1、人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册 6.1 6.1 平方根平方根( (第第3 3课时课时) ) 1.什么叫做算术平方根？什么叫做算术平方根？ 2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它 们的算术平方根们的算术平方根. . 100； 1； ; 0; 0.0025; (-3)2 ; 25. 36 121 导入新知导入新知 如如果一个果一个正数正数x的平方等于的平方等于a,那么这个正数那么这个正数x叫做叫做a的的 算术平方根算术平方根. （1）32= ，（，（3）2= ； （2） ， ； （3）0.82= ，（，（0.8）2= . 9
2、 0.64 0.64 3. 填空填空: 9 【讨论讨论】反反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 导入新知导入新知 2 2 3 4 9 - 2 2 3 4 9 1. 了解了解平方根平方根的的概念概念,掌握掌握平方根的平方根的特征特征. 2. 能正确能正确区分区分平方根与算术平方根的意义平方根与算术平方根的意义. 素养目标素养目标 3. 能利用开平方与平方互为逆运算的关系，能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些求某些非负数的平方根非负数的平方根. 3分米分米 要要做一张边长是做一张边长是3分米的方桌分米的方桌 面面，它，它的面积是多少？的面积
3、是多少？ 这个问题实际上就是求：这个问题实际上就是求： 答：答：9平方分平方分米米. 这是已知底数和指数，求幂的运这是已知底数和指数，求幂的运算算. 乘方运算乘方运算 2 3 =？ 探究新知探究新知 知识点 1 平方根的平方根的概念及性质概念及性质 ？分米？分米 反反过来，要做一张面积过来，要做一张面积是是9平平方分米的方桌面，它的方分米的方桌面，它的 边长是多少分米？边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个数，使实际上就是要求出一个数，使 它的平方等于它的平方等于9，即：，即： 显然，括号里应是显然，括号里应是3，但，但3不符不符 题意题意. 方桌面的方桌面的边长应是边长应是3分米分米. 9平
4、方分米平方分米 你还能得到什么问题呢？你还能得到什么问题呢？ 2 9() = 探究新知探究新知 问题问题: : 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于9，这个数是多少？，这个数是多少？ 想一想：想一想：3和和-3有什么特征？有什么特征？ 由于由于 ， 所以这个数是所以这个数是3或或-3. . 2 3=9 探究新知探究新知 3和和-3互为相反互为相反 数，会不会是数，会不会是 巧合呢巧合呢? ? ( (1) ) 4的平方等于的平方等于16，那么，那么16的算术平方根就的算术平方根就是是_. ( (2) ) 的的平方等于平方等于 ，那么那么 的的算术平方算术平方根就是根就是_. ( (3) )
5、展厅地面为正方形，其面积是展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边，则其边长为长为_m. 4 7 2 5 4 25 4 25 问题：问题：平方等于平方等于16， ，49的数还有吗？的数还有吗？ 4 25 2 5 探究新知探究新知 做一做一做做, ,想想一一想想: : 写出左圈和右圈中的“？”表示的数：写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 9 16 -11 11 0.6 0 没有没有 x2 x 8 -8 4 3 4 3 - - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ -4 -0.6 64 121 0.36 0 探究新知探究新知 填一填，想一填一填，想一想想: : 根据上述问题，即要找出一个数，
6、使它的平方等于给定的根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的 数数. .我们抽象出下述我们抽象出下述概念概念： 如如果果x是正数是正数a的一个平方根，那么的一个平方根，那么a的平方根有且只有两的平方根有且只有两 个：个：x与与-x. .即即平方根互为相反数平方根互为相反数. . 平方根的性质：平方根的性质： 例如：例如： ( (1) )2= =1，1的平方根为的平方根为1. . 探究新知探究新知 如果有一个数如果有一个数x，使得，使得x2=a，那么我们把，那么我们把x叫作叫作a的一个的一个平方平方 根根，也叫作，也叫作二次方根二次方根. . 1. 121的平方根是什么？的平方根是什么
