1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1313 一、单项选择题一、单项选择题 1已知集合 Ax|;1 ;2 0，By|y= 4 2，则 AB（ ） A B （，2 C1，2） D0，2 2复数 z 满足|z+3+4i|2，则 的最大值是（ ） A7 B49 C9 D81 3加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于 如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60，每只胳膊的拉力大小均为 400N，则 该学生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，3 1.732） A63 B69 C75 D81 4若 、 2， 2，且 sins
2、in0，则下面结论正确的是（ ） A B+0 C D22 5方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医院医疗 小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班若甲的夜班比丙晚一天， 丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中 间，则周五值夜班的护士为（ ） A甲 B丙 C戊 D庚 6已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线 准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点 为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8
3、7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族 对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图 1： “以五居中， 五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数” ，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置 填奇数 则每一横行、 每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是 （ ） A1 3 B1 6 C 1 72 D 1 144 8已知直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 其中 x1x2，则 2
4、x1+x2（ ） A1 B0 C1 Da 二、多项选择题二、多项选择题 9已知点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，AB，CD 是经过点 F 的弦且 ABCD，AB 的斜率为 k，且 k0，C，A 两点在 x 轴上方则下列结论中一定成立的是（ ） A 1 | + 1 | = 1 2 B若|AF|BF|= 4 3p 2，则 k=3 3 C = D四边形 ABCD 面积最小值为 16p2 10如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCMCN， 则下
5、列说法正确的是（ ） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 11已知函数 f（x）sin（cosx）cos（sinx） ，xR，则（ ） Af（x）为偶函数 Bf（x）为周期函数，且最小正周期为 2 Cf（x）0 恒成立 Df（x）的最小值为2 12已知二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程 Ax3+Bx2+Cx+D0 也成立，即 1+ 2+ 3= 12+ 23+ 31= 123= 若实数 a、b、c 满足 abc， + + = 6 + + = 9，则（ ） Aa0 B1
6、b3 C3c4 D （b5） （c5）的最小值是15 4 三、填空题：三、填空题： 13已知函数 y|sinx|的图象与直线 ym（x+2） （m0）恰有四个公共点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则 2:4 4 = 14 若函数 f （x） ln （ex 1+e1x） 2 与() = 2 图象的交点为 （x1， y1） ， （x2， y2） ， ， （xm，ym） ，则 1 xi 15已知函数 f（x）ex（x+1）2，令 f1（x）f（x） ，fn+1（x）fn（x） ，若 fn（x）ex （anx2+bnx+cn）
7、 ，记数列* 2 2+的前 n 项和为 Sn，求 S2019 的近似值有四位同学做出 了 4 个不同答案：2 3，1， 3 2， 5 3，其中最接近 S2019 的近似值的是 16古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数 （0 且 1）的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解 决下面的问题： 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2AD2AA16， 点 E 在棱 AB 上， BE2AE， 动点 P 满足 BP= 3PE若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径 为 ； 若点 P 在长方体 ABC
8、DA1B1C1D1内部运动， F 为棱 C1D1的中点， M 为 CP 的中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17若数列an满足 an+12an2p（nN+，p 为常数） ，则称数列an为等方差数列，p 为公 方差 （1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足 cn2020，dn= + 1，xn2n+1，yn 3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明） ； （2）若数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列an2的前 n 项和 Sn 18如图，
