2 1 2 x y， （2） 12得： 22 2212
17、 12 0 2 xx yy ， 1212 12 12 0 2 xxyy yy xx . 又 12 1212 12 2 ,2 ,2 yy xxx yyy xx ，40 xy. 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40 xy （ 44 33 x）. 2.过抛物线pxy2 2 （0p）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中 点M的轨迹方程. 解：设),(yxM，直线OA的斜率为)0(kk，则直线OB的斜率为 k 1 .直线 OA 的方程为 kxy ，由 pxy kxy 2 2 解得 k p y k p x 2 2 2 ，即) 2 , 2 ( 2 k p k p A，同理可得)2
18、,2( 2 pkpkB. 由中点坐标公式， 得 pk k p y pk k p x 2 2 ， 消去k， 得)2( 2 pxpy， 此即点M的轨迹方程. 5.5.交轨法（求两曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数；或引入参数来建立交轨法（求两曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数；或引入参数来建立 动曲线的关系，再消去参数，和参数法有点接近）动曲线的关系，再消去参数，和参数法有点接近） 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线1 2 2 2 2 b y a x 于 M、N两点， 21,A A为双曲线的左、右顶点，求直线MA1与 NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 解：设),(yxP及),(),(
19、 1111 yxNyxM，又)0 ,(),0 ,( 21 aAaA ，可得 直线MA1的方程为)( 1 1 ax ax y y ；直线NA2的方程为)( 1 1 ax ax y y . 得)( 22 22 1 2 12 ax ax y y . 又, 1 2 2 1 2 2 1 b y a x )( 2 1 2 2 2 2 1 xa a b y， 代入得 )( 22 2 2 2 ax a b y，化简得1 2 2 2 2 b y a x ，此即点P的轨迹方程. 当ba 时，点P的 轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当ba 时，点P的轨迹是椭圆. 练习练习 1已知 1 F、 2 F是定点， 12
20、| 8FF ，动点M满足 12 | 8MFMF，则动点M的轨迹是 （ D ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段 2 设( 0 , 5 )M，(0, 5)N，MNP的周长为 36， 则M N P的顶点P的轨迹方程是 （ B ） （A） 22 1 25169 xy （0 x） （B） 22 1 144169 xy （0 x） （C） 22 1 16925 xy （0y ） （D） 22 1 169144 xy （0y ） 3 与圆 22 40 xyx外切， 又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 2 8 (0)yx x ； 4P 在以 1 F、 2 F为焦点的双曲线 22 1 169 xy
21、上运动，则 12 F F P的重心 G 的轨迹方程 是 ； 2 2 9 1 16 x y 5已知圆 C： 22 (3)16xy内一点(3, 0)A，圆 C 上一动点 Q， AQ 的垂直平 分线交 CQ 于 P 点，则 P 点的轨迹方程为 2 2 1 4 x y 6ABC 的顶点为( 5, 0)A 、(5, 0)B，ABC 的内切圆圆心在直线3x上，则顶 点 C 的轨迹方程是 ； 22 1 916 xy （3x ） 7.若点P为双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，则 12 PFF的 内切圆圆心的轨迹方程是 ；3x 8.若点P为椭圆 22 1 259
22、xy 上任一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，圆M与线段 1 FP的延 长线、线段 2 PF及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是 ；5x 9.已知动点M到定点(3,0)A的距离比到直线40 x的距离少 1，则点M的轨迹方程是 2 12yx 10.抛物线 2 2yx的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 4 k x （ 2 8 k y ） 11.过抛物线 2 4yx的焦点F作直线与抛物线交于 P、 Q 两点， 当此直线绕焦点F旋转时， 弦PQ中点的轨迹方程为 解法分析：解法分析：解法解法 1 1 当直线PQ的斜率存在时， 设 PQ 所在直线方程为 (1)yk x与抛物线方程联立， 2 (1)