7、？ 2. 0的平方根是什么？的平方根是什么？ 4. -9有没有平方根？为什么？有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负没有，因为一个数的平方不可能是负数数. . 探究新知探究新知 11 3. 的平方根是什么？的平方根是什么？ 49 16 4 7 通过这些题目的解答，你能发现什么通过这些题目的解答，你能发现什么? ? 问题问题：（1）正数有几个平方根？）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？有几个平方根？ （3）负数呢？）负数呢？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根负数没有平方根， 也没有算术平方根也没有算术平方根. . 探
8、究新知探究新知 有没有一个数的有没有一个数的 平方是负数？平方是负数？ 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 平平方根的性质：方根的性质： 1.正数正数有有两两个平方根，两个平方个平方根，两个平方根根互互为相反数为相反数. 2.0的平方根还是的平方根还是0. 3.负数没有负数没有平方根平方根. 例例 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根： ( (1) )100； ( (2) ) ； ( (3) )0.25. . 16 9 解解：( (1) ) (10)2100， 100的平方根是的平方根是10； ( (3) ) (0.5)20.25， 0.25的平方根是的平方根是0.5. ( (2) ) (
9、)2 ， 的平方根是的平方根是 ； 3 416 9 16 93 4 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 求平方根求平方根 x 8 -8 - 16 0.36 判断判断下列说法是否正确：下列说法是否正确： （1）0的平方根是的平方根是0； （ ） （2）1的平方根是的平方根是1； （ ） （3）-1的平方根是的平方根是-1; （ ） （4）0.01是是0.1的一个平方的一个平方根根. .（ ） 填表填表： 2 x 3 5 64 64 9 25 9 25 +4 -4 +0.6 -0.6 巩固练习巩固练习 3 5 根号根号 被开方数被开方数 2 a 根指数根指数 可以省略可以省略 合合起来，一个正
10、数起来，一个正数a的平方根就用的平方根就用“ ”“ ”表示，表示， （读作（读作“正、负根号正、负根号a”） a 一一个正数个正数a的正平方根，用的正平方根，用“ “ ”表示，（读作表示，（读作“根号根号 a”）. .又叫又叫a的算术平方根的算术平方根. .a的负平方根，用的负平方根，用“ “ ”表表 示，（读作示，（读作“负根号负根号a”）. . a a- 探究新知探究新知 知识点 2 平方根的读法和表示平方根的读法和表示 非负数非负数a的平方的平方根表示为：根表示为： 例如：例如： 442：， 5：， 25 36， 255 366 0 00. 00： 探究新知探究新知 5的平方根表示为的平
11、方根表示为 4的平方根表示为的平方根表示为 25 36 ： 的平方根表示为的平方根表示为 0的的平方根表示平方根表示为为: : 规定规定 0的平方根为的平方根为0. 例例 分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的平方根： 解解: : 由于由于 因此因此36的平方根是的平方根是6与与-6. . 36是正数是正数 （1）36 ; 有两个平方根有两个平方根 即即 36=6 . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用平方根的表示求平方根利用平方根的表示求平方根 , 2 636 （2） ; 25 9 （1）36 ; （3）1.21 . 有两个平方根有两个平方根 因此因此 的平方根是的平方根是 与与
12、 . . 5 3 25 9 5 3 - - 有两个平方根有两个平方根 （3）1.21. 因此因此1.21的平方根是的平方根是1.1与与-1.1. . 25 5 = . 93 即即 即即 1.21=1.1 . 探究新知探究新知 解解: : 由于由于 ， 2 525 39 解解: : 由由于于 ， 2 1 11 21. （2） ; 25 9 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根： （1）81； （2） ； （3）0.49. 解：解：( (1) ) (9)2=81， ( (3) )(0.7)2=0.49， 0.49的平方根为的平方根为0.7 81的平方根为的平方根为9 巩固练习巩固练习 即即 .
