1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科） 答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 2i(2 i) 2i i 1 2i? ? ? ? ?，故选 A 【提示】 利用复数得运算法则解答 【考点】 复数代数形式 的 乘除运算 2.【答案】 D 【解析】 如图， 当 01xy?， ， max 2z ? ，故选 D 【提示】 作出题中不等式组表示 的 平面区域，再将目标函数 2z x y? 对应 的 直线进行平移，即可求出 z 取得 的 最大值 【考点】 简单线性规划 3.【答案】 B 【解析】 依 题意得 ： 0 2 0 2 1s
2、t x y k? ? ? ? ?， ， ， ， 2 2 2 2 24 0 4 0 3s t x y ks t x y k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， 结束，输出 (4)? ，故选 B 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到 x y k， ， 的 值，当 3k? 时满足条件 3k? ，退出循环，输出 (4)? 【考点】 程序框图 4.【 答案 】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 m? 不能推出 ? ， 因为 ?、 可能相交 ，只要 m 和 ?、 相交 即可 得到 m? ； 而 ? ， m? m?、 没有 公共点， m? ， 即
3、? 能 得到 m? ， “m? ”是 “? ”的必要不充分条件， 故选 B 【提示】 m? 并得不到 ? ，根据面面平行得判定定理，只有 ? 内得两相交直线都平行于 ? ，而 ? ，并且 m? ，显然能得到 m? ，这样即可找出正确选项 【考点】 必要条件 ， 充分条件与充要条件得判断 5.【答案】 C 【解析】 由三视图知， OA? 面 ABC ， 5AB AC?， E 为 BC 中点， 2 1 1E A E C E B O A? ? ? ?， ， ， AE BC BC O A?， 1 2 2 22ABCS ? ? ? ? ， 155122O A C O A BSS? ? ? ? ? ， 1
4、 2 5 52B C OS ? ? ? ? ， 2 2 5S? ， 故选 C 【提示】 根据三视图可判断直观图为： PA? 面 ABC ， AB AC? ， E 为 BC 中点， 2 1 1E A E C E B O A? ? ? ?， ， ，BC AEO?面 ， 55AC OE?， ，判断几何体 各个面的特点，计算边长，求解面积 【考点】 由三视图求面积 ， 体积 6.【答案】 C 【解析】 若 120aa? ? ，则 120ad? ? ， 2 3 12 3 2 0a a a d d d? ? ? ? ?，时，结论成立，即 A 不正确； 若 120aa? ? ