1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知 A（2，3） ，B（1，0） ，则直线 AB 的倾斜角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 2 （4 分）过点（1，2）且与直线 x+2y90 平行的直线方程是（ ） A2xy0 B2xy30 Cx+2y50 Dx+2y40 3 （4 分）已知等比数列an满足
2、 a11，a48，则 a7等于（ ） A32 B32 C64 D64 4 （4 分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A“第一枚硬币正面朝上” ，事件 B“第二 枚硬币反面朝上” ，则 A 与 B 的关系为（ ） A互斥 B相互对立 C相互独立 D相等 5 （4 分）已知平面 ， 的法向量分别为 =（1，2，4） ， =（x，1，2） ，若 ， 则 x 的值为（ ） A10 B10 C1 2 D 1 2 6（4分） 已知圆C1： x2+y21与圆C2： x2+y28y+70， 则圆C1与圆C2的位置关系是 （ ） A相离 B相交 C内切 D外切 7 （4 分）如图，在三棱锥 OABC 中，D 是
3、 BC 的中点，若 = ， = ， = ， 则 等于（ ） A + + B + C + 1 2 + 1 2 D 1 2 1 2 8 （4 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 M 在抛物线 C 上，点 N 在准线 l 上，且 MNl若|MF|8，MFN60，则 p 的值为（ ） 第 2 页（共 14 页） A8 B4 C2 D1 9 （4 分）已知等差数列an是无穷数列，若 a1a20，则数列an的前 n 项和 Sn（ ） A无最大值，有最小值 B有最大值，无最小值 C有最大值，有最小值 D无最大值，无最小值 10 （4 分） 已知点 M 在椭圆 2 18 + 2
4、 9 = 1上运动， 点 N 在圆 x2+ （y1） 21 上运动， 则|MN| 的最大值为（ ） A1 + 19 B1 + 25 C5 D11 2 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）椭圆 2 9 +y21 的离心率是 12 （4 分）已知圆（x+3）2+（y1）2r2（r0）与 x 轴相切，则 r 13 （4 分）已知直线 xy+20 与圆 x2+y23 交于 A，B 两点，则|AB| 14 （4 分）对于数列an，若点(，)( )都在函数 f（x）2x的图象上，则数列an 的前 4 项和 S4 15 （4 分）已知双曲线：
5、 2 3 2= 1，则 C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐 近线的距离为 16（4 分） 如果数列an满足+2 +1 +1 = （k 为常数） ， 那么数列an叫做等比差数列， k 叫做公比差给出下列四个结论： 若数列an满足+1 = 2，则该数列是等比差数列； 数列n2n是等比差数列； 所有的等比数列都是等比差数列； 存在等差数列是等比差数列 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （9 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M 为 AA
6、1的中点 （）求证：A1B平面 MCD1； （）求平面 MCD1与平面 C1CD1夹角的余弦值 第 3 页（共 14 页） 18 （9 分）已知等差数列an满足 a24，a3+a417 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足 b12，再从bn+12bn；2bn+1bn；bn+1bn这三个条 件中任选一个作为已知，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 19 （8 分）2020 年是我国 5G 网络建设的加速之年截至 2020 年底，中国已建成全球最大 的 5G 网络为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部 委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评其
7、中一项测评内容是在 每座受测城市中挑选一条典型路段， 以评估当地 5G 网络发展水平 其中 5 座受测城市的 5G 综合下载速率（单位：Mbps）数据如表： 城市 路段 5G 综合下载速率（单位：Mbps） 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （）从以上 5 座城市中随机选取 2 座城市进行分析，求选取的 2 座城市“5G 综合下载 速率”都大于 800Mbps 的概率； （）甲、乙两家 5G 网络运营商分别从以上 5 座城市中随机选取 1 座城市考察（甲、乙 的选取互不影
8、响） ，求甲、乙两家运营商中恰有 1 家选取的城市“5G 综合下载速率”大 于 800Mbps 的概率 20 （10 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 A（2，0） ，且 a2b （）求椭圆 的方程； （）设 O 为原点，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 交于 P，Q 两点，且直线 l 与 x 轴不重合，直线 AP，AQ 分别与 y 轴交于 M，N 两点求证：|OM|ON|为定值 第 4 页（共 14 页） 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