23、, 4 yk x yx 消去y得 2222 (24)0k xkxk 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，PQ中点为( , )M x y，则有 2 12 2 2 , 2 2 (1). xxk x k yk x k 消k得 2 2(1)yx 当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为(1,0)F，也满足所求方程 故所求轨迹方程为 2 2(1)yx F 1 A 2 A x y P E O 解法解法 2 2 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy， 由 2 11 2 22 4 , 4. yx yx 得 121212 ()()4()yyyyxx， 设PQ 中点为( ,
24、)M x y，当 12 xx时，有 12 12 24 yy y xx ，又 1 PQMF y kk x ， 所以，2 1 y y x ，即 2 2(1)yx当 12 xx时，易得弦PQ的中点为(1,0)F，也满 足所求方程故所求轨迹方程为 2 2(1)yx 12过定点(1, 4)P作直线交抛物线:C 2 2yx于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的切 线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_44yx 13 一动圆过点(0, 3)P， 且与圆 22 (3)100 xy相内切， 求该动圆圆心C的轨迹方程 （定义法） 22 1 2516 yx 14 过椭圆 22 1 369 xy 的左
25、顶点 1 A作任意弦 1 AE并延长到F， 使 1 | |E FAE， 2 A为 椭圆另一顶点，连结OF交 2 A E于点P， 求动点P的轨迹方程 利用交轨法得 1111 11 2 11 11 22 ( ,),(26,2) 2 :;:(6) 266 363 ; 22 (2) 1 164 E x yFxy yy OF yx A E yx xx x xyy xy 轨迹： 15.已知 1 A、 2 A是椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴 12 A A对称的 两点，求直线 1 PA和 2 QA的交点M的轨迹 （交轨法） 16.已知点 G 是ABC 的重心，(0, 1)
26、, (0,1)AB，在x轴上有一点 M，满足 | |MAMC， GMABR （1）求点 C 的轨迹方程. 解： （1）设( , )C x y，则由重心坐标公式可得( ,) 3 3 x y G GMAB，点M在x轴上， (,0) 3 x M | |MAMC，(0, 1)A， 222 ( )1() 33 xx xy ，即 2 2 1 3 x y 故点C的轨迹方程为 2 2 1 3 x y（1y ） （直接法） 17 已知 O 为坐标原点， 点( 1,0)E 、(1,0)F， 动点A、M、N满足|AEm EF（1m） ， 0M NA F， 1 () 2 ONOAOF，/AMME求点 M 的轨迹 W
27、的方程 解：0MN AF， 1 () 2 ONOAOF， MN 垂直平分 AF 又/AMME， 点 M 在 AE 上， | | 2AMMEAEm EFm，| |MAMF， | 2|MEMFmEF， 点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴am，半焦距1c， 2222 1bacm 点 M 的轨迹 W 的方程为 22 22 1 1 xy mm （1m） 18已知点(0, 1)F，点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足0MN MF， 0MNMP （1）求P点轨迹E的方程； 解： （1）设( , 0)M a、(0, )Nb、( , )P x y，则(, )MNa b 、(, 1)M
28、Fa 、 (, )MPxa y 由题意得 (, ) (, 1)0, (, )(, )(0, 0). a ba a bxa y 2 0, , , 2 ab x aby 2 1 4 yx， 故动点P的轨迹方程为 2 1 4 yx 19设 A，B 分别是直线 2 5 5 yx和 2 5 5 yx 上的两个动点，并且|20AB ，动点 P 满足OPOA OB记动点 P 的轨迹为 C （I） 求轨迹 C 的方程； 解： （I）设( , )P x y，因为 A、B 分别为直线 2 5 5 yx和 2 5 5 yx 上的点，故可设 11 2 5 ( ,) 5 A xx， 22 2 5 (,) 5 B xx
29、OPOA OB， 12 12 , 2 5 () 5 xxx yxx 12 12 , 5 2 xxx xxy 又20AB ， 22 1212 4 ()()20 5 xxxx 22 54 20 45 yx 即曲线 C 的方程为 22 1 2516 xy 20设双曲线 22 2 1 3 yx a 的两个焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 2 （1）求此双曲线的渐近线 1 l、 2 l的方程； （ 3 3 yx ） （2）若 A、B 分别为 1 l、 2 l上的动点，且 12 2| 5|ABFF，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程，并说明是什么曲线 （ 22 3 1 7525 xy ） 提示： 2 2 1212 | 10()10ABxxyy，又 11 3 3 yx ， 22 3 3 yx， 则 1221 3 () 3 yyxx， 2112 3 () 3 yyxx又 12 2xxx， 12 2yyy代入距 离公式即可