9、平面四边形 ABCD，点 B，C，D 均在半径为53 3 的圆上，且BCD= 3 （1）求 BD 的长度； （2）若 AD3，ADB2ABD，求ABD 的面积 19如图 1，平面四边形 ABCD 中，ABAC= 2，ABAC，ACCD，E 为 BC 的中点， 将ACD 沿对角线 AC 折起， 使 CDBC， 连接 BD， 得到如图 2 所示的三棱锥 DABC （1）证明：平面 ADE平面 BCD； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 4，求二面角 ABDC 的余弦值 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1313（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题一、单项选择题 1已知集合 Ax
10、|;1 ;2 0，By|y= 4 2，则 AB（ ） A B （，2 C1，2） D0，2 【解答】解：Ax|1x2，By|0y2， AB1，2） 故选：C 2复数 z 满足|z+3+4i|2，则 的最大值是（ ） A7 B49 C9 D81 【解答】解：令 zx+yi， 由|z+3+4i|2，得（x+3）2+（y+4）24， = 2+ 2， 圆（x+3）2+（y+4）24 的圆心（3，4）到原点的距离为 5，半径为 2， 的最大值为（2+5）249 故选：B 3加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于 如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60，每只胳膊
11、的拉力大小均为 400N，则 该学生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，3 1.732） A63 B69 C75 D81 【解答】解：由题意知，1 = 2 =400，夹角 60， 所以 + 1 + 2 = 0 ， 即 = （1 + 2 ） ； 所以 2 = (1 + 2 )2=4002+2400400cos60+400234002； | |4003（N） ， 则该学生的体重（单位：kg）约为 403 =401.73269（kg） ， 故选：B 4若 、 2， 2，且 sinsin0，则下面结论正确的是（ ） A B+0 C D22 【解答】解：yxs
12、inx 是偶函数且在（0， 2）上递增， 、 , 2 ， 2-， sin，sin 皆为非负数， sinsin0， sinsin |， 22 故选：D 5方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医院医疗 小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班若甲的夜班比丙晚一天， 丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中 间，则周五值夜班的护士为（ ） A甲 B丙 C戊 D庚 【解答】解：因为己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间， 所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日 因为乙的夜班比庚早三天， 所以乙可能在星期二，三， 如果乙在星期
13、三，则庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但与甲的夜班比丙晚一天 矛盾， 则乙在周二，庚在周五， 故选：D 6已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线 准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点 为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 画出图形，可知 PFAB，AMAF，设 AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得可得 k2x2（2k2+4）x+k20，所以 x1+x2= 22+4 2 ，x1x21， 线
14、段 AB 的中点为 Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2 2:4 2 +28，解得 k1，所以中点 Q 的横坐标： 2:2 2 =3，Q（3，2） ， PF：yx+1，与 x1 的解得 P（1，2） ， 所以 PQ4 故选：B 7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族 对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图 1： “以五居中， 五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数” ，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置 填奇数 则每一横行、 每一竖列以及
15、两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是 （ ） A1 3 B1 6 C 1 72 D 1 144 【解答】解：九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数， 基本事件总数 n= 4 444 =576， 每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15； 必须满足 1 和 9 对着即占或，2 和 8 对角对着即占或，4 和 6 对角 对着即占或， 3 和 7 对着即占或； 先让 1 去挑位置，有4 种选择，9 随之确定； 然后让 8 去挑位置，比如 1 挑，则 8 只能占或，有 2 种选择，其余随之确定； 故符合条件的共有：428 种； 故所求概率为： 8 576 = 1
16、72 故选：C 8已知直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 其中 x1x2，则 2x1+x2（ ） A1 B0 C1 Da 【解答】解：直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点， 即为 bx3ax 有两个根，即函数 yx3ax 与 yb 恰有两个交点时满足题意 做出两个函数图象：可知，x1是极大值点时满足题意 y3x2a，312= 又 = 13 1= 23 2， 13 23= (1 2)， (1 2)(12+ 12+ 22) =a（x1x2） ，x1x2， = 12+ 12+ 22= 312， 212 12 22=
