1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在备考中一般为 23 个客 观题. 2.考查内容 (1)对向量的考查， 主要考查平面 向量的线性运算、坐标运算、向 量的平行与垂直、向量的数量积 及应用，难度为容易或中档. (2)高考主要考查复数的基本概 念、复数相等的充要条件以及复 数的加、减、乘、除四则运算， 其中复数的运算是高考的热点， 一般为选择题. 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 考试要求 1.了解向量的实际背景， 理解平面向量的概念和两个向量相等的 含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义. 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义
2、，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义 1向量的有关概念 (1)向量： 既有大小又有方向的量叫做向量， 向量的大小叫做向量的长度(或模) (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律： abba； 结合律： (ab)ca(b c
3、) 减法 求 a 与 b 的相反 向量b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 |a|a|； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时，a0 ( a)() a； ()aa a； (ab)ab 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 ba. 提醒：当 a0 时，定理中的实数 才唯一，否则不唯一 常用结论 1P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点OP 1 2(OA OB ) 2若 G 为ABC 的重心，则有 (1)GA GB G
4、C 0；(2)AG 1 3(AB AC ) 3首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 4对于起点相同、终点共线的三个向量OP ，OP1 ，OP2 (O 与 P1P2不共线)， 总有OP uOP1 vOP2 ，uv1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三 个向量，且系数和为 1. 5对于任意两个向量 a，b，都有： (1)|a|b|a b|a|b|； (2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反 ( ) (2)若向
5、量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上 ( ) (3)若 ab，bc，则 ac. ( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1.如图，D，E，F 分别是ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( ) AEF CD BAB 与DE 共线 CBD 与CD 是相反向量 DAE 1 2|AC | D AE 1 2AC ，故 D 错误 2已知下列各式： AB BC CA ； AB MB BO OM ； OA OB BO CO ； AB AC BD CD . 其中结果为零向量的个数为(
6、) A1 B2 C3 D4 B 中AB BC CA 0； 中AB MB BO OM AB 0AB； 中OA OB BO CO OA CO CA ；AB AC BD CD CB BC 0.故正确， 故选 B 3已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA a，OB b，则DC ，BC .(用 a，b 表示) ba ab 如图， DC AB OB OA ba， BC OC OB OA OB ab. 4设向量 a，b 不共线，向量 ab 与 a2b 共线，则实数 . 1 2 ab 与 a2b 共线， 存在实数 使得 ab(a2b), ， 21， 1 2， 1 2. 考点一 平面向量的
7、概念 解答与向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的 (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实 数，可以比较大小 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与 函数图象的平移混为一谈 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量 1给出下列四个命题： 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行 四边形”的充要条件； 若 ab，bc，则 ac； ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是( ) A
8、 B C D A 错误，a 与 b 的方向不明；正确，因为AB DC ，且 A，B，C，D 不 共线，所以 AB 綊 CD，故四边形 ABCD 为平行四边形，反之也成立；正确； 错误当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 2 设 a， b 都是非零向量， 下列四个条件中， 一定能使 a |a| b |b|0 成立的是( ) Aa2b Bab Ca1 3b Dab C 由 a |a| b |b|0可知a与b是共线且方向相反的向量， 结合选项可知C正确 点评：向量的概念辨析问题要立足向量的两个要素： 大小；方向；
9、同时关注一个特殊向量 0. 考点二 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、 相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 向量的线性运算 典例 11 (1)(2018 全国卷)在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则EB ( ) A3 4AB 1 4AC B1 4AB 3 4AC C3 4AB 1 4AC D1 4AB 3 4AC (2)(2020 长春模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为 B
10、C 边 上一点，BC 3EC ，F 为 AE 的中点，则BF ( ) A1 3AB 2 3AD B2 3AB 1 3AD C1 3AB 2 3AD D2 3AB 1 3AD (1)A (2)B (1)EB ABAEAB1 2AD AB 1 2 1 2(AB AC )3 4AB 1 4AC ， 故选 A (2)根据平面向量的运算法则得BF 1 2BA 1 2BE ， BE 2 3BC ，BC AC AB . 因为AC AD DC ，DC 1 2AB ， 所以BF 1 2AB 1 3 AD 1 2AB AB 2 3AB 1 3AD ，故选 B 点评：向量的线性运算问题要瞄准结论如本例(1)待求的结
11、论，其向量均是 从端点 A 出发的，故首先将EB 分解为EBABAE，然后借助几何关系及向量加 法的平行四边形法则求解 根据向量线性运算求参数 典例 12 (1)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若 AB xAEyAF(x，yR)，则 xy . (2)已知 D 为ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足PA BPCP 0，AP PD ， 则实数 的值为 (1)2 (2)2 (1)由题意得AE ABBEAB1 2AD ，AF AD DF AD 1 2 AB ， 因为AB xAEyAF， 所以AB xy 2 AB x 2y AD ， 所以 xy 21， x 2y0，
12、 解得 x4 3， y2 3， 所以 xy2. (2)因为 D 为边 BC 的中点，所以PB PC 2PD ， 又PA BPCP 0， 所以PA PBPC 2PD ， 所以AP 2PD ， 所以 2. 点评：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运 算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的 值 跟进训练 1在ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则CB ( ) A2CD CA BCD 2CA C2CD CA DCD 2CA C 在ABC 中，D 是 AB 边上的中点， 则CB CD DB CD AD CD (AC CD )2CD CA .故选
13、C 2在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC ，BN NC .若MN xAB yAC ，则 x ；y . 1 2 1 6 MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2(AB AC ) 1 2AB 1 6AC xAB yAC ， x1 2，y 1 6. 考点三 共线向量定理的应用 共线向量定理的三个应用 典例 2 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 解 (1)证明：AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)， BD BC CD 2a8b3
14、(ab) 2a8b3a3b5(ab)5AB . AB ，BD 共线 又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)kab 和 akb 共线， 存在实数 ，使 kab(akb)， 即 kabakb，(k)a(k1)b. a，b 是两个不共线的非零向量， kk10， k210，k 1. 点评：证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 跟进训练 1已知向量 a 与 b 不共线，AB amb，AC nab(m，nR)，则AB 与AC 共 线的条件是( ) Amn0 Bmn0 Cmn10 Dmn10 D 由AB amb
15、，AC nab(m，nR)共线，得 amb(nab)(R)， 即 1n， m， 所以 mn10. 2.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交 AB，AC 所在直线于不同的两点 M，N，若AB mAM ，AC nAN ，则 mn 的值为( ) A1 B2 C3 D4 B 法一：连接 AO， 则AO 1 2(AB AC )m 2AM n 2AN ， 因为 M，O，N 三点共线， 所以m 2 n 21， 所以 mn2. 法二：连接 AO.由于 O 为 BC 的中点，故AO 1 2(AB AC )， MO AO AM 1 2(AB AC ) 1 mAB 1 2 1 m AB 1 2AC ， 同理，NO 1 2AB 1 2 1 n AC . 由于向量MO ，NO 共线，故存在实数 使得MO NO ，即 1 2 1 m AB 1 2AC 1 2AB 1 2 1 n AC . 由于AB ，AC 不共线，故得1 2 1 m 1 2 且 1 2 1 2 1 n ， 消去 ，得(m2)(n2)mn， 化简即得 mn2.