13、. 819 （2） 2 416 525 , 的平方根是的平方根是 ， 25 16 5 4 即即 . . 164 255 即即 . . 0.490.7 16 25 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算平方运算. . 知识点 3 平方与开方的关系平方与开方的关系 探究新知探究新知 +1 - -1 +2 - -2 +3 - -3 1 4 9 ？运算？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？是什么？ 求一个数求一个数的平方根的平方根的运算叫作的运算叫作开平
14、方开平方. . 探究新知探究新知 开平方与平方是什么关系？开平方与平方是什么关系？ a的平方根的平方根 底底 数数 幂幂 被开方数被开方数 ax 互为互为 逆运算逆运算 ax 2 指数指数 根号根号 已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数 开 平 方 运 算 开 平 方 运 算 平 方 运 算 平 方 运 算 探究新知探究新知 开平方开平方与与平方的对比平方的对比填空填空 正正 数数 与与 零零 任 何 数 任 何 数 2 a 2 幂幂 平平 方方 根根 开 方 开 方 平 方 平 方 运算运算 符号符号 适用适用 范围范围 运算结运算结 果名称果名称 性质
15、性质 正数有正数有 个平方根个平方根,它们是它们是 , 零的平方根是零的平方根是 , 负负数数 . 正数的平方是正数的平方是 数数; 零的平方是零的平方是 ; 负数的平方是负数的平方是 数数. 正正 正正 0 2 互为相反数互为相反数 0 没有平方根没有平方根 探究新知探究新知 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算包含关系：平方根包含算术平方根，算术术 平方平方根是平方根的一种根是平方根的一种. . 平方根与算术平方根的联系与区别：平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根只有非负数才有平方根和算术平方根. . 3. 0的平方根是的平方根是0，算术平方根也是，算术
16、平方根也是0. 区别：区别： 1.个个数不同：一个正数有两个平方根，数不同：一个正数有两个平方根， 但但只有一个算术平方根只有一个算术平方根. . 联系：联系： 探究新知探究新知 2.表表示法不同：平方根表示为：示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示而算术平方根表示为为 . ，a a 例例 求下列各式的值：求下列各式的值： 49 360 81 9 .； 解解：（1） ； 366 （2） ； 0.810.9 （3） . . 497 93 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 开平方的有关计算开平方的有关计算 （1） （2） （3） 下列下列各式有意义吗各式有意义吗？ 196 121 （3）
17、 ; _;) 3( 2 22 68_ 169 100 _ 13 10 310 求求下列各式的下列各式的值值. . )7(（4） . 巩固练习巩固练习 144 （1） ; 0225. 0（2） ; 有意义有意义 有意义有意义 有意义有意义 无意义无意义 1. 9的平方根是（的平方根是（ ） A3 B3 C 3 D9 2. 若若一个数的平方等于一个数的平方等于5，则这个数等于，则这个数等于 _ B 5 连接中考连接中考 1.下列说法正确的是下列说法正确的是_ -3是是9的平方根的平方根; 25的平方根是的平方根是5; -36的平方根是的平方根是-6; 平方根等于平方根等于0的数是的数是0; 64的
18、算术平方根是的算术平方根是8. B 2.下列说法不正确的是下列说法不正确的是_ A.0的平方根是的平方根是0 B. 的平方根是的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 2 2 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 3. 判判断下列说法是否正确断下列说法是否正确. . 正确正确. . （4）(-4)2的平方根是的平方根是-4. （1） 是是 的一个平方根；的一个平方根； 5 7 25 49 （2） 是是6的算术平方根的算术平方根； 6 （3） 的值是的值是4； 1
19、6 正确正确. . 不正确，不正确，是是 4. 不正确，是不正确，是 4. . 课堂检测课堂检测 4.求求下列各式的值：下列各式的值： 289（1） ; 0.0625（2） ; （3） . 121 64 课堂检测课堂检测 解解:（1） ; 28917 （2） ; - 0.0625-0.25 （3） . 12111 648 1.a的一个平方根是的一个平方根是3，则另一个平则另一个平方根是方根是 ，a= . 2.81的平方根是的平方根是_， 的算术平方根是的算术平方根是_ . 3.3a-2和和2a-3是一个正数的两个平方根是一个正数的两个平方根，则这两个平则这两个平 方根是方根是_和和_，这个数是
20、这个数是_. 81 -3 9 93 1 -1 1 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 一一个正数的两个平方根分别是个正数的两个平方根分别是2a1和和a4，求，求这个数这个数 解：解：由于一个正数的两个平方根是由于一个正数的两个平方根是2a1和和a4， 则有则有2a1a40，即，即3a30， 解解得得a1. 所以这个数为所以这个数为(2a1)2(21)29. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 平方根平方根 平方根的平方根的概念概念 开平方及相关开平方及相关运算运算 平方根的平方根的性质性质 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
