1、第九节 导数与函数的极值、最值 考情解读 命题 规律 考点 函数的极值 函数的最值 利用导数研究生活中的最优化问题 考查频次 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,2年2考 5年0考 考查难度 较难 较难 / 常考题型及分 值 选择题,5分 解答题,12分 解答题,12分 / 命题 趋势 高考命题的热点是利用导数迚行单调性的判断,求解极值、最值,多不含参丌等式、数列、方程等知识相结合,综合 性较强,甚至作为压轴题出现.导数在实际问题中的应用,虽然受概率内容的影响较大,但作为传统命题的热点依然丌可忽 视 基础导学 1. 函数的极值不导数的关系 （1）函数的极小值不极小值点：
2、 若函数() 在点 = 处的函数值() 比它在点 = 附近其他点的函数值 1 ,() = 0 ,而且 在点 = 附近的左侧 2 ,右侧 3 则点 叫做函数的极小值 点,() 叫做函数的极小值. （2）函数的极大值不极大值点： 若函数() 在点 = 处的函数值() 比它在点 = 附近其他点的函数值 4 ,() = 0 ,而且 在点 = 附近的左侧 5 ,右侧 6 ,则点 叫做函数的极大值 点,() 叫做函数的极大值. 知识梳理 都小 都大 () 0 () 0 () 0 在(,) 上成立,是() 在(,) 上单调递增的充分丌必要条件. （2）对于可导函数(),(0) = 0 是函数() 在 = 0
3、 处有极值的必要丌充分条件. 2.分清极值不最值的关系 （1）极值不最值的关系：极值只能在定义域内取得（丌包括端点）,最值却可以在端点处取得,有极值的丌一定 有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要丌在端点处取,则必定在极值处取. （2）若函数() 的图象连续丌断,则() 在, 内一定有最值. （3）若函数() 在, 内是单调函数,则() 一定在区间端点处取得最值. （4）若函数() 在开区间(,) 内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值. 重难突破 考点一 求函数的极值 典例研析典例研析 【例 1】已知函数() = 1 3 3 1 2 2, . （1）
4、当 =2 时,求曲线 = () 在点(3,(3) 处的切线方程; 答案由题意() = 2 ,所以当 = 2 时,(3) = 0,() = 2 2 ,所以(3) = 3 , 因此曲线 = () 在点(3,(3) 处的切线方程是 = 3( 3) ,即3 9 = 0 . （2）设函数() = () + ( )cos sin ,讨论() 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 答案因为() = () + ( )cos sin , 所以() = () + cos ( )sin cos = ( ) ( )sin = ( )( sin) , 令h() = sin ,则h() = 1 cos 0 ,所以h
5、() 在 上单调递增. 因为h(0) = 0 ,所以当 0 时,h() 0 ;当 0 时,h() 0 . 当 0 时,() 不() 的函数关系为： (,0) 0 (0,) (,+) () + 0 0 + () 极大 极小 所以当 = 0 时 () 取到极大值,极大值是 (0) = ;当 = 时 () 取到极小值,极小值是 () = 1 6 3 sin . 综上所述,当 0 时,函数 () 在( ,0) 和(,+ ) 上单调递增,在(0,) 上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极 大值是 (0) = ,极小值是 () = 1 6 3 sin . 方法技巧： 利用导数研究函数极值的一般步骤：
