1、保密启用前 广东省广东省 2021 届高三综合能力测试届高三综合能力测试 数学试卷数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 第第 I 卷卷（选择题选择题 共共 60 分分
2、） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要只有一项是符合题意要 求的求的 1设集合 13Mxx， 24Nxx， ，则MN （ ） A 12xx B 23xx C 34xx D 14xx 2(2)(12 )ii（ ） A4 3i B5i C5i D43i 3已知 5 5 a ， 2 3 5b ， 2 log 3c ，则（ ） Aabc Bacb Ccba Dbac 4如图是某市 2015 年至 2019 年文化产业的发展状况统计图，根据下图，下列说法正确的是（ ） A20
3、15 年至 2019 年，该市文化产业从业人口逐年增长 B2015 年至 2019 年，该市文化产业总产值增长率逐年提高 C2015 年至 2019 年，该市文化产业从业人口数量的变化趋势与总产值的变化趋势基本一致 D2019 年，该市文化产业从业人员人均生产总值比上一年约减少了 3.5% 5 已知圆 22 1: (2)4Cxy， 抛物线 2 2: 2(0)Cypx p， 1 C与 2 C相交于 A， B 两点， 且| 2 3AB ， 则抛物线 2 C的方程为（ ） A 2 3yx B 2 2yx C 2 3 3yx D 2 8yx 6一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人操作，现从甲
4、、乙、丙等 5 名工人中安排 4 人分别操作 一道工序，甲无法操作第一道工序，乙只能操作第四道工序，则不同的安排方案共有（ ） A24 种 B36 种 C48 种 D72 种 7设 2 ( )1 21 x f x ，则( )f x的图像大致为（ ） A B C D 8球 O 与棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D的各个面都相切，点 M 为棱 1 DD的中点，则平面 AMC 截 球 O 所得截面的面积为（ ） A 3 B 2 3 C D 4 3 二、选择题二、选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项
5、符合题目要求有多项符合题目要求全部全部 选对的得选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分，有选错的得有选错的得 0 分分 9已知函数( )sin(3) 22 f xx 的图像关于直线 4 x 对称，则（ ） A函数 yf x的图像向左平移 12 个单位长度得到的图像关于原点对称 B函数 yf x在0, 4 上单调递增 C函数 yf x在0,2 有且仅有 3 个极大值点 D若 12 2f xf x，则 12 xx的最小值为 2 3 10 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 满足条件： （1） 焦点为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F； （2） 离心率
6、为 5 3 ， 求得双曲线 C 的方程为,0f x y 若去掉条件（2） ，另加一个条件求得双曲线 C 的方程仍为 ,0f x y ，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（ ） A双曲线 C 上的任意点 P 都满足 12 | | | 6PFPF B双曲线 C 的虚轴长为 4 C双曲线 C 的一个顶点与抛物线 2 6yx的焦点重合 D双曲线 C 的渐近线方程为430 xy 11下表为森德拉姆（Sundaram，1934）素数筛法矩阵，其特点是每行每列的数均成等差数列，下面结论 正确的是（ ） 4 7 10 13 16 19 7 12 17 22 27 32 10 17 24 31 38 45
7、13 22 31 40 49 58 16 27 38 49 60 71 19 32 45 58 71 84 A第 3 行第 10 列的数为 73 B第 2 行第 19 列的数与第 6 行第 7 列的数相等 C第 13 行中前 13 列的数之和为 2626 D200 会出现在此矩阵中 12某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复 正常 排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm， 继续排气 4 分钟后又测得浓度为 32ppm 由 检验知该地下车库一氧化碳浓度 y（ppm）与排气时间 t（分钟）之间存在函数关系 yf t，其中 ( ) (
8、 ) f t R f t （R 为常数） 若空气中一氧化碳浓度不高于 05ppm 为正常，人就可以安全进入车库了， 则（ ） A 1 4 eR B ln2 4 R C排气 12 分钟后，人可以安全进入车库 D排气 32 分钟后，人可以安全进入车库 第卷第卷（非选择题非选择题 共共 90 分分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13曲线ln(21)yx在点0,0处的切线方程为_ 14长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC， 1 AC与 1 BC所成角的正切值为 2，则该长方体的体积为 _ 15已知向量a，b满足| 2ab且
