1、丰台区 20202021 学年度第一学期期末练习 高三数学高三数学 2021.01 考生须知： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹 签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴 好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。 选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各 小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准 黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在 试卷、草稿纸上答题无效。 4. 本
2、试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 |0,| 22Ax xBxx Z ，那么AB （A）0,1 （B） |0 2xx （C） 1,0 （D）0,1,2 （2）在等差数列 n a 中，若 124 1,10aaa ，则 20 a （A）35 （B）37 （C）39 （D）41 （3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （A）82 2 （B）112 2 （C）112 5 （D）142 2 （4）若函数 2, 0, (
3、) 2 ,0, x xx f x x 则函数 ( )f x的值域为 （A）0,1) （B）( ,0 （C）( ,0)(0,1) （D）( ,1) （5）若关于, x y的方程组 4210,( ) 210 xy a xay R无解，则a （A）2 （B）2 （C）1 （D） 2 2 （6） 下列函数中， 同时满足对于定义域内的任意x， 都有 ()( )fxf x ； 存在区间D， ( )f x在区间D上单调递减的函数是 （A） sinyx （B） 3 yx （C） 2 1 1 y x （D） lnyx （7）已知 n a 是等比数列， n S为其前n项和，那么“ 1 0a ”是“数列 n S 为
4、递增数列” 的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、 生物、历史、地理、政治六科中任选三科） 根据学生选科情况，该校计划利用三天请专 家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科语文、数学、 英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同 一天，则不同的排课方案的种数为 （A）36 （B）48 （C）144 （D）288 （9）在平面直角坐标系中，, A B是直线x ym 上的两点，且| | 10AB 若
5、对于任意点 (cos ,sin )(02P ，存在, A B使90APB成立，则m的最大值为 （A）2 2 （B）4 （C）4 2 （D）8 （10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客 身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时，顾 客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t (分钟)之间的函数关系为 10 0.1 ,010, 1 ( ),10 2 t a tt y t (a为常数)， 函数图象如图所示.如果商场 规定 10:00 顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是 （A
6、）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）在复平面内，复数 i(i)za 对应的点在直线 0 xy 上，则实数a _ （12）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 2 yx，那么该双曲线的离 心率为_ （13）已知正六边形ABCDEF的边长为 1，那么AB AF _；若AD xAByAF，则 xy_ （14）函数( )sin(2) 3 f xx 的最小正周期T _，将函数 ( )f x的图象向左平移 (0) 个单位长度，得到函数 (
7、)g x的图象. 若函数( )( )yf xg x 的最大值为 2，则 的值可以为_ （15） 对于平面直角坐标系内的任意两点 1122 (,),(,)P x yQ xy ， 定义它们之间的一种“距离” 为 2121 PQxxyy已知不同三点, ,A B C满足ACCBAB，给出下列四个 结论： , ,A B C三点可能共线； , ,A B C三点可能构成锐角三角形； , ,A B C三点可能构成直角三角形； , ,A B C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，
8、在三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 ABB A和 11 BCC B 都是正方形，平面 11 ABB A 平面 11 BCC B，,D E分别为 1, BB AC的中点 （）求证：BE平面 1 ACD； （）求直线 1 B E与平面 1 ACD所成角的正弦值 （17） （本小题 13 分） 在ABC中， 已知5b ， 9 cos 16 B ,再从条件、 条件这两个条件中选择一个作为已知 （）求sin A； （）求ABC的面积 条件： 1 cos 8 C ；条件：4a 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 （18） （本小题 14 分） 全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费某市