9、一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知 A（2，3） ，B（1，0） ，则直线 AB 的倾斜角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 【解答】解：A（2，3） ，B（1，0） ， 直线 AB 的斜率 k= 03 12 = 3， 直线 AB 的倾斜角为 3 故选：B 2 （4 分）过点（1，2）且与直线 x+2y90 平行的直线方程是（ ） A2xy0 B2xy30 Cx+2y50 Dx+2y40 【解答】解：设过点 M（1，
10、2）且与直线 x+2y90 平行的直线方程为： x+2y+a0， 把 M（1，2）代入，得 a5 过点 M（1，2）且与直线 x+2y90 平行的直线方程为 x+2y50 故选：C 3 （4 分）已知等比数列an满足 a11，a48，则 a7等于（ ） A32 B32 C64 D64 【解答】解：等比数列an满足 a11，a48，则 a1a7a42， 则 a764， 故选：D 4 （4 分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A“第一枚硬币正面朝上” ，事件 B“第二 枚硬币反面朝上” ，则 A 与 B 的关系为（ ） A互斥 B相互对立 C相互独立 D相等 【解答】解：根据题意，事件 A“第一枚
11、硬币正面朝上” ，事件 B“第二枚硬币反面 朝上” ， 两个事件可以同时发生，也可以都不发生， 第 6 页（共 14 页） A 事件发生与否对 B 事件没有影响，是相互独立事件， 故选：C 5 （4 分）已知平面 ， 的法向量分别为 =（1，2，4） ， =（x，1，2） ，若 ， 则 x 的值为（ ） A10 B10 C1 2 D 1 2 【解答】解：因为 ， 所以平面 ， 的法向量垂直，即 ， 所以 =0， 因为 =（1，2，4） ， =（x，1，2） ， 所以 = x280， 解得 x10 故选：B 6（4分） 已知圆C1： x2+y21与圆C2： x2+y28y+70， 则圆C1与圆C
12、2的位置关系是 （ ） A相离 B相交 C内切 D外切 【解答】解：根据题意，圆 C1：x2+y21，圆心为（0，0） ，半径 r1， 圆 C2：x2+y28y+70，即 x2+（y4）29，圆心为（0，4） ，半径 R3， 圆心距|C1C2|4R+r，两圆外切， 故选：D 7 （4 分）如图，在三棱锥 OABC 中，D 是 BC 的中点，若 = ， = ， = ， 则 等于（ ） A + + B + C + 1 2 + 1 2 D 1 2 1 2 第 7 页（共 14 页） 【解答】解：因为 D 为 BC 的中点， 所以 = 1 2（ + ） ， 又 = ， = ， 所以 = 1 2（ ）+
13、（ ）= + 1 2 + 1 2 = + 1 2 + 1 2 故选：C 8 （4 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 M 在抛物线 C 上，点 N 在准线 l 上，且 MNl若|MF|8，MFN60，则 p 的值为（ ） A8 B4 C2 D1 【解答】解：设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D，如图所示： 由抛物线的定义可得|NM|MF|8，又MFN60， 所以三角形 MFN 为等边三角形，所以MNF60，且|NF|8， 所以FND30， 则在直角三角形 FND 中，sin = = 8 = 1 2， 所以 p4， 故选：B 9 （4 分）已知等差数列an是无穷数
14、列，若 a1a20，则数列an的前 n 项和 Sn（ ） A无最大值，有最小值 B有最大值，无最小值 C有最大值，有最小值 D无最大值，无最小值 【解答】解：等差数列an是无穷数列，若 a1a20，则公差 da2a10， Snna1+ (1) 2 d= 2n 2+（a1 2）n，其对称轴为 n= 21 2 0，开口向上， 故有最小值，无最大值， 故选：A 10 （4 分） 已知点 M 在椭圆 2 18 + 2 9 = 1上运动， 点 N 在圆 x2+ （y1） 21 上运动， 则|MN| 第 8 页（共 14 页） 的最大值为（ ） A1 + 19 B1 + 25 C5 D11 2 【解答】解
15、：由椭圆的参数方程可设点 M 的坐标为（32cos，3sin） ，0，2） ， 由已知圆的方程可得圆的圆心为 A（0，1） ，半径为 r1， 则|AM|= 182 + (3 1)2= (3 1)2+ 20， 当 3sin10 即 sin = 1 3时，|AM| = 20 = 25， 此时|MN| = |+ = 1 + 25， 故选：B 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）椭圆 2 9 +y21 的离心率是 22 3 【解答】解：由椭圆 2 9 + 2= 1的方程可得 a29，b21， a3，c= 2 2= 22 = = 22 3
