1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试（ 上海 卷） 理科数学 答案解析 一、填空题 1.【答案】 14, 【解析】 全集 UR? ，集合 1,2,3,4A? ， | 2 3B x x? ? ? ， |( ) 3 2U B x x x? ? ?或 ，故答案为： 14, 【提示】 本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可 【考点】 交、并、补集的混合运算 2.【答案】 11i42z? 【解析】 解：设 iz a b? ，则 i( )z a b a b? ? ?R, ，又 3 1 izz? ? ? ， 3( i) ( i) 1 ia b a b?
2、 ? ? ? ?，化为4 2 i 1 iab? ? ? ， 41a? ， 21b? ，解得 14a? ， 12b? 11i42z? 【提示】 设 iz a b? ，则 i( )z a b a b? ? ?R, ，利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【考点】 复数代数形式的乘除运算 3.【答案】 16 【解析】 解：由题意知 35xy?，是方程组 1223x y cyc? ? 的解，即 126 15 215cc ? ? ? ? ，则 12 21 5 16cc? ? ? 【提示】 根据增广矩阵的定义得到 35xy?，是方程组 1223x y cyc? ? 的解，解方程组即可 【考点】 二阶行列式
3、与逆矩阵 4.【答案】 4 【解析】 解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为 1 sin602 aa ? ，正棱柱的高为 a ， 1 s in 6 0 1 6 32 a a a?， 4a? ，故答案为： 4 【提示】 由题意可得 1 s in 6 0 1 6 32 a a a?，由此求得 a 的值 【考点】 棱锥的结构特征 5.【答案】 2 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 解：因为抛物线 2 2 ( 0)y px p?上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以 12p? ，所以 2p? 故答案为： 2 【提示】 利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论
4、 【考点】 抛物线的简单性质 6.【答案】 3 【解析】 解：设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则圆锥的侧面积为： rl ，过轴的截面面积为：rh ， 圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ， 2lh? ，设母线与轴的夹角为 ? ，则 112hcos?，故 3? ，故答案为： 3 【提示】 设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，可得 2lh? ，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到 答案 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 7.【答案】 2 【解析】 解： 1122lo g 9 5 lo g 3(
5、) ( 22)xx? ?， 1122lo g 9 5 lo g 4 ( 3( 2)xx?， 119 5 4(3 2)xx? ，化为 2(3 ) 12 3 27 0xx? ?， 因式分解为： (3 3)(3 9) 0xx?， 33x? ， 39x? ，解得 1x? 或 2 经过验证： 1x? 不满足条件，舍去 2x? 【提示】 利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可 【考点】 对数的运算性质 8.【答案】 120 【解析】 解：根据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 59 126C ? 种； 其中只有女教师的有
6、 56 6C? 种情况； 则男、女教师都有的选取方式的种数为 126 6 120?- 种； 故答案为： 120 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 根据题意，运用排除法分析，先在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案 【考点】 排列、组合的实际应用 9.【答案】 32yx?【解析】 设 1C 的方程为 223yx? ? ，利用坐标间的关系，求出 Q 的轨迹方程，即可求出 2C 的渐近线方程 【提示】 解答：解：设 1C 的方程为 223yx? ? ，设 ( , )Qx y ，则 ( , 2 )P x y ，代入 223yx
7、? ? ，可得 2243yx?- ， 2C 的渐近线方程为 224 3 0yx? ? ，即 32yx? 【考点】 双曲线的简单性质 10.【答案】 4 【解析】 解：由 22 2x xfx ?（ ） 在 20x?, 上为增函数，得其值域为 1,24?，可得 1()y f x? 在 1,24?上为增函数，因此 1( ) ( )y f x f x? 在 1,24?上为增函数， 1( ) ( )y f x f x? （ x）的最大值为 1 (2() 122 ) 1 4ff? ? ? ? ? 【提示】 由 22 2x xfx ?（ ） 在 20x?, 上为增函数可得其值域，得到 1()y f x? 在
8、 1,24?上为增函数，由函数的单调性求得 1( ) ( )y f x f x? 的最大值 【考点】 反函数 11.【答案】 45 【解析】 解： 1 0 0 10 1 0 1 91 0 1 02 0 1 5 2 0 1 5 2 0 1 51 1 11 ( 1 ) ( 1 )x C x C xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 仅在第一部分中出现 2x 项的系数 再由 1 10rrrT C x? ? ，令 2r? ，可得， 2x 项的系数为 210=45C 故答案为： 45 【提示】 先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第
9、一项含有 2x 项，然后写出第一项二项展开式的通项，由 x 的指数为 2求得 r 值，则答案可求 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 二项式系数的性质 12.【答案】 0.2 【解析】 解：赌金的分布列为 1? 1 2 3 4 5 P 15 15 15 15 15 所以11 (1 2 3 4 5 ) 35E ? ? ? ? ? ? ?，奖金的分布列为 2? 1 4 2 8 4 2 5 6 P 25 310 15 110 所以22 3 1 1 1 . 4 1 2 3 4 2 . 85 1 0 5 1 0E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 12 3 2 .8 0 .2EE? ?
10、? ?元 故答案为： 0.2 【提示】 分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 13.【答案】 8 【解析】 对任意的 ix ， jx ， m a x m i n| ( ) ( ) | ( ) ( ) 2ijf x f x f x f x? ? ? ?， 欲使 m 取最小值，尽可能多的让 ( 1,2, , )ix i m? 取最值点， 考虑到 1206mx x x? ? ? ? ?， *1 2 2 3 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 1 2 ( 2 , )mmf x f x f x f
11、x f x f x m m N? ? ? ? ? ? ? ? ?， 按照 下图 所示取值可以满足条件，所以 m 的最小值为 8 【提示】 对任意的 ix ， jx ， | ( ) ( ) | 2ijf x f x?， 让 ix 取最值点 ，考虑到 1206mx x x? ? ? ? ?，1 2 2 3 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 1 2mmf x f x f x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?， 按照 上图 所示取值 ，即 得 m 的 最小值 【考点】 正弦函数的图象 【 ;百万教育资源文库 】 14.【答案】 1615? 【解析
12、】 解：如图， ABD 与 ACD 的面积分别为 2和 4， 1 | | | | 22 AB DE ? ， 1 | | | | 42 AC DF ? ，可得 4|DE AB? ， 8|DF AC? ， 32| | | | | | | |D E D F AB AC? 又 1tan 2A? ， sin 1cos 2AA? ，联立 22sin cos 1AA?，得 5sin5A?， 25cos5A? 由 1 | | | | sin 62 AB AC A ?，得 | | | | 12 5AB AC ? 则 85| | | |15DE DF ? 8 5 2 5 1 6| | | | | | | | c
13、o s ,1 5 5 1 5D E D F D E D F D E D F ? ? ? ? ? ? 故答案为： 1615? 【提示】 由题意画出图形，结合面积求出 25cos5A?， 85| | | |15DE DF ?，然后代入数量积公式得答案 【考点】 平面向量数量积的运算 二、选择题 15.【答案】 B 【解析】 解：设 1 1iz? ， 2 iz? ，满足 1z 、 2z 中至少有一个数是虚数，则 121zz? ? 是实数，则 12zz? 是虚数不成立，若 1z 、 2z 都是实数，则 12zz? 一定不是虚数，因此当 12zz? 是虚数时，则 1z 、 2z 中至少有一个数是虚数，即
14、必要性成立，故 “ 1z 、 2z 中至少有一个数是虚数 ” 是 “ 1z 、 2z 是虚数 ” 的必要不充分条件，【 ;百万教育资源文库 】 故选： B 【提示】 根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 16.【答案】 D 【解析】 解： 点 A 的坐标为 (4 3,1) ， 设 xOA ?， 则21 1 1s in 7491 ( 4 3 )? ? ? ? ，24 3 4 3c o s 71 ( 4 3 )? ?， 将 OA绕坐标原点 O 逆时针旋转 3 至 OB，则 OB的倾斜角为 3? ，则 2| | | 1 (4 3 )
15、 49| 7O B O A? ? ? ? ?， 则点 B的纵坐标为 1 1 3 4 3 1 1 3| | s i n ( ) 7 ( s i n c o s c o s s i n ) 7 63 3 3 7 2 2 7 2 2y O P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选： D 【提示】 根据三角函数的定义，求出 xOA? 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可 【考点】 任意角的三角函数的定义 17.【答案】 B 【解析】 解：当方程 有实根，且 无实根时， 21140a?， 2228 0a?，即 21 4a? ， 22 8a ? ， 1a ， 2a ，
16、 3a 成等比数列， 22 1 3a aa? ，即 223 1aa a?，则 2 2242 223 11 8 164aaa ? ? ? ?， 即方程 的判别式 233 6 01a?，此时方程 无实根，故选： B 【提示】 根据方程根与判别式 ? 之间的关系求出 21 4a? ， 22 8a ? ，结合 1a ， 2a ， 3a 成等比数列求出方程 的判别式 ? 的取值即可得到结论 【考点】 根的存在性及根的个数判断 18.【答案】 A 【解析】 解：当 n? 时，直线 2 1nxyn? 趋近于 21xy?，与圆 222xy?在第一象限的交点无限靠近 (1,1) ，而 11nnyx? 可看作点
17、()n n nP x y, 与 (1,1) 连线的斜率，其值会无限接近圆 222xy?在点 (1,1) 处的切线的斜率，其斜率为 1? 1lim 11nx nyx? ? 故选： A 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 当 n? 时，直线 2 1nxyn? 趋近于 21xy?，与圆 222xy?在第一象限的交点无限靠近(1,1) ，利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出 【考点】 极限及其运算 三、解答题 19.【答案】 15arcsin15【解析】 解：连接 AC ，因为 E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， 所以 EF 是 ABC 的中位线， 所以 EF AC 由长方体的性质知 11AC AC ， 所以 11EF AC ， 所以 1A 、 1C 、 F 、 E 四点共面 以 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 1DD 分别为 xyz 轴，建立空间直角坐标系， 易求得 1 (0,