9、为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了 一项“舌尖上的浪费”的调查， 对该市的居民进行简单随机抽样， 将获得的数据按不同年龄 段整理如下表： E D A1 C1C B1 B A 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第 1 段 250 650 450 650 第 2 段 300 600 550 550 第 3 段 600 400 750 250 第 4 段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立 （） 分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率， 该市女性居民外出就餐有剩余 时打包的概率； （）从该市男性居民中随机抽取 1 人，女性居民中随机抽取
10、 1 人，记这 2 人中恰有X人 外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； （） 假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余 时打包的频率相等，用“1 k ”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包， “0 k ”表示 第k段居民外出就餐有剩余时不打包(1,2,3,4k )，写出方差 1234 ,DDDD的大小关 系 （只需写出结论） （19） （本小题 15 分） 已知函数( )()e () x f xxaaR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （）如果函数( )f x在区间(0,1)上有极值，且( )0f xa对于0,1x恒成立，求
11、a的取 值范围 （20） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 过(0,2), ( 3, 1)AB 两点 （）求椭圆W的方程； （） 直线AB与x轴交于点( ,0)M m， 过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l， l与椭圆W交于,C D两点，直线,AC BD分别交直线xm于,P Q两点，求证：| | | PM MQ 为定 值 （21） （本小题 15 分） 已知 n a是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 n A，最小值记为 n B，令 n n n A b B （）若2 (1,2,3,) n an nL，写出 123 ,b b b的值
12、； （）证明： 1 (1,2,3,) nn bb n ； （） 若 n b是等比数列， 证明： 存在正整数 0 n， 当 0 nn时， +1+2nnn aaa, L是等比数列 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） F E D A1 C1 C B1 B A 丰台区丰台区 2020202020212021 学年度第一学期期末学年度第一学期期末练习练习 高三数学高三数学 答案答案 202120210101 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C A
13、 B D C B 二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分） 111 12 5 2 13 1 ,4 2 14， 2 （答案不唯一） 15（全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分） 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8585 分）分） （16） （本小题 13 分） （）证明：取 1 AC中点F，连接,DF EF， 在 1 AAC中，,E F分别是 1 ,AC AC的中点， 所以EF 1 AA， 1 1 2 EFAA 在三棱柱 111 ABCABC中， 四边形 11 AAB B为正方形，D为
14、 1 BB中点， 所以BD 1 AA， 1 1 2 BDAA 所以BDEF，BDEF 所以四边形BEFD为平行四边形 所以BEDF 因为DF 平面 1 ACD，BE 平面 1 ACD， 所以BE平面 1 ACD （）解： 因为平面 11 ABB A 平面 11 BCC B，平面 11 ABB A平面 111 BCC BBB，AB 平 面 11 ABB A， 正方形 11 ABB A中AB 1 BB， 所以AB 平面 11 BCC B 所以ABBC 正方形 11 BCC B中 1 BCBB 如图建立平面直角坐标系Bxyz 不妨设 1 2ABBCBB，则(0,0,0)B，(0,0,2)A，(2,0
15、,0)C， 1(0,2,0) B， 1(0,2,2) A， (0,1,0)D，(1,0,1)E 所以 1 (1, 2,1)B E ， 1 (0,1,2)DA ，(2, 1,0)DC 设平面 1 ACD的法向量( , , )x y zm，则 1 0 0 DA DC m m ， 即 20 20 yz xy 令1x ，则2,1yz 于是(1,2, 1)m 设直线 1 B E与平面 1 ACD所成的角为， 所以 1 1 1 2 sincos, 3 B E B E B E m m m 所以直线 1 B E与平面 1 ACD所成角的正弦值为 2 3 （17） （本小题 13 分） 解： （） 因为 91
