2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1 （5 分）命题“xR ， 2 10 xx ”的否定是( ) AxR ， 2 1 0 xx BxR ， 2 10 xx CxR ， 2 1 0 xx DxR ， 2 10 xx 2 （5 分）已知

2、数列 n a是等差数列，若 357 15aaa， 82 12aa，则 10 a等于( ) A10 B12 C15 D18 3 （5 分）若m，n都是正整数，则mnmn成立的充要条件是( ) A2mn B1mn C1m 且1n Dm，n至少有一个为 1 4 （5 分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示为了 保证安全， 要求行驶车辆顶部 （设为平顶） 与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m， 若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为( ) A3.3m B3.5m C3.8m D4.5m 5（5 分） 在三棱锥PABC中， 已知N是PC的中点， 且

3、( , ,)BNxAByACzAP x y zR， 则( ) Azxy Bxyz C1xyz D0 xyz 第 2 页（共 22 页） 6 （5 分）若抛物线 2 12xy的焦点与双曲线 22 2 1 5 yx a 的一个焦点重合，则此双曲线的渐 近线方程为( ) A 5 2 yx B 5 4 yx C 2 5 5 yx D 4 5 yx 7 （5 分）已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列令 2 1 n nn b a a ，数列 n b的前n项和为 n T，若对于 * nN ，不等式 n T恒成立，则实数的 取值范围是( ) A 1 3

4、 B 1 5 C 1 5 D0 8 （5 分）若椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上的点 5 (2, ) 3 到右准线的距离为 5 2 ，过点(0,1)M的 直线l与C交于两点A，B，且 2 3 AMMB，则l的斜率为( ) A 1 3 B 1 3 C 1 2 D 1 9 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）下

5、列命题正确的是( ) A若ab，则 11 ab B若acbc，则ab C若ab，cd，则adbc D若ab，则ab 10 （5 分）如图，已知 1111 ABCDABC D为正方体，E，F分别是BC， 1 AC的中点，则( ) A 1111 ()0ACABA A B 22 1111 ()6B AB BBCCD C向量 1 A B与向量 1 AD的夹角是60 D异面直线EF与 1 DD所成的角为45 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产A企业第一年年初有 资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长

6、率 与第一年的相同集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元(800)t ， 并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为 n a万 元则( ) A 2 2800at B 1 7 5 nn aat C 1nn aa D当400t 时， 3 3800a 12 （5 分）我们把离心率为 51 2 的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为 51 2 的 双曲线称为黄金双曲线，则( ) A曲线 22 1 351 xy 是黄金双曲线 B如果双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，那么 2 (bac c为半焦距） C如果双曲线 22 22 1

7、(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，那么右焦点 2 F到一条渐近线的距 离等于焦距的四分之一 D过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点 2 F且垂直于实轴的直线l交C于M、N 两点，O为坐标原点，若90MON，则双曲线C是黄金双曲线 三、 填空题： 本大题共三、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 请把答案填写在答题卡相应位置上分 请把答案填写在答题卡相应位置上 13 （5 分）已知空间向量(23am，2n ，3)，(21bm，32n ，6)，若/ /ab，则 2mn 14 （5 分）某公司建造一间背面靠墙的

8、房屋，地面是一个矩形，面积为 2 60m，房屋正面每 平方米的造价为 1500 元，房屋侧面每平方米的造价为 1000 元，屋顶的造价为 6000 元如 果墙高为3m， 且不计房屋背面和地面的费用， 那么把地面矩形较长的一边设计为 m时， 能使房屋的总造价最低（结果用根式表示） 15 （5 分）已知点(2,4)P在抛物线 2 :2C ypx上，过其焦点F且倾斜角为45的直线l与C 交于M，N两点，则PMN的面积为 16 （5 分）将正奇数按如图所示的规律排列： 第 4 页（共 22 页） 则 2021 在第 行，从左向右第 个数 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共

9、70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设mR，命题 2 :043pxx，命题:(1)(3)0qxmxm （1）若p为真命题，求实数x的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 18 （12 分）已知函数 2 ( )(4)3 ()f xxaxa aR （1）解关于x的不等式( )0f xx； （2）若对2x ，6，都有( )10f xa 成立，求a的最大值 19 （12 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，若 4 a， 6 a的等比

