1、第六章计数原理 习题课排列与组合的综合应用 课后篇巩固提升 基础达标练 1. + 的值为( ) A. B. C. D. 解析 + + + + . 答案 D 2.(2020 天津一中高二期末)某台小型晚会由 6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第 四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 解析由于节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则节目乙可放在 第二、三、五个位置中的任何一个位置,其他节目任意排列.由分步乘法计数原理可知,该台晚会节目 演出顺
2、序的编排方案共有 =18(种).故选 B. 答案 B 3.(2020 辽宁庄河高中高二月考)安排 5 名学生去 3个社区进行志愿服务,且每人只去 1 个社区,要求每 个社区至少有 1 名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有 ( ) A.360种 B.300 种 C.150 种 D.125种 解析 5 名学生分成 3组,每组至少 1人,有 3,1,1和 2,2,1 两种情况. 3,1,1:分组共有 =10(种)分法,再分配到 3个社区,共有 10 =60(种)不同的安排方式; 2,2,1:分组共有 =15(种)分法,再分配到 3个社区,共有 15 =90(种)不同的安排方式. 综上所述,共有
3、60+90=150(种)不同的安排方式.故选 C. 答案 C 4.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工 作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四 项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152 B.126 C.90 D.54 解析按从事司机工作的人数进行分类. 有 1人从事司机工作,不同的安排方案有 (或 )=108(种); 有 2人从事司机工作,不同的安排方案有 =18(种). 所以不同安排方案的种数是 108+18=126. 答案 B 5.某校开设 9门课程供学生选修,其中 A,B,C
4、三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学 选修 4 门,共有 种不同的选修方案. 解析分两类: 第 1类,从 A,B,C中选 1门,从另 6 门中选 3门,共有 种选法; 第 2类,从 6门中选 4 门有 种选法. 故共有 =75(种)不同的选修方案. 答案 75 6.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地游客来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串 3颗(如图).规定:每串臭豆腐只 能自左向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该游客将这两串臭豆腐吃完,有 种不同的吃法. 解析总共要吃 6 口,选 3 口给第一串的 3颗臭豆腐,顺序不变,剩下的 3 口给第二串,顺序不变,因此不 同吃法共有 =2
5、0(种). 答案 20 7.把座位编号为 1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且 分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为 . 解析先将票分为符合条件的 4份,由题意,4人分 5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张, 一人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于将 1,2,3,4,5这五个数用 3个板子隔开,分为四部分且不存在 三连号.在 4 个空位插 3 个板子,共有 =4(种)情况,再对应到 4 个人,有 =24(种)情况,则共有 424=96(种)不同的分法. 答案 96 8.某市工商局对 35种商品进行抽样检查,鉴定结果有 1
6、5 种假货,现从 35 种商品中选取 3种. (1)恰有 2 种假货在内的不同取法有多少种? (2)至少有 2种假货在内的不同取法有多少种? (3)至多有 2种假货在内的不同取法有多少种? 解(1)从 20种真货中选取 1件,从 15种假货中选取 2 件,有 =2 100(种)不同的取法. 所以恰有 2 种假货在内的不同取法有 2 100种. (2)选取 2 件假货有 种,选取 3 件假货有 种,共有 =2 555(种)不同的取法. (3)任意选取 3 件的种数为 ,因此符合题意的选取方式有 =6 090(种). 所以至多有 2种假货在内的不同的取法有 6 090种. 9.有 5 个男生和 3
7、个女生,从中选出 5 人担任 5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表. 解(1)先选后排,可以是 2 女 3 男,也可以是 1女 4男,先选有( )种情况,后排有 种情况,则 符合条件的选法数为( ) =5 400. (2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为 =840. (3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为 =3 360. (4)先从除去该男生该女生的 6人中选 3
8、人有 种情况,再安排该男生有 种情况,选出的 3 人全 排有 种情况,则符合条件的选法数为 =360. 能力提升练 1.将标号分别为 1,2,3,4,5,6的 6张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2张,其中将标号为 1,2 的卡片放入同一信封中,则不同的放法共有( ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 解析先将 1,2捆绑后放入信封中,有 种方法,再将剩余的 4张卡片放入另外两个信封中,有 种方 法,所以共有 =18(种)方法. 答案 B 2.如果把个位数是 1,且恰好有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4四个数字组成的 有重复数字的