16、 故答案为：22 3 12 （4 分）已知圆（x+3）2+（y1）2r2（r0）与 x 轴相切，则 r 1 【解答】解：根据题意，圆（x+3）2+（y1）2r2（r0） ，其圆心为（3，1） ，半径 为 r， 若该圆与 x 轴相切，则 r1， 故答案为：1 13 （4 分）已知直线 xy+20 与圆 x2+y23 交于 A，B 两点，则|AB| 2 【解答】解：根据题意，圆 x2+y23 的圆心为（0，0） ，半径 r= 3， 圆心到直线 xy+20 的距离 d= 2 1+1 = 2， 则|AB|2 3 2 =2， 故答案为：2 14 （4 分）对于数列an，若点(，)( )都在函数 f（x）
17、2x的图象上，则数列an 的前 4 项和 S4 30 【解答】解：由点(，)( )都在函数 f（x）2x的图象上，可得 an2n， 第 9 页（共 14 页） 所以数列an的前 4 项和 S4a1+a2+a3+a42+4+8+1630 故答案为：30 15 （4 分）已知双曲线： 2 3 2= 1，则 C 的右焦点的坐标为 （2，0） ；C 的焦点 到其渐近线的距离为 1 【解答】解：依题意知，a= 3，b1，且焦点在 x 轴上， c= 2+ 2=2， 右焦点的坐标为（2，0） ， 双曲线的渐近线方程为 x3y0， 不妨取右焦点（2，0）到渐近线 x3y0 的距离， 则距离 d= |2| 1+
18、3 =1 故答案为： （2，0） ；1 16（4 分） 如果数列an满足+2 +1 +1 = （k 为常数） ， 那么数列an叫做等比差数列， k 叫做公比差给出下列四个结论： 若数列an满足+1 = 2，则该数列是等比差数列； 数列n2n是等比差数列； 所有的等比数列都是等比差数列； 存在等差数列是等比差数列 其中所有正确结论的序号是 【解答】 解： 根据题意， 数列an满足+1 = 2， 则+2 +1 +1 = 2 + 2 2 = 2， 所以数列是等比差数列，故选项正确； 对 于 数 列 n 2n ，则 +2 +1 +1 = (:2)2+2 (:1)2+1 (:1)2+1 ()2 = 2:
19、4 :1 2:2 = 22:4;22;4;2 (:1) = ;2 (:1)不是常数， 所以数列n2n不是等比差数列，故选项错误； 由等比数列的定义可知，anan1q， 所以+2 +1 +1 =qq0， 所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项正确； 设等差数列为an，公差为 d， 第 10 页（共 14 页） 所以+2 +1 +1 = :2 : : = ;2 (:)， 当 d0 时，则+2 +1 +1 =0，所以存在等差数列是等比差数列，故选项正确 故选： 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 1
20、7 （9 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M 为 AA1的中点 （）求证：A1B平面 MCD1； （）求平面 MCD1与平面 C1CD1夹角的余弦值 【解答】 （）证明：如图建立空间直角坐标系 Axyz 因为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，A（0，0，0）是 A（0，0，0）的中点， 所以 A（0，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） ，M（0，0，1） ， D1（0，2，2） ，A1（0，0，2） ，B（2，0，0） ， 1 = (0，2，1)， = (2，2， 1)， 设平面 MCD1的法向量为 =（x，y，z） ， 则 1 = 0，
21、= 0， 即2 + = 0 2 + 2 = 0， 令 y1，则 z2，x2，所以 =（2，1，2） ， 因为1 = (2，0， 2)， 第 11 页（共 14 页） 所以1 = 2 (2) + 0 1 + (2) (2) = 0， 因为 A1B平面 MCD1， 所以 A1B平面 MCD1 （）解：由（）知，平面 MCD1的法向量 =（2，1，2） ， 又平面 C1CD1的法向量为 = (0，2，0)， 设平面 MCD1与平面 C1CD1的夹角为 ， 则 cos= | ， | = | | | | | = 2 32 = 1 3， 所以平面 MCD1与平面 C1CD1夹角的余弦值为1 3 18 （9
22、 分）已知等差数列an满足 a24，a3+a417 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足 b12，再从bn+12bn；2bn+1bn；bn+1bn这三个条 件中任选一个作为已知，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （）设等差数列an的公差为 d 由2 = 4 3+ 4= 17，可得 1+ = 4 21+ 5 = 17 解得 a11，d3， 所以 ana1+（n1）d3n2； （）选： 由 b12，bn+12bn可得 bn0，+1 = 2， 所以bn是等比数列，公比 q2， 所以= 1;1= 2， 所以 Tn （a1+a2+an） + （b1+b2+bn） = (1+3