9、01a b ，则|ab的取值范围是_，|3|ab的最大值是 _ 16甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为 1 2 甲队有一名核心 球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为 1 4 ，若核心球员 在每局比赛受伤的概率为 1 2 ，则甲队获得冠军的概率为_ 四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在2 3a ，sin2sinBC，sin8bB这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题 中的三角形存在，求三
10、角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sin2sinbAaB，_， _？ 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分 18 （12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 ABB A， 11 BCC B， 11 ACC A的面积依次为 16， 12， 20， E， F 分别为 11 AC，BC 的中点 （1）求证：平面ABE 平面 11 BBCC； （2）求证：CF平面 ABE 19 （12 分） 在数列 n a， n b中，已知数列 n a的前 n 项和 n S满足 * 21
11、nnn Sa bnN （1）若2 n bn，求证：数列 1 n a n 是常数列，并求数列 n a的通项公式； （2）若2n n a ，求数列 n b的前n项和 n T 20 （12 分） 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数某市 大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了 2000 人，统计了他们手机计 步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在 3 千步至 21 千步之间） 将样本数据 分成3,5)，5,7)，7,9)，9,11)，11,13)，13,15)，15,17)，17,19)，19,21九组
12、，绘制成如图所 示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布 （1）求图中 a 的值； （2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样本 的平均数 （各区间数据用中点值近似计算） ， 取3.64， 若该企业恰有 10 万人正常上班的员工， 试估计这些员工中日健步步数 Z 位于区间4.88,15.8范围内的人数； （3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 k 名员工的日健步步数在 13 千步至 15 千步内的概率为 ()P Xk，其中0,1,2,20k ，当()P Xk最大时，求 k 的值 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ,
13、N ，则()0.6827P， (22 )0.9545P，(33 )0.9973P 21 （12 分） 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设点 A， F 分别为椭圆 C 的左顶点、 右焦点， 过点 F 的直线交椭圆 C 于点 P， Q，直线 AP， AQ 分， 别与直线:3l x 交于点 M，N，求证：直线 FM 和直线 FN 的斜率之积为定值 22 （12 分） 已知函数 3 ( )exf xax （1）若 3 e 27 a ，判断函数 f x有几个零点，并说明理由； （2）当0 x，
14、 42 11 ( )1 62 f xxx恒成立，求实数 a 的取值范围 广东省广东省 2021 届高三综合能力测试届高三综合能力测试 数学参考答案与评分标准数学参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C B B A 二、选择题二、选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分，有选错有选错 的得的得 0 分分 题号 9 10 11 12 答案 AB
15、C AD ABC BD 三、填空题三、填空题:本大共本大共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分 132yx 144 或8 3 152,2 2；4 22（36 16 2） 16 1 4 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题小题，满分满分 70 分分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】 由sin2sinbAaB，可得2 sincossinbAAaB， 因为 sinsin ab AB ，所以sinsinaBbA， 因此2cos1A，即 1 cos 2 A ， 因为(0, )A，所以 3 A 方案一：选条件和
16、 由 sinsin bc BC 和sin2sinBC，可得2bc， 由 222 2cosabcbcA和2 3a ，得 222 1242ccc， 解得2c 或2c（舍去） ， 则4b，这样的三角形存在 其面积 113 sin4 22 3 222 ABC SbcA 方案二：选条件和 因为 2 3 4 sinsin3 2 ba BA ， 又sin8bB，解得4 2b，sin2B， sin2B与0sin1B矛盾，所以这样的ABC不存在 方案三：选条件和 因为sinsin()sin 3 CABB ， 则sin2sin3cossin 3 BBBB ， 所以cos0B ，则 2 B ，8b， 因为 sin