9、四位数中,“好数”共有( ) A.9 个 B.3个 C.12 个 D.6 个 解析当重复数字是 1 时,有 个“好数”;当重复数字不是 1 时,有 个“好数”.由分类加法计数原理, 得“好数”有 =12(个). 答案 C 3.(多选)(2020江苏扬州中学高二月考)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车 4 辆工程车, 将它们全部派往 3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的有 ( ) A.18 B. C. D. 解析根据捆绑法得到共有 =36(种)方式.先选择一个工地派两辆工程车,再将剩余的两辆车派给 两个工地,共有 =36(种)方式. =1836.故选
10、 CD. 答案 CD 4.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下 社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的 4个热点,则“住房”作为其中的一个 调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为( ) A.13 B.24 C.18 D.72 解析可分三步:第 1 步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这 4个热点中选出 3个,有 种不同的选法;第 2 步,在调查时,“住房”安排的顺序有 种可能情况;第 3步,其余 3个热点调查的顺序有 种排法.根据 分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为 =72. 答案 D 5
11、.已知 (n7)成等差数列,则 = . 解析由题意可知 2 , - - - , - - - , 得 n2-21n+98=0, 解得 n=14或 n=7(舍去), =713=91. 答案 91 6.(2020 山东济南高三模拟)CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛 会.2020CES 消费电子展于 2020年 1 月 7日10日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展 上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从 7名员工中选出 3 名员 工负责接待工作(这 3 名员工的工作视为相同的工作),再选出 2名员工分别在上午、下午讲解该款
12、手 机性能,若其中甲和乙至多有 1人负责接待工作,则不同的安排方案共有 种. 解析先安排接待工作,分两类,一类是没安排甲、乙,有 种,一类是甲、乙安排 1人,有 种; 再从余下的 4人中选 2 人分别在上午、下午讲解该款手机性能,共 种. 故不同的安排方案共有( ) =360(种). 答案 360 7.从 6 名短跑运动员中选 4人参加 4100 米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多 少种不同的参赛方法? 解把所选取的运动员的情况分为三类: 第 1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有 =24(种); 第 2类,甲、乙两人有且只有 1人参赛,不同的参赛方法有 )=144(种
13、); 第 3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有 -2 )=84(种). 由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有 24+144+84=252(种). 8.现有 10名教师,其中男教师 6名,女教师 4名. (1)现要从中选 2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或 2名女教师去外地学习的选法有多少种? (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? 解(1)从 10名教师中选 2名去参加会议的选法种数,就是从 10个不同元素中取出 2个元素的组合数, 即 =45(种).即共有 45 种不同的选法. (2)可把问题分两类情况: 第 1类,选出的
14、 2名是男教师,有 种方法; 第 2类,选出的 2名是女教师,有 种方法. 根据分类加法计数原理,共有 =15+6=21(种)不同选法. (3)从 6名男教师中选 2名的选法有 种,从 4 名女教师中选 2 名的选法有 种,根据分步乘法计 数原理,共有选法 =90(种). 素养培优练 1.(2020 广东高二月考)我省某校要进行一次月考,一般考生必须考 5 门学科,其中语文、数学、英语、 综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语 2 中选择.为节省 时间,决定每天上午考两门,下午考一门,三天半考完. (1)若语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场考试,则
15、“考试日程安排表”有多少种不同 的安排方法? (2)若各科考试顺序不受限制,求数学、化学在同一天考的概率是多少? 解(1)语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场,共有 =24(种)不同的安排方法,其余 7 门学科共有 =5 040(种)不同的安排方法,故“考试日程安排表”共有 5 04024=120 960(种)不同的安 排方法. (2)各科考试顺序不受限制时,共有 种不同的安排方法; 数学和化学在同一天考共有( )种不同的安排方法. 故数学、化学在同一天考的概率 P= . 2.(2020 江苏高二期中)某班有 6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,求在下列情况下各有多少种 不同的报名
16、方法. (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项; (3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加. 解(1)每人都可以从这四个项目中选报一项,各有 4种不同的选法, 由分步乘法计数原理知,共有 46=4 096(种)不同的报名方法. (2)每项限报一人,且每人至多报一项,因此可由项目选人. 第一个项目有 6 种不同的选法,第二个项目有 5 种不同的选法,第三个项目有 4种不同的选法,第 四个项目有 3种不同的选法.由分步乘法计数原理得,共有 =6543=360(种)不同的报名方法. (3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加,因此需将 6人分成 4 组,有 =20+ =65(种)情况. 每组参加一个项目,由分步乘法计数原理得共有 =6524=1 560(种)不同的报名方 法.