17、0， （2x1+x2） （x1x2）0 2x1+x20 故选：B 二、多项选择题二、多项选择题 9已知点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，AB，CD 是经过点 F 的弦且 ABCD，AB 的斜率为 k，且 k0，C，A 两点在 x 轴上方则下列结论中一定成立的是（ ） A 1 | + 1 | = 1 2 B若|AF|BF|= 4 3p 2，则 k=3 3 C = D四边形 ABCD 面积最小值为 16p2 【解答】解：AB 的斜率为 k，倾斜角为 ， 则有|AB|= 2 2，|CD|= 2 2(+ 2) = 2 2，所以 A 正确， |AF|= 1，|BF|= 1+，|AF|BF|=
18、2 12 = 2 2， 则 = 3，k= 3，B 错； = = 3 4 2，所以 C 正确； = 1 2 | = 22 22 = 82 22 8p2，四边形 ABCD 面积最小值为 8p2，所以 D 不正确； 故选：AC 10如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCMCN， 则下列说法正确的是（ ） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一
19、定是梯形 【解答】解：连接 AD1，D1P，AMDB 易得 AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN 对于 A，可得正方体中 A1C面 DBC1，即可得 A1C平面 ，故 A 正确 对于 B，可得面 C1DB面 PMN，故 AC1不可能平行面 PMN故错 对于 C，A1C平面 ，且 A1C= 3 5 3，所以存在点 P，使得点 A1 到平面 的距离为 5 3，故正确 对于 D，用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形 PMAD1，PM AD1，四边形 PMAD1一定是梯形，故正确 故选：ACD 11已知函数 f（x）sin（cosx）cos（sinx） ，xR，则（ ）
20、Af（x）为偶函数 Bf（x）为周期函数，且最小正周期为 2 Cf（x）0 恒成立 Df（x）的最小值为2 【解答】解：函数 f（x）sin（cosx）cos（sinx）的定义域为 R， f（x）sin（cos（x） ）cos（sin（x） ）sin（cosx）cos（sinx） sin（cosx）cos（sinx）f（x） ， 可得 f（x）为偶函数，故 A 正确； 由 f（x+2）sin（cos（x+2） ）cos（sin（x+2） ）sin（cosx）cos（sinx）f（x） ， 可得 f（x）为周期为 2 的函数， 又 f（x+）sin（cos（x+） ）cos（sin（x+） ）
21、sin（cosx）cos（sinx）sin（cosx）cos（sinx）f（x） ， 则 不是 f（x）的周期，同理可得 3 2 也不是 f（x）的周期，故 B 正确； 当 x（0，）时，sinx（0，1，cosx（1，0） ， 2 sinx 2 1， 2） ， cosx+sinx= 2sin（x+ 4） 2 2，即 cosx 2 sinx， 又 cos（sinx）sin（ 2 sinx） ，ysinx 在（ 2， 2）递增， 可得 sin（cosx）sin（ 2 sinx）0，即 f（x）0，故 C 正确 当 x 时，可得 f（）sin11， sin1sin 4 = 2 2 sin11 2
22、故 D 不正确 故选：ABC 12已知二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程 Ax3+Bx2+Cx+D0 也成立，即 1+ 2+ 3= 12+ 23+ 31= 123= 若实数 a、b、c 满足 abc， + + = 6 + + = 9，则（ ） Aa0 B1b3 C3c4 D （b5） （c5）的最小值是15 4 【解答】解：构造函数 f（x）（xa） （xb） （xc）x36x2+9xabc， 则 f（x）3x212x+93（x1） （x3） ， 易得，当 x3，或 x1 时，f（x）0，函数单调递增， 当 1x3 时，f（x）0，函数单调递减， 因为 a，b，c 为函数的三个零点， 可
23、得出 f（x）极小值f（3）f（0）0，f（x）极大值f（1）f（4）0， 由函数的零点判定定理可知，0a1，1b3，3c4， 故 A 错误，B，C 正确， 由题中条件得出 b+c6a，bc9a（6a）（a3）2， 代入（b5） （c5）bc5（b+c）+25， （a3）25（6a）+25， a2a+4，a（0，1） ， 当 a= 1 2时， （b5） （c5）取得最小值 15 4 ，故 D 正确 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知函数 y|sinx|的图象与直线 ym（x+2） （m0）恰有四个公共点 A（
24、x1，y1） ，B （x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则 2:4 4 = 1 【解答】解：由题意画出图象如下： 根据题意，很明显，在 D 点处，直线与函数 y|sinx|的图象相切，D 点即为切点 则有，在点 D 处，ysinx，ycosx而cosx4m， 且 y4m（x4+2）sinx4， x4+2= 4 = 4 4 =tanx4 4:2 4 = 4 4 =1 故答案为：1 14 若函数 f （x） ln （ex 1+e1x） 2 与() = 2 图象的交点为 （x1， y1） ， （x2， y2） ， ， （xm，ym） ，则 1 xi 2
25、【解答】解：函数 f（x）ln（ex 1+e1x）2 关于直线 x1 对称满足 f（x）f（2x） ， g（x）sin 2 也关于直线 x1 对称， 当 x1 时，f（x）单调递增，f（1）ln22，f（4）ln（e3+e 3）21， 如图，两个函数图象只有两个交点，所以 1 2， 故答案为：2 15已知函数 f（x）ex（x+1）2，令 f1（x）f（x） ，fn+1（x）fn（x） ，若 fn（x）ex （anx2+bnx+cn） ，记数列* 2 2+的前 n 项和为 Sn，求 S2019 的近似值有四位同学做出 了 4 个不同答案：2 3，1， 3 2， 5 3，其中最接近 S2019