23、2) 2 + 2(12) 12 = 32 2 + 2:1 2； 选： 由 b12，2bn+1bn可得 bn0，+1 = 1 2， 所以bn是等比数列，公比 = 1 2， 第 12 页（共 14 页） 所以= 1;1= 2 (1 2) ;1 = (1 2) ;2， 所以 Tn （a1+a2+an） + （b1+b2+bn） = (1+32) 2 + 2(1(1 2) ) 11 2 = 32 2 (1 2) ;2 + 4； 选： 由 b12，bn+1bn可得 bn0，+1 = 1， 所以bn是等比数列，公比 q1， 所以= 1;1= 2 (1);1 所以 Tn（a1+a2+an）+（b1+b2+b
24、n）= (1+32) 2 + 2(1(1) 1(1) = 32+2 2 (1) 19 （8 分）2020 年是我国 5G 网络建设的加速之年截至 2020 年底，中国已建成全球最大 的 5G 网络为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部 委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评其中一项测评内容是在 每座受测城市中挑选一条典型路段， 以评估当地 5G 网络发展水平 其中 5 座受测城市的 5G 综合下载速率（单位：Mbps）数据如表： 城市 路段 5G 综合下载速率（单位：Mbps） 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔
25、滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （）从以上 5 座城市中随机选取 2 座城市进行分析，求选取的 2 座城市“5G 综合下载 速率”都大于 800Mbps 的概率； （）甲、乙两家 5G 网络运营商分别从以上 5 座城市中随机选取 1 座城市考察（甲、乙 的选取互不影响） ，求甲、乙两家运营商中恰有 1 家选取的城市“5G 综合下载速率”大 于 800Mbps 的概率 【解答】解： （）5 座城市中“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 的有 3 座，设为 A1， 第 13 页（共 14 页） A2，A3， “5G 综合下载速率”不大于
26、 800 Mbps 的有 2 座，设为 B1，B2 随机选取 2 座城市所有可能为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3， A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共 10 种 其中 2 座城市“5G 综合下载速率”都大于 800 Mbps 的有 A1A2，A1A3，A2A3，共 3 种 设两个城市“5G 综合下载速率”都大于 800 Mbps 为事件 M， 所以() = 3 10 （）设甲选取的城市“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 为事件 C， 乙选取的城市“5G 综合下载速率”大于 800 Mbps 为事件 D， 恰有 1 家运营商选取的城市“5G 综合下
27、载速率”大于 800 Mbps 为事件 N 依题意，事件() = () = 3 5， 所以() = ( ) = () + () = ()() + ()() = 3 5 2 5 + 2 5 3 5 = 12 25 20 （10 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 A（2，0） ，且 a2b （）求椭圆 的方程； （）设 O 为原点，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 交于 P，Q 两点，且直线 l 与 x 轴不重合，直线 AP，AQ 分别与 y 轴交于 M，N 两点求证：|OM|ON|为定值 【解答】解： （）因为椭圆 过点 A（2，0） ， 所以 a2， 因为 a2b， 所
28、以 b1， 所以椭圆 的方程为 2 4 + 2= 1 （）当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1， 不妨设此时(1， 3 2 )，(1， 3 2 )， 所以直线 AP 的方程为 = 3 6 ( + 2)，即(0， 3 3 )， 直线 AQ 的方程为 = 3 6 ( + 2)，即(0， 3 3 )， 所以| | = 1 3； 第 14 页（共 14 页） 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1） ， 由 = ( 1)， 2 4 + 2= 1 得（4k2+1）x28k2x+4k240， 依题意，0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则1+ 2= 82 42
29、+1，12 = 424 42+1， 又直线 AP 的方程为 = 1 1+2 ( + 2)， 令 x0，得点 M 的纵坐标为= 21 1+2，即(0， 21 1+2)， 同理，得(0， 22 2+2)， 所以|OM|ON|= | 412 (1+2)(2+2) | = | 42(11)(21) (1+2)(2+2) | = | 4212(1+2)+1 12+2(1+2)+4 | = | 42(4 24 42+1 82 42+1+1) 424 42+1+ 162 42+1+4 | = | 42(42482+42+1) 424+162+162+4 | = | 122 362 | = 1 3， 综上，|OM|ON|为定值，定值为1 3