10、中项是 81，且 24 24 11 81()aa aa ，数列 n b的前n项和 n S满足 2 432 nnn Sbb，且0 n b （1）求 n a的通项公式； （2）求证： n b是等差数列，并求数列 n b的前n项和 20 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦距为2 5，坐标原点O到直线BD的 距离是 3 13 13 ，其中B，D的坐标分别为(0, )b， 3 (,0) 2 （1）求双曲线C的方程； （2）是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使得BMN构成以B为顶点 的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由 2

11、1 （12 分）如图，已知ABCD为正方形，GD 平面ABCD，/ /ADEG，且2ADEG， / /GDCF且2GDFC，2DADG （1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值； （2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界） ，当/ /MN平面BEF时， 求线段MN的最小值 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 且 过定点(3,1)D （1）求椭圆C的方程； （2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示） 线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；

12、若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点， 记M，N的横坐标为m，n， 求证：mn 为定值 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1 （5 分）命题“xR ， 2 10 xx ”的否定是( ) Ax

13、R ， 2 1 0 xx BxR ， 2 10 xx CxR ， 2 1 0 xx DxR ， 2 10 xx 【解答】解：命题“xR ， 2 10 xx ”是全称命题，否定时将量词对任意的xR变 为xR ，再将不等号变为即可 故选：A 2 （5 分）已知数列 n a是等差数列，若 357 15aaa， 82 12aa，则 10 a等于( ) A10 B12 C15 D18 【解答】解： 357 15aaa， 则 5 315a ， 则 5 5a ， 82 12aa， 612d， 解得2d ， 105 551015aad， 故选：C 3 （5 分）若m，n都是正整数，则mnmn成立的充要条件是(

14、 ) A2mn B1mn C1m 且1n Dm，n至少有一个为 1 【解答】解：因为mnmn， 所以(1)(1)1mn 而m，*nN，所以(1)(1)mnZ，所以(1)(1)0mn 所以1m 或1n 故选：D 第 7 页（共 22 页） 4 （5 分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示为了 保证安全， 要求行驶车辆顶部 （设为平顶） 与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m， 若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为( ) A3.3m B3.5m C3.8m D4.5m 【解答】解：如图所示建立直角坐标系， 设抛物线的方程为： 2 2xpy ，

15、 点C的纵坐标坐标为2.47.24.8 ， 横坐标为9.624.8， 所以点C的坐标为(4.8, 4.8)，代入抛物线方程可得： 2.4p ，所以抛物线方程为： 2 4.8xy ， 在点B时，3.6x ，则2.7y ， 则限制高度为0.72.77.2h ， 解得3.8h ， 故选：C 5（5 分） 在三棱锥PABC中， 已知N是PC的中点， 且( , ,)BNxAByACzAP x y zR， 则( ) 第 8 页（共 22 页） Azxy Bxyz C1xyz D0 xyz 【解答】解：在三棱锥PABC中，N是PC的中点， BNBAACCN 1 2 ABACCP 1 () 2 ABACAPA

16、C 11 22 ABACAP ， ( , ,)BNxAByACzAP x y zR， 1x ， 1 2 y ， 1 2 z ， 0 xyz 故选：D 6 （5 分）若抛物线 2 12xy的焦点与双曲线 22 2 1 5 yx a 的一个焦点重合，则此双曲线的渐 近线方程为( ) A 5 2 yx B 5 4 yx C 2 5 5 yx D 4 5 yx 【解答】 解： 抛物线 2 12xy的焦点与双曲线 22 2 1 5 yx a 的一个焦点重合， 可得焦点坐标(0,3)， 所以 2 59a ，解得2a ， 所以双曲线的渐近线方程为： 2 5 5 yx 故选：C 第 9 页（共 22 页） 7

17、 （5 分）已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列令 2 1 n nn b a a ，数列 n b的前n项和为 n T，若对于 * nN ，不等式 n T恒成立，则实数的 取值范围是( ) A 1 3 B 1 5 C 1 5 D0 【解答】解：由题意，可知 11 Sa， 21 22Sa， 411 43 424(3) 2 Saa ， 1 S， 2 S， 4 S成等比数列， 2 214 SS S，即 2 111 (22)4 (3)aa a， 解得 1 1a ， 故12(1)21 n ann ，*nN， 2 11111 () (21)(23)4