17、2 sin bB cC ，则4c ， 所以 22 4 3abc，这样的三角形存在 其面积 11 4 348 3 22 ABC Sac 18 【解析】 （1）在直棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面 ABC， AB 平面 ABC， 1 BBAB， 侧面 11 ABB A， 11 BCC B， 11 ACC A的面积依次为 16，12，20， :4:3:5AB BC AC ， 222 ABBCAC，即ABBC， 又 1 BBBCB，AB 平面 11 BBCC， 又AB 平面 ABE，平面ABE 平面 11 BBCC， （2）取 AB 的中点为 G，连接 EG，GF， G，F 分别是 AB
18、，BC 的中点，FGAC且 1 2 FGAC， E 为 11 AC的中点， 111 11 22 ECACAC，又 11 ACAC， 1 ECGF且 1 ECGF，四边形 1 EGFC是平行四边形， 1 C FEG，又 1 C F 平面 ABE，EG 平面 ABE， 1 C F平面 ABE 19 【解析】 （1）由题设可得2(2) 1 nn Sna， 当1n 时， 11 231aa，得 1 1a ， 当2n时， 11 2(1)1 nn Sna ，两式相减得 1 2(2)(1) nnn anana ， 所以 1 (1) nn nana ，即 1 1 nn aa nn ，所以 1 n a n 是常数
19、列， 首项 1 1 1 12 a ，即 1 12 a n ， 所以 1 2 n n a ，所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a （2）因为2n n a ，则 n a是首项 1 2a ，公比2q 的等比数列， 所以 1 2 1 2 22 1 2 n n n S ， 由题设知 1 22221 nn n b ，得 3 4 2 n n b ， 所以 22 333111 44443 222222 n nn Tn 11 1 322 4343 1 2 1 2 n n nn 20 【解析】 （1）由0.02 2 0.03 2 0.05 2 0.15 22 0.05 2 0.04 2 0.01 2
20、1a ， 解得0.1a （2）4 0.046 0.048 0.1 10 0.1 12 0.3 14 0.2 16 0.1 18 0.0820 0.02 12.16， 0.95450.6827 (4.8815.8)(2)0.8186 2 PZPZ ， 则10000 0.81868186（人） ， 所以日健步步数 Z 位于区间4.88,15.8范围内的人数约为 8186 人 （3）设从该企业员工中随机抽取 20 人日健步步数在 13 千步至 15 千步内的员工有 X 人， 则(20,0.2)XB， 其中有 k 名员工的概率为 20 20 ()0.20.8 kkk P XkC ，其中0,1,2,20
21、k 记 20 20 1121 20 0.20.8()21 ( ) (1)0.20.84 kkk kkk CP Xkk f k P XkCk ， 当 1f k 时，4.2k ，则(1)()P XkP Xk； 当 1f k 时，4.2k ，则(1)()P XkP Xk 所以当4k 时，P Xk最大 21 【解析】 （1）设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，焦距为2c， 依题意，可得 22 3 c ac ，解得2a，1c， 又 222 abc，则3b ， 所以椭圆 C 的标准方程为： 22 1 43 xy （2）由（1）得2,0A ，1,0F， 设直线:1PQ xmy， 1
22、1 ,P x y， 22 ,Q x y， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，消元 x，整理得 22 34690mymy， 则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 依题意，可设3, M My，3, N Ny， 则由 1 1 322 M yy x ，可得 11 11 55 23 M yy y xmy ， 同理，可得 2 2 5 3 N y y my ， 所以直线 FM 和直线 FN 的斜率之积 12 12 00251 3 13 1433 NM FMFN yyy y kk mymy 12 2 1212 125 439 y y m y ym yy 2 2
23、22 9 25 134 964 39 3434 m m mm mm 222 125 9 49182736mmm 25 925 43616 所以直线 FM 和直线 FN 的斜率之积为定值 25 16 22 【解析】 （1）令 3 ( ) ( )1 x x f x h xax e e ， 则由于0 x e ，( )0f x 当且仅当 0h x 因为 3 27 e a ， 2 ( )(3) x h xaxxe， 所以当3x时， 0h x且等号成立当且仅当0 x， 当3x 时， 0h x 因此， h x在(,3)上单调递减，在(3,)上单调递增 取 0 2563xa， 则 00 0 3 4 33 0
24、44 00 0 4 11 410 4 xx x xa h xax eaee x ， 又 3 27 (3)10ha e ，(0)10h ， 根据零点存在定理， h x在0,3， 0 3,x上各有一个零点 因此， h x有且只有两个零点，进而 f x有且只有两个零点 （2）当0 x时， 342 11 1 62 x eaxxx对任意实数 a 均成立， 故只需考虑当0 x时， 42 3 11 1 62 x exx a x 恒成立， 令 42 3 11 1 62 ( ) x exx g x x ， 则 42 4 11 (3)23 62 ( ) x xexxx g x x 32 2 11 (3)1 62 x xexxx x ， 令 32 11 ( )11 62 x xxxxe ，则 3 1 ( )0(0) 6 x xx ex ， 故( )x在0,单调递增 因此，当0 x时，( )(0)0 x， 即， 32 11 10 62 x exxx ， x 0,3 3 3, g x 0 g x 3 22 27 e 因此，a 的取值范围为 3 22 , 27 e