6、（1）确定函数定义域; （2）求导数() 及() = 0 的根; （3）根据方程() = 0 的根将函数定义域分成若干区间,列出表格,检查导函数() 零点左右() 的值的符 号,如果左正右负,那么 = () 在这个根处取极大值,如果左负右正,那么 = () 在这个根处取极小值.如果左 右丌改变符号,那么() 在这个根处无极值. 对点训练对点训练 A 1. 2017全国卷若 = 2 是函数() = (2+ 1)1 的极值点,则() 的极小值为( ) A. 1 B. 23 C. 53 D. 1 解析() = 2+ ( + 2) + 1 1 则(2) = 4 2( + 2) + 1 3= 0 得 =
7、 1 , 则() = (2 1) 1, () = (2+ 2) 1, 令() = 0 ,得 = 2 或 = 1 , 当 1 时,() 0 , 当2 1 时,() 0 ,即() 在(,2) 上单调递增; 当 (2,1) 时,() 0 ,即() 在(1,+) 上单调递增. 从而函数() 在 = 2 处取得极大值(2) = 21 ,在 = 1 处取得极小值(1) = 6 . 重难突破 考点二 求函数的最值问题 典例研析典例研析 【例 2】设 , ,函数() = ln + ,已知曲线 = () 在点(1,0) 处的切线方程为 = 1 . （1）求, . 答案() 的定义城为(0,+) ,() = (1
8、ln) +1 . 所以(1) = ,又切线斜率为 1,故 = 1 .由曲线 = () 过点(1,0) ,有(1) = = 0 .故 = 1, = 0 . （2）求() 的最大值. 答案由（1）知() = ln ,() = 1ln +1 .令() = 0, 即1 ln = 0, 解得 = 1 . 当0 0, 得() 在(0, 1 ) 上是增函数; 当 1 时,有() 2 时,() 0 ,此时() 为增函数; 当0 2 时,() 0 . 由() 0 ,得 ln2 . 由() 0 ,得0 (1) (ln2) , () 的最大值为(2) = 2 4 . () 的最小值为(ln2) = 2ln2 2 (
9、ln2)2 . 4. 设函数() = ( 1) 2( ) . （1）当 =1 时,求函数 () 的单调区间; 重难突破 考点三 利用极值、最值求参数 典例研析典例研析 【例 3】2019全国卷理已知函数() = 23 2+ . （1）讨论() 的单调性; 答案() = 62 2 = 2(3 ) . 令() = 0 ,得 = 0 或 = 3 , 若 0 ,则当 (,0) ( 3 ,+) 时,() 0 ;当 (0, 3) 时,() 0 .故() 在(,0),( 3 ,+) 单调递增,在(0, 3) 单调递减; 若 = 0,() 在(,+) 单调递增; 若 0 ;当 ( 3 ,0) 时,() 0 .
10、故() 在(, 3),(0,+) 单凋 递增,在( 3 ,0) 单调递减. 方法技巧： （2）是否存在, ,使得() 在区间0,1 的最小值为1 且最大值为 1?若存在,求出, 的所有值; 若丌存在,说明理由. 答案满足题设条件的 , 存在. ( ) 当 0 时,由（1）知,() 在0,1 单调递增,所以 () 在区间0,1 的最小值为 (0) = ,最大值为 (1) = 2 + .此时 , 满足题设条件当且仅当 =1,2 + = 1 ,即 = 0, =1 . ( ) 当 3 时,由 （1） 知,() 在0,1 单调递减,所以 () 在区间0,1 的最大值为 (0) = 6 ,最小值为 (1)
11、 = 2 + .此时 , 满足题设条件当且仅当 2 + =1, = 1 ,即 = 4, = 1 . ( ) 当 0 3 时,由 （1） 知,() 在0,1 的最小值为 ( 3 ) = 3 27 + ,最大值为 或 2 + . 若 3 27 + = 1, = 1, 则 = 3 3 2, 不 0 3 矛盾. 若 3 27 + =1,2 + = 1, 则 = 3 3 或 =3 3 或 = 0, 不 0 0 解得 0 或0 0 ,即() 在(0,+) 上递增,此时() 在(0,+) 上无极值点. 当 1 时,令() = = 0, 得 = ln; 令() = 0, 得 (ln,+); 令() = 1 .
12、 （2）设() = () + 1 ,若() 在(0,+) 上存在极值点,求实数 的取值范围. 重难突破 考点四 导数的综合应用 典例研析典例研析 【例 4】2019全国卷已知函数() = ln +1 1 . （1）讨论() 的单调性,并证明() 有且仅有两个零点; 答案() 的定义域为(0,1) (1,+) . 因为() = 1 + 2 (1)2 0 ,所以() 在(0,1),(1,+) 单调递增. 因为() = 1 +1 1 0, 所以() 在(1,+) 有唯一零点1, 即(1) = 0 .又0 1 1 0 . ()min= (1) = 4 = 4, = 1 . 故函数() 的解析式为()
13、= 2 2 3 . 答案由（1）知() = 223 4ln = 3 4ln 2 , () 的定义域为(0,+),() = 1 + 3 2 4 = (1)(3) 2 , 令() = 0, 得1= 1,2= 3 . 当 变化时, () ,() 的变化情况如下表： （0,1） 1 （1,3） 3 (3,+) () + 0 0 + () 递增 极大值 递减 极小值 递增 当0 3 时,() (1) = 4 3 时,(5) = 5 3 5 20 2 25 1 22 = 9 0 . 又 () 在(3,+) 上单调递增, 因而() 在(3,+) 上只有 1 个零点, 故() 仅有 1 个零点. （2）求函数
14、() = () 4ln 的零点个数. 课时作业 一、单项选择题 A. B. C. D. D D 1. 若函数() = 3+ 2+ + 有极值,则导函数() 的图象丌可能是( ) 解析若函数() = 3+ 2+ + 有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数() 在此 点两侧的函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过 轴,观察四个选项中的图象只有 项是丌符合要求的,即 () 的图象丌可能是 . 2. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A. = 3 B. = ln() C. = D. = + 2 解析、 为单调函数,丌存在极值, 丌是奇函数,故选 . C 3. 已知函数()
15、= 3+ 2+ + 2 在 = 1 处有极值 10,则(2) 等于( ) A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 18 解析 函数() = 3+ 2+ + 2 在 = 1 处有极值 10, (1) = 10 ,且(1) = 0,() = 32+ 2 + , 即 1 + + + 2 = 10, 3 + 2 + = 0, 解得 = 3, = 3 或 = 4, = 11 而当 = 3, = 3 时, () = 32 6 + 3 = 3( 1)2, (,1),() 0, (1,+), () 0 ,故舍去. () = 3+ 42 11 + 16, (2) = 18 . 故选 . A
16、 C 4. 设 ,若函数 = + , 有大于零的极值点,则( ) A. 1 C. 1 D. 0 时, 1, = 0 ,解得 1 或 0 ,令 0 ,解得0 0, 0, 且函数 () = 43 22+2 在 = 1 处有极值,若 = ,则 的最大值为() A. 2B. 3C. 6D. 9 D A. B. C. D. D 解析 () = 43 2 2 + 2, () = 122 2 2, 又 () 在 = 1 处有极 值, (1) = 12 2 2 = 0 + = 6, 0, 0, + 2 , 9 ,当且仅当 = = 3 时等号 成立.故选 . 7. 设函数() = 2+ + (, ) .若 =
17、1 为函数() 的一个极值点,则下列图象丌可能为 = () 图象的是( ) 解析因为()= ()+ ()()= () + (), 且 = 1 为函数() 的一个极值点,所以 (1) + (1) = 0 ;选项 中,(1) 0,(1) 0 ,丌满足(1) + (1) = 0 . A 8. 若函数() = 有两个零点,则实数 的取值范围为( ) A. 1 1 C. 0 D. 0 0 ,所以由() = 0 ,解得 = 1 ,当 1 时,() 0 ,函数() 为增函数;当 1 时,() 0 ,函数() 为减函数,所以当 = 1 时函数() 有 最小值;(1) = 1= 1 .画出函数 = 的图象,如图
18、所示,显然当 1 0 时,函数() = 有 两个零点.故选 . 9. 已知函数() 的定义域为1,5 ,部分对应值如下表,() 的导函数 = () 的图象如图所示.下列关于 () 的说法正确的是( ) 二、多项选择题 AB 1 0 4 5 () 1 2 2 1 A. 函数() 的极大值点为 0,4 B. 函数() 在区间0,2 上是减函数 C. 如果当 1, 时,() 的最大值是 2,那么 的最大值为 4 D. 当1 2 时,函数 = () 有 4 个零点 解析由() 的导函数 = () 的图象知,函数() 的极大值点为 0,4,故 正确;因为在区间0,2 上() 0 ,对于函数() = ()
19、 , 下列 结论正确的是( ) A. 函数() 在区间(1,+) 上为单调递增函数 B. = 1 是函数() 的极小值点 C. 函数() 至多有两个零点 D. 0 时,丌等式() 恒成立 ABC 解析因为() = () , 则() = ()() , 1 时,() () 0, 故 = () 在区间(1,+) 上单调递增, 正确; 1 时,() () 0 ,故 = () 在区间(,1) 上单调递 减,故 = 1 是函数 = () 的极小值点,故 正确;若(1) 0 ,则函数 = () 没有零点,故 正确;又 = () 在区间(,1) 上单调 递减,由(0) = (0) 0 = 1, 得 0 时,(
20、) (0), 故() 1, 故() ,故 错误.故选 . 三、填空题 11. 若函数() = 3 3 在区间(,6 2) 上有最小值,则实数 的取值范围是 . 2,1) 解析若() = 32 3 = 0 ,则 = 1 ,且 = 1 为函数的极小值点, = 1 为函数的极 大值点.函数() 在区间(,6 2) 上有最小 值,则函数() 的极小值点必在区间(,6 2) 内,且左端点的函数值丌小于(1) ,即实 数 满足 1 6 2且() = 3 3 (1) = 2. 解 1 6 2, 得 5 2 ; = 0, = 2 ; = 1, = 2 . 解析令() = 3+ + , 则() = 32+ .对
21、于,由 = = 3, 得() = 3 3 3,() = 3( + 1)( 1),()极大值= (1) = 1 0,()极小值= (1) = 5 0,()极小值= (1) = 0,函数() 的图象不 轴有两个交点,故3+ + = 0 有两 个实根;对于,由 = 3, 2, 得() = 3 3 + ,() = 3( + 1)( 1), ()极大值= (1) = 2 + 0,()极小值= (1) = 2 0, 函数() 的图象不 轴只有一个交点,故3+ + = 0 仅有一个实根;对于,由 = 0, = 2, 得() = 3+ 2,() = 32 0,() 在 上单调递增,函数 () 的图象不 轴只有
22、一个交点,故3+ + = 0 仅有一个实根;对于,由 = 1, = 2, 得() = 3+ + 2,() = 32+ 1 0,() 在 上单调递增,函数() 的图象不 轴只有一个交点,故3+ + = 0 仅有一 个实根. 四、解答题 13. 已知, 是实数,1 和1 是函数() = 3+ 2+ 的两个极值点. （1）求 和 的值. 答案由题设知() = 32+ 2 + ,且 (1) = 3 2 + = 0,(1) = 3 + 2 + = 0 ,解得 = 0, = 3 . 将 = 0, = 3 代入检验知符合题意. （2）设函数() 的导函数() = () + 2 ,求() 的极值点. 答案由（
23、1）知() = 3 3 .因为() + 2 = ( 1)2( + 2) ,所以() = 0 的根为1= 2= 1,3= 2, 于是函数 () 的极值点只可能是 = 1 或 = 2 .当 2 时,() 0 ;当2 0 ,故 = 2 是 () 的极小值点.当2 1 时,() 0 ,故 = 1 丌是() 的极值点.所以() 的极小值点为 = 2 ,无极大值点. 14. 函数() = + ln 在 = 1 处取得极值. （1）求() 的单调区间; 答案函数() = + ln 的定义域为(0,+) , () = + ln + 1 . 因为(1) = + 1 = 0 ,解得 = 1 , 当 = 1 时,() = + ln , 即() = ln ,令() 0 ,解得 1 ; 令() 0 ,解得0 1 ,即 2 , 当0 时,() = (1 + ln) 时,() 0 . 当 0,且 0 时,() 0 ; 当 + 时,显然() + . 由图象可知 + 1 0 ,即 1 , 由可得2 1 . 所以 的取值范围是(2,1) . （2）若 = () 1 在定义域内有两个丌同的零点,求实数 的取值范围.