18、 2123 n nn b a annnn ， 则 1231nnn Tbbbbb 11111111111111 (1)()()()() 454374594232142123nnnn 1111111111 (1) 45375923212123nnnn 1111 (1) 432123nn 11 3(21)(23) n nn 1 3 ， 对于 * nN ，不等式 n T恒成立， 1 3 故选：A 8 （5 分）若椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上的点 5 (2, ) 3 到右准线的距离为 5 2 ，过点(0,1)M的 直线l与C交于两点A，B，且 2 3 AMMB，则l的斜率为( )

19、 A 1 3 B 1 3 C 1 2 D 1 9 【解答】解：由已知可知椭圆的右准线方程为： 2 a x c ，所以 2 5 2 2 a c ，即 2 9 4 c a ， 第 10 页（共 22 页） 又由已知可得： 22 425 1 9ab ，且 222 abc， 联立方程解得： 2 9a ， 2 5b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 95 xy ， 当l的斜率不存在时，l与x轴垂直，方程为0 x ，不符题意， 当直线l的斜率存在时，设l的方程为：1yxk， 联立方程 22 1 1 95 yx xy k ，消去y可得： 222 (59)18360 x xxkk， 设 1 (A x， 1)

20、y， 2 (B x， 2) y，则 12 2 18 59 xx k k ， 12 2 36 59 x x k ， 由 2 3 AMMB可得： 1 (x， 122 2 1)(,1) 3 yxy ，则 12 2 3 xx ， 所以 2 2 118 359 x k k ， 2 2 2 236 359 x k ，联立解得 1 3 k， 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选

21、对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）下列命题正确的是( ) A若ab，则 11 ab B若acbc，则ab C若ab，cd，则adbc D若ab，则ab 【解答】解：A由0ab，取2a ，1b ，则 11 ab 不成立，故A错误； B当0c 时，由acbc，可得ab，故B错误； C当cd时，dc ，又ab，adbc，故C正确； Dab，由不等式的基本性质，可知ab，故D正确 故选：CD 10 （5 分）如图，已知 1111 ABCDABC D为正方体，E，F分别是BC， 1 AC的中点，则( ) 第 11 页（共 22 页） A 1111 ()0ACABA A B 22 1111

22、()6B AB BBCCD C向量 1 A B与向量 1 AD的夹角是60 D异面直线EF与 1 DD所成的角为45 【解答】解：在正方体 1111 ABCDABC D中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD， 1 AA为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2，则(0A，0，0)， 1(0 A，0，2)，(2B，0，0)， 1(2 B，0，2)，(2C， 2，0)，(0D，2，0)， 1(0 D，2，2)， 所以 11111 (2,2, 2),(2,0,2)ACABA AAB， 故 111111 ()440ACABA AAC AB，故选项A正确； 又 111111 ( 2,

23、0, 2)(0,2, 2)( 2,2, 4)B AB BBCB ABC ， 又( 2,0,0)CD ， 所以 2 1111 ()441624B AB BBC， 2 624CD ， 则 22 1111 ()6B AB BBCCD，故选项B正确； 11 (2,0, 2),(0,2,2)ABAD， 所以 11 11 11 41 cos, 2|4444 AB AD AB AD ABAD ， 因此 1 A B与 1 AD的夹角为120，故选项C错误； 因为E，F分别是BC， 1 AC的中点， 所以(2E，1，0)，(1F，1，1)， 则 1 ( 1,0,1),(0,0,2)EFDD ， 第 12 页（共

24、 22 页） 所以 1 1 1 22 cos, 2|1 12 EF DD EF DD EFDD ， 又异面直线的夹角大于0小于等于90， 所以异面直线EF与 1 DD所成的角为45，故选项D正确； 故选：ABD 11 （5 分）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产A企业第一年年初有 资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元(800)t ， 并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为 n a万 元则( ) A 2 2800at B 1 7

25、5 nn aat C 1nn aa D当400t 时， 3 3800a 【解答】解：第一年年底剩余资金 1 2000(140%)2800att ， 第二年年底剩余资金 211 712 (140%)3920 55 aatatt ， 故选项A错误； 第三年年底剩余资金 322 7109 (140%)5488 525 aatatt ， 所以第1n 年年底剩余资金为 1 7 (140%) 5 nnn aatat ， 故选项B正确； 第 13 页（共 22 页） 因为 2 122 77 777 ()( ) 55 555 nnnn aatattatt 122 1 7777 ( )1( )( ) 5555