16、cos,cos, ,(0,) 168 BCB C， 所以 5 73 7 sin,sin 168 BC 所以 5 7193 77 sin()sincoscossin 1681684 BCBCBC 所以 7 sinsin() 4 ABC （） 由正弦定理得sin4 sin b aA B 所以 113 715 7 sin4 5 2284 ABC SabC 解： （） 由 9 cos,(0,) 16 BB得 5 7 sin 16 B 由正弦定理得 7 sinsin 4 a AB b （）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 9 25162 4 16 cc 即 2 29180cc， 解得6c
17、 （ 3 2 c 舍） 所以 115 715 7 sin46 22164 ABC SacB （18） （本小题 14 分） （）解： 设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A；设该市女性居民外出就餐有 剩余时打包为事件B. 男性居民外出就餐有剩余时打包的有 250+300+600+850=2000 人，男性居民 外出就餐有剩余时不打包的有 650+600+400+350=2000 人，被调查的男性居 民有 2000+2000=4000 人， 所以 20001 ( ) 40002 P A 女性居民外出就餐有剩余时打包的有 450+550+750+650=2400 人，女性居民 外出就餐有剩余时
18、不打包的有 650+550+250+150=1600 人，被调查的女性居 民有 2400+1600=4000 人， 所以 24003 ( ) 40005 P B （）解： X的所有可能取值为 0,1,2. 由题设知，事件A与B相互独立，且 1 ( ) 2 P A ， 2 ( ) 5 P B 所以 121 (0)()( ) ( ) 255 P XP ABP A P B， 12131 (1)()( ) ( )( ) ( ) 25252 P XP ABABP A P BP A P BU， 133 (2)()( ) ( ) 2510 P XP ABP A P B 所以X的分布列为 X 0 1 2 P
19、1 5 1 2 3 10 （）解： 4312 DDDD （19） （本小题 15 分） 解： （） 当1a 时，因为( )(1)exf xx， 所以( )exf xx 因为(1)0f，(1)ef， 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为e(1)yx， 即ee0 xy （）因为( )(1)exf xxa，函数( )f x在区间(0,1)上有极值， 所以01 1a 所以12a 当x变化时，( )f x，( )f x的变化情况如下表： x 0 (0,1)a 1a (1,1)a 1 ( )f x 0 ( )f x a (1)f a (1)ea 因为( )0f xa对于0,1x恒成立，
20、 所以(0)0fa，且(1)0fa 所以(1)e+0aa，即 e e 1 a 因为12a， 所以 e 2 e1 a （20） （本小题 15 分） 解： （） 由椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 过(0,2)A，( 3, 1)B 两点，得 2b ， 2 91 1 4a 所以 2 12a 所以椭圆W的方程为 22 1 124 xy （） 由2m， 设直线l的方程为(2)(0,1)yk xkk. 由 22 (2), 1 124 yk x xy 得 2222 (1 3)1212120kxk xk 且0 . 设 1122 ( ,),(,)C x yD xy，则 22 1212 22 1
21、21212 , 1313 kk xxx x kk 记直线AC的方程为 1 1 2 2 y yx x ， 令2x ，得P点的纵坐标 1 1 (22 )(2) P kx y x 记直线BD的方程为 2 2 1 1(3) 3 y yx x ， 令2x ，得Q点的纵坐标 2 2 (1)(2) 3 Q kx y x 1 121 2 21 2 22 1 22 12121 2 121 1 2 22 1 22 1 (22 )(2) 2(3)(2)| | | | (1)(2) |(2) 3 121212 24122 24()122 1313 | | 12122 2 13 12122(13) | 1. 12122
22、(13) P Q kx yxxxPM kx MQyxx x kk x x xxxx kk kx xx x k kkx kkx 所以 | | PM MQ 为定值 1 方法 2： 12 12 1221 12 1221 12 (22 )(2)(1)(2) 3 (22 )(2)(3)(1)(2) (3) (1)2(2)(3)(2) (3) PQ kxkx yy xx kxxkxx x x kxxxx x x 1212 12 22 22 12 222 2 12 (1)4()12 (3) 121212 (1)4()12 1313 (3) (1)(1212481236) (13)(3) 0. kx xxx
23、x x kk k kk x x kkkk kx x 所以 | | PM MQ 为定值 1 （21） （本小题 15 分） 解： （） 1 1b ， 2 2b ， 3=3 b （） 由题意知 1 0 nn AA ， 1 0 nn BB ， 所以 11nnnn ABA B 所以 +1 +1 nn nn AA BB ，即 1nn bb （） 由题意知 11 1 11 1 Aa b Ba ，及 1nn bb ， 当 1=nn bb 时，得1 n b ，即1 n n A B 所以 nn AB 所以 1 = n aa 即 n a为公比等于 1 的等比数列 当 1nn bb 时，令 12 min, tn aa aaLL，则 mt Ba mt 当nt时， 显然 1nn AA 若 1nn aA ，则 1=nn AA ，与 1nn AA 矛盾， 所以 1nnn aAa ，即 11nn Aa 取 0 +1nt，当 0 nn时， nn n nt Aa b Ba ，显然 +1+2nnn aaa, L是等比数列 综上，存在正整数 0 n，使得 0 nn时， +1+2nnn aaa, L是等比数列. （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
