1、一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联 系. 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 1一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式 ，称为一元二次 不等式，其一般形式为 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0) 2一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式 ax2bxc 0(a0)或 ax2bxc0(a0) (2)求出相应的一元二次方程的根 (3)利用二次
2、函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集 提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于 取中间” 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0 (a0) 的根 有两相异实根 x1， x2(x10 (a0)的解集 x|xx2 x|xx1 R ax2bxc0)的解集 x|x1x0 的解集是，则不等式 x2 bxa0 的解集是( ) Ax|2x3 Bx|x2 或 x3 C x 1 3x0 的解集是， ax2bx10 的解是 x11 2和 x2 1 3，且 a0， 1 2 1 3 b a，
3、1 2 1 3 1 a， 解得 a6， b5. 则不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解得 x2 或 x3. 3不等式 0 x2x24 的解集是( ) Ax|2x1 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|2x1 或 2x3 D 原不等式等价于 x2x20 x2x24 x2x20 x2x60 x2x10 x3x20 x2或x1 2x3 2x1 或 2x3，故选 D 考点二 含参数的一元二次不等式 解含参不等式的分类讨论依据 典例 1 解关于 x 的不等式 (1)x2ax10(aR)； (2)ax2(a1)x10. 解 (1)a24. 当 a240，即2a2 时，原不等式无解 当 a240，即
4、a2 或 a2 时，方程 x2ax10 的两根为 x1 a a24 2 ，x2a a 24 2 ， 则原不等式的解集为 x a a24 2 xa a 24 2 . 综上所述，当2a2 时，原不等式无解 当 a2 或 a2 时，原不等式的解集为 x a a24 2 xa a 24 2 . (2)若 a0，原不等式等价于x10， 解得 x1. 若 a0，原不等式等价于 x1 a (x1)0， 解得 x1 a或 x1. 若 a0，原不等式等价于 x1 a (x1)0. 当 a1 时，1 a1， x1 a (x1)0 无解； 当 a1 时，1 a1，解 x1 a (x1)0， 得1 ax1； 当 0a
5、1 时，1 a1，解 x1 a (x1)0， 得 1x1 a. 综上所述，当 a0 时，解集为 x x1 a或x1 ； 当 a0 时，解集为x|x1； 当 0a1 时，解集为 x 1x1 a ； 当 a1 时，解集为； 当 a1 时，解集为 x 1 ax1 . 点评：(1)当判别式 能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根， 再讨论两根的大小，从而写出解集 (2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论 (3)含参数分类讨论问题最后要写综述 跟进训练 解关于 x 的不等式 12x2axa2(aR) 解 原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(
6、4xa)(3xa)0， 解得 x1a 4，x2 a 3. 当 a0 时，不等式的解集为 ，a 4 a 3， ；当 a0 时，不等式的 解集为(，0)(0，)； 当 a0 时，不等式的解集为 ，a 3 a 4， . 考点三 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)函数法(图象法) 设 f(x)ax2bxc(a0) f(x)0 在 xR 上恒成立a0 且 0； f(x)0 在 xR 上恒成立a0 且 0； 当a0时， f(x)0在x， 上恒成立 b 2a， f0 或 b 2a， 0 或 b 2a， f0； f(x)0 在 x，上恒成立 f0， f0； 当 a0 时， f(x
7、)0 在 x， 上恒成立 f0， f0； f(x)0 在 x， 上恒成立 b 2a， f0 或 b 2a， 0 或 b 2a， f0. (2)最值法 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转 化为求函数的最值问题 af(x)恒成立af(x)max， af(x)恒成立af(x)min. 在 R 上的恒成立问题 典例 21 若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立， 则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) C 当 a20，即 a2 时，不等式为40，对一切 xR 恒成立 当 a2 时，则 a20， 4a2216a20，
8、 即 a20， a24， 解得2a2. 所以实数 a 的取值范围是(2,2 点评：本题在求解中常因忽略“a20”的情形致误，只要二次项系数含参 数，必须讨论二次项系数为零的情况 在给定区间上的恒成立问题 典例 22 (1)若对任意的 x1,2，都有 x22xa0(a 为常数)，则 a 的取值范围是( ) A(，3 B(，0 C1，) D(，1 (2)已知函数 f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，则实数 a 的 取值范围是( ) A 1，5 4 B1,1 C(，1 D ，5 4 (1)A (2)C (1)法一(函数法)：令 f(x)x22xa，则由题意， 得 f112
9、21a0， f22222a0， 解得 a3，故选 A 法二(最值法)：当 x1,2时，不等式 x22xa0 恒成立等价于 ax2 2x 恒成立，则由题意，得 a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)2 1，则当 x1 时，(x22x)min3，所以 a3，故选 A (2)f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，即 2ax1 x在 x(0,2 上恒成立因为 x1 x2，当且仅当 x1 时取最小值 2，所以 2a2，即 a1.故 选 C 母题变迁 若将本例(1)改为“若存在 x1,2，使得 x22xa0(a 为常数)，试求 a 的取值范围” 解 由题意知 ax22
10、x 在 x1,2时有解 则 a(x22x)max，x1,2， 又x22x(x1)211，x1,2， a1， 即 a 的取值范围是(，1 点评：本例 T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂 跟进训练 1若不等式 2kx2kx3 80 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( ) A(3,0) B3,0) C3,0 D(3,0 D 当 k0 时，显然成立； 当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx3 80 对一切实数 x 都成立 则 k0， k242k 3 8 0， 解得3k0. 综上，满足不等式 2kx2kx3 80 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是( 3,0故选 D 2(2020 深圳中学模拟)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围为_ 1 2， 满足 1x0 恒成立，可 知 a0， a2x1 x2 2 1 4 1 x 1 2 2 ，满足 1x4 的一切 x 的值恒成立， 1 4 1 x1,2 1 4 1 x 1 2 2 0，1 2 ， 实数 a 的取值范围为 1 2， .