26、nn at 1 1 7 1( ) 7 5 ( )(2800) 7 5 1 5 n n t t 11 757 ( )(2800)( )1 525 nn t t 1 775 ( )(2800) 522 n tt ， 所以 1 72 55 nnnnn aaataat 1 2775 ( )(2800) 5522 n tt t 1 2 77 ( )(2800) 5 52 n t ， 因为800t ， 所以 7 28000 2 t ， 所以 1 1 2 77 ( )(2800)0 5 52 n nn t aa ，即 1nn aa ， 故选项C正确； 当400t 时， 3 109109400 5480548

27、837443800 2525 t a ， 故选项D错误 故选：BC 12 （5 分）我们把离心率为 51 2 的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为 51 2 的 双曲线称为黄金双曲线，则( ) A曲线 22 1 351 xy 是黄金双曲线 B如果双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，那么 2 (bac c为半焦距） C如果双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，那么右焦点 2 F到一条渐近线的距 离等于焦距的四分之一 D过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点 2 F且垂直于实轴的直线l交C于M、N 两点，O为

28、坐标原点，若90MON，则双曲线C是黄金双曲线 第 14 页（共 22 页） 【解答】 解： 对于A， 曲线 22 1 351 xy 为双曲线的方程， 且 2 3a ， 2 15b ， 2 45c ， 则 2 45 3 e ，可得 4551 32 e ，故A错误； 对于B，如果双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，则 51 2 e ， 可得 2 10ee ，即为 2 2 10 cc aa ，即 22 0caca，即 2 bac，故B正确； 对于C，如果双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是黄金双曲线，可得 2 bac， 那么右焦点 2 F到一条渐近线

29、0bxay的距离等于 22 bc b ab ， 若 1 2 bc，可得4ca，这与 51 2 c e a 矛盾，故C错误； 对于D，设 2( ,0) F c，令xc，可得 2 ( ,) b M c a ， 2 ( ,) b N c a ， 若90MON，可得 4 2 2 0 b c a ，可得 2 bac，由选项B可得D正确， 故选：BD 三、 填空题： 本大题共三、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 请把答案填写在答题卡相应位置上分 请把答案填写在答题卡相应位置上 13 （5 分）已知空间向量(23am，2n ，3)，(21bm，32n ，

30、6)，若/ /ab，则 2mn 13 【解答】解：空间向量(23am，2n ，3)，(21bm，32n ，6)，/ /ab， 2323 21326 mn mn ， 解得 7 2 m ，6n ， 27613mn 故答案为：13 14 （5 分）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为 2 60m，房屋正面每 平方米的造价为 1500 元，房屋侧面每平方米的造价为 1000 元，屋顶的造价为 6000 元如 果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为 4 5 m时，能使房屋的总造价最低（结果用根式表示） 【解答】解：设底面的长为xm，宽为ym，则60 xy

31、 ， 设房屋总造价为( )f x， 第 15 页（共 22 页） 则 60360000 ( )315002 31000600045006000f xxx xx 360000 2 4500600036000 56000 x x （元) 当且仅当 360000 4500 x x ，即4 5xm时，上式等号成立，此时 60 3 5 4 5 ym 故把地面矩形较长的一边设计为4 5m时，能使房屋的总造价最低 故答案为：4 5 15 （5 分）已知点(2,4)P在抛物线 2 :2C ypx上，过其焦点F且倾斜角为45的直线l与C 交于M，N两点，则PMN的面积为 16 2 【解答】解：把点(2,4)P代

32、入抛物线方程可得：1622p，所以4p ， 则抛物线方程为： 2 8yx， 所以抛物线的焦点坐标为(2,0)F，直线l的斜率为tan451 k， 所以直线l的方程为：2yx即2xy，代入抛物线方程可得： 2 8160yy，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12 8yy， 12 16y y ，所以 222 1212 |1( 1)()416MNyyy y ， 而点P到直线l的距离为 | 4| 2 2 1 1 d ， 所以三角形PMN的面积为 11 |2 21616 2 22 SdMN ， 故答案为：16 2 16 （5 分）将正奇数按如图所示的规律排列： 则 2021

33、 在第 32 行，从左向右第 个数 【解答】 解： 由题意知， 第一行有 1 个奇数， 第二行有 3 个奇数，第n行有21n 个奇数， 则前n行共有正奇数 2 13521nn 个， 所以第n行的最后一个正奇数为 2 21n ， 当31n 时，第 31 行的最后一个正奇数为 1921 第 16 页（共 22 页） 当32n 时，第 32 行的最后一个正奇数为 2047， 所以 2021 在第 32 行， 前 31 行共有 2 31961个正奇数，2021 是第 1011 个正奇数， 101196150， 所以 2021 在第 32 行，从左向右第 50 个数 四、解答题：本大题共四、解答题：本大

34、题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设mR，命题 2 :043pxx，命题:(1)(3)0qxmxm （1）若p为真命题，求实数x的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得p为真命题时， 2 2 40 43 x xx ， 解得 22 14 xx x 或 ，即24x， 所以实数x的取值范围为(2,4)； （2）由（1）得:24px，由命题q得13mxm ， 因为p是q的充分不必

35、要条件， 所以 3 4 1 2 m m ，且等号不同时成立， 解得：13m剟， 故实数m的取值范围为1，3 18 （12 分）已知函数 2 ( )(4)3 ()f xxaxa aR （1）解关于x的不等式( )0f xx； （2）若对2x ，6，都有( )10f xa 成立，求a的最大值 【解答】解： （1）( )0f xx即为 2 (3)30 xaxa， 可得(3)()0 xxa， 当3a 时， 2 (3)0 x ，可得x； 当3a 时，解得3xa； 第 17 页（共 22 页） 当3a 时，解得3ax 所以3a 时，解集为；3a 时，解集为( ,3)a；3a 时，解集为(3, )a； （2

36、）2x ，6，都有( )10f xa 成立， 可得 2 (4)310 xaxa a，即 2 (2)410a xxx对2x，6恒成立， 可令2(04)txt剟， 当2x 即0t 时，原不等式显然成立； 当04t 时， 2 (2)4(2)10attt，即 6 a t t 对04t 恒成立， 由 6 2 6t t ，当且仅当6(0t ，4时，取得等号， 所以 6 t t 的最小值为2 6， 则2 6a，即a的最大值为2 6 19 （12 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，若 4 a， 6 a的等比中项是 81，且 24 24 11 81()aa aa ，数列 n b的前n项和 n S满足 2

37、 432 nnn Sbb，且0 n b （1）求 n a的通项公式； （2）求证： n b是等差数列，并求数列 n b的前n项和 【解答】解： （1）设各项均为正数的等比数列 n a的公比为q，0q ， 由 4 a， 6 a的等比中项是 81，且 24 24 11 81()aa aa ， 可得 22 465 81a aa，解得 5 81a ， 又 24 24 2424 11 81()81 aa aa aaa a ， 由 2 0a ， 4 0a ，可得 24 81a a ，即 2 3 81a ，即有 3 9a ， 则 25 3 9 a q a ，解得3q （负的舍去） ， 1 1a ， 所以 3

38、1 9 33 nn n a ，*nN； （2）证明：数列 n b的前n项和 n S满足 2 432 nnn Sbb，且0 n b ， 可得1n 时， 2 1111 43432bSbb，解得 1 3( 1b 舍去） ， 当2n时， 2 111 432 nnn Sbb ，又 2 432 nnn Sbb， 第 18 页（共 22 页） 两式相减可得 22 111 44422 nnnnnnn SSbbbbb ， 即为 111 2()()() nnnnnn bbbbbb ， 由于0 n b ，可得 1 2 nn bb ， 则 n b是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 所以数列 n b的前n项和为 2

39、 1 3(1)22 2 nn nnn 20 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦距为2 5，坐标原点O到直线BD的 距离是 3 13 13 ，其中B，D的坐标分别为(0, )b， 3 (,0) 2 （1）求双曲线C的方程； （2）是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使得BMN构成以B为顶点 的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题知，22 5c ，5c ， 因为B，D的坐标分别为(0, )b， 3 (,0) 2 直线BD的方程为 3 2 b ybx，即2330bxyb， 原点O到直线BD的距离

40、 2 |3 |13 13 13 49 b d b ， 解得 2 1b ， 222 5 14acb ， 所以双曲线的方程为 2 2 1 4 x y （2）由（1）知B点坐标为(0,1)， 设直线l为 3 () 2 yxk， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 由 2 2 3 () 2 1 4 yx x y k ，得 2222 (14)12(94)0 xxkkk， 因直线l与双曲线有两个交点，所以 2 140k， 所以 2 12 2 (94) 14 x x k k ， 2 12 2 12 14 xx k k ， 第 19 页（共 22 页） 2 1212 22 123 (3)(

41、3) 1414 yyxx kk kk kk ， 要使得MBN成以B为顶点的等腰三角形，则| |BMBN， 取MN中点E，点E坐标为 12 ( 2 xx ， 12) 2 yy ，即 2 2 6 (1 4 k k ， 2 3 ) 28 k k ， 2 2 2 3 1 1 28 6 14 BE k k k kk k ，即 2 2 13(28) 26 kk kk ，解得 1 8 k或2 k， 所以直线l的方程为23yx 或 13 816 yx 21 （12 分）如图，已知ABCD为正方形，GD 平面ABCD，/ /ADEG，且2ADEG， / /GDCF且2GDFC，2DADG （1）求平面BEF与平

42、面CDGF所成二面角的余弦值； （2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界） ，当/ /MN平面BEF时， 求线段MN的最小值 【解答】解： （1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0D，0，0)，(0C，2，0)，(2B，2，0)，(2A，0，0)，(0G，0，2)，(0F，2，1)， (1E，0，2)， 则( 1, 2,2),(1, 2,1)BEFE ，(2,0,0)DA ， 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z， 则有 220 20 xyz xyz ， 令2x ，则3y ，4z ， 所以(2,3,4)n ， 而平面CDGF的法向量为(2,0,0)DA ， 设

43、平面BEF与平面CDGF所成二面角为，显然二面角的平面角为锐角， 第 20 页（共 22 页） 则有 222 |42 29 cos 29| 2 234 n DA nDA ； （2）设(N x，y，0)，x，0y，2， 根据题意可得 3 (0,1, ) 2 M， 所以 3 ( ,1,) 2 MNx y， 因为/ /MN平面BEF， 所以0MN n，即2390 xy， 所以 222 9133147 (1) 4422 MNxyyy， 又因为函数 2 131347 422 yxx，其对称轴为 31 2 13 x ，图象开口向上， 所以函数 2 131347 422 yxx在0，2上单调递减， 故当2y

44、 时，MN有最小值为 22 2 ，此时 3 ( ,2,0) 2 N， 所以线段MN的最小值为 22 2 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 且 过定点(3,1)D （1）求椭圆C的方程； （2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示） 线段AB的长度是否有最大值？并说明理由； 若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点， 记M，N的横坐标为m，n， 求证：mn 为定值 第 21 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由题意可得 22 222 6 3 31 1 c e a ab cab ，解得： 2

45、6a ， 2 2b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 62 xy ； （2）由(3D ，1)可得直线OD的斜率为 3 3 ， 由题意设直线AB的方程为： 3 3 yxm ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立直线AB与椭圆的方程 22 3 3 1 62 yxm xy ，整理可得： 22 22 3360 xmxm， 22 128(36)0mm，可得： 2 4m ，即22m ， 且 12 3xxm， 2 12 36 2 m x x ， 所以弦长 22222 1212 322 |1()()43612312 333 ABxxx xmmm ， 当0m 时，弦长|AB的值最大，

46、且为 2 124 3 ， 所以线段AB的长度有最大值 4； 证明：直线DA的方程为： 1 1 1 1(3) 3 y yx x ，令0y ，则 11 1 3 1 xy x y ， 所以可得 11 1 3 ( 1 xy M y ，0)， 同理可得 22 2 3 ( 1 xy N y ，0)， 第 22 页（共 22 页） 所以由题意可得 1122 12 33 () 11 xyxy mn yy 112221 12 (3)(1)(3)(1) (1)(1) xyyxyy yy 1221121212 1212 2 3()3() ()1 x yx yy yxxyy y yyy ， 而 11 3 3 yxm ， 22 3 3 yxm ， 所以 1212 33 ()232 33 yyxxmmmm ， 222 22 121212 131 3632 ()31 3332322 mmm y yx xm xxmmmm ， 2 2 122112211212 332 32 3 36 ()()()32 3 33332 m x yx yxxmxxmx xm xxm ， 所以 2 2 2 2 2 32 3(1)33 3(2 ) 2 2 3 1 (2 ) 11 2 2 m mm mm mn m mm m ， 可证得：mn为定值2 3