26、的近似值的是 3 2 【解答】解：f（x）ex（x+1）2， 1() = (2+ 4 + 3)，2() = (2+ 6 + 7)，3() = (2+ 8 + 13)， () = ,2+ 2( + 1) + ( + 1) + 1-， fn（x）ex（anx2+bnx+cn） ， an1，bn2（n+1） ，cnn（n+l）+1 2 2; = 2 22:2:2;2;2 = 1 2 1 (;1) = 1 ;1 1 ， 则 S2019 1 2 + 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 1 = 3 2 1 3 2 与 S2019的值最接近的是3 2 16古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两
27、定点 A，B 距离之比为常数 （0 且 1）的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解 决下面的问题： 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2AD2AA16， 点 E 在棱 AB 上， BE2AE， 动点 P 满足 BP= 3PE若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 23 ；若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动，F 为棱 C1D1的中点，M 为 CP 的 中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为 9 4 【解答】解：若点 P 在平面 ABCD 内运动时， 如图以 A 为原点距离平面直角坐标系，可
28、得 E（2，0） ，B（6，0） 设 P（x，y） ，由 BP= 3PE 可得 BP23PE2 即 3（x2）2+3y2（x6）2+y2，x2+y212 则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 23，圆心为 A， 若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动， 由可得点 P 在半径为 23，球心为 A 球上 如图建立空间直角坐标系，可得 A（3，0，0） ，F（0，3，3） ，C（0，6，0） ，B1（3，6， 3） 则 = (0，3， 3)，1 = (3，3，0)， = (3，6，0) 设面 FB1C 的法向量为 = (，)， = 3 3 = 0 1 = 3 + 3 = 0 ，可得 = (
29、1， 1， 1) A 到面 FCB1的距离为 d= | | | | = 9 3 = 33 则 P 到面 FCB1的距离的最小值为 33 23 = 3， M 为 CP 的中点，M 到面 FCB1的距离的最小值为 3 2 则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为1 3 1 3 2 = 1 3 3 4 (32)2 3 2 = 9 4 故答案为：23，9 4 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤. 17 （10 分） 若数列an满足 an+12an2p （nN+， p 为常数）
30、 ， 则称数列an为等方差数列， p 为公方差 （1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足 cn2020，dn= + 1，xn2n+1，yn 3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明） ； （2）若数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列an2的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由等方差数的定义可得：cn，dn为等方差数列 （2）数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列， 2 =1+2（n1）2n1 数列an2的前 n 项和 Sn= (1+21) 2 =n2 18 （12 分）如图，平面四边形 ABCD，点 B，C，D 均在半径为53 3 的圆上，且
31、BCD= 3 （1）求 BD 的长度； （2）若 AD3，ADB2ABD，求ABD 的面积 【解答】解： （1）由题意可知BCD 的外接圆半径 R 为53 3 ，且BCD= 3 由正弦定理可得 =2R= 53 3 2，解得 BD5 （2）在ABD 中，ADB2ABD， sinADBsin2ABD2sinABDcosABD， AB2ADcosABD2AD 2:2;2 2 ， BD5，AD3 AB26， cosABD= 6 3 ，sinABD= 3 3 ， SABD= 1 2ABBDsinABD= 1 2 26 5 3 3 =52 19 （12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 中，ABAC=
32、2，ABAC，ACCD，E 为 BC 的中点，将ACD 沿对角线 AC 折起，使 CDBC，连接 BD，得到如图 2 所示的三棱锥 DABC （1）证明：平面 ADE平面 BCD； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 4，求二面角 ABDC 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在三棱锥 DABC 中， CDBC，CDAC，ACBCC，CD平面 ABC， AE平面 ABC，AECD， ABAC，E 为 BC 中点，AEBC， BCCDC，AE平面 BCD， AE平面 ADE，平面 ADE平面 BCD （2）解：由（1）知DEC 是直线 DE 与平面 ABC 所成角， DEC= 4，CDCE1， 作 EFCD，交 BD 于点 F，由（1）知 EA，EB，EF 两两垂直， 以 E 为原点，EA，EB，EF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 E（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，D（0，1，1） ， 由题意得平面 BCD 的法向量 =（1，0，0） ， =（1，1，0） ， =（1，1，1） ， 设平面 ABD 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = + = 0 = + = 0 ，令 x1，解得 =（1，1，2） ， cos ， = | |= 6 6 ， 由图可知该二面角为锐角， 二面角 ABDC 的余弦值为 6 6
