1、随机事件的概率随机事件的概率 考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性， 了解概率的意 义及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式 1事件的相关概念 2频率与概率的关系 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率 f n(A) nA n 会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称 为 A 的概率 3事件的关系与运算 名称 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时 称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等事件 若 BA，且 AB，则称事件
2、A 与事件 B 相 等 AB 并(和)事件 若某事件发生当且仅当事件 A 或事件 B 发 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件) AB(或 AB) 交(积)事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 BAB(或 AB) 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事 件(或积事件) 互斥事件 若 AB 为不可能事件， 则称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件， 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB且 AB U (U 为全集) 4概率的基本性质 (1)任何事件 A 的概率都在0,1内，即 0P(A)1，不可能事件
3、的概率为 0， 必然事件 的概率为 1. (2)如果事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (3)事件 A 与它的对立事件 A 的概率满足 P(A)P( A )1. 常用结论 如果事件 A1，A2，An两两互斥，则称这 n 个事件互斥，其概率有如下公 式：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的 ( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) (3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生 ( ) (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 ( ) 答案 (1) (2
4、) (3) (4) 二、教材习题衍生 1 一个人打靶时连续射击两次， 事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶” 2容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间10,40)的频率为( ) A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 B 由表知10,40)的频数为 2349， 所以样本数据落在区间10,40)的频率为 9 200.45. 3
5、如果从不包括大、小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率 是1 4，取到梅花的概率是 1 4，则取到红色牌的概率是 1 2 P1 1 4 1 4 1 2. 4一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下： 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 m 2 883 4 970 6 994 8 892 这一地区男婴出生的概率约是 (保留四位小数) 0.517 3 男婴出生的频率依次约是：0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些 频率非常接近 0.517 3，因此
6、这一地区男婴出生的概率约为 0.517 3. 考点一 事件关系的判断 判断互斥、对立事件的两种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两 个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件， 对立事件一定是互斥事件 (2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件 互斥 事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果 组成的集合的补集 1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件： 至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球； 至少有 1 个黄球与都是黄球； 恰有 1 个白球与
7、恰有 1 个黄球； 恰有 1 个白球与都是黄球 其中互斥而不对立的事件共有( ) A0 组 B1 组 C2 组 D3 组 B 中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生， 如恰有 1 个白球和 1 个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有 1 个黄球”说 明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球，则两个事件不互斥中“恰有 1 个 白球”与“恰有 1 个黄球”，都是指有 1 个白球和 1 个黄球，因此两个事件是同 一事件中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件， 但不是对立事件，故选 B 2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任
8、取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10，那么概率是 7 10的事件是( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 A “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是 联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件 3口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出两个球， 事件 A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C “取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出 的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为 A 与 D 为对立事件； B 与 C 是
9、互斥事件； C 与 E 是对立事件； P(CE) 1；P(B)P(C) 当取出的两个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的 两个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；显然 A 与 D 是对立事 件，正确；CE 为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)4 5，P(C) 3 5，不 正确 点评：判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先借助枚举法分析 每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判断 考点二 随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值通常用概率来反映随机事件发 生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的
10、估计值 2随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 典例 1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低 于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果 最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年 六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最
11、高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天 的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25， 由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为21636 90 0.6，所以这种酸奶一天的 需求量不超过 300 瓶的概率的
12、估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100. 所以，Y 的所有可能值为 900,300，100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的 频率为362574 90 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 点评：求解本例第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天 销售这种酸奶的利润 Y 与气温变化的关系
13、 跟进训练 1我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人 送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这 批米内夹谷约为( ) A134 石 B169 石 C338 石 D1 365 石 B 28 254 1 534169(石) 2某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人， 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次
14、数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计 值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内 出险次数小于 2 的频率为6050 200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年 内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为
15、3030 200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30a0.251.25a0.15 1.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 考点三 互斥事件与对立事件的概率 复杂事件的概率的两种求法 (1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率 求和公式计算 (2)间接求法，先求此事件的对立事件
16、的概率，再用公式 P(A)1P( A )求解 (正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便 典例 2 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿 球从中随机取出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 解 法一：(利用互斥事件求概率) 记事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球， A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球， 则 P(A1) 5 12，P(A2) 4 12 1 3，P(A3) 2 12 1 6，P(A4) 1 12，根据题意知，事件 A1，A2，A3，A
17、4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出 1 球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2) 5 12 4 12 3 4. (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 5 12 4 12 2 12 11 12. 法二： (利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件 为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A2的对立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球 或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 2 12 1 12 3 4. (2)因为A1A2A3的对立事件为A4， 所
18、以P(A1A2A3)1P(A4)1 1 12 11 12. 点评：求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已 知概率的事件表示出来 跟进训练 1若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金 支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( ) A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 B 由题意知不用现金支付的概率为 10.450.150.4. 2某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券 为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特 等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A
19、，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解 (1)P(A) 1 1 000， P(B) 10 1 000 1 100，P(C) 50 1 000 1 20. 故事件 A，B，C 的概率分别为 1 1 000， 1 100， 1 20. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事 件为 M，则 MABC A，B，C 两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 11050 1 000 61 1 000， 故 1 张奖券的中奖概率约为 61 1 000. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N， 则事件 N 与“1 张奖券 中特等奖或中一等奖”为对立事件， P(N)1P(AB)1 1 1 000 1 100 989 1 000， 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000.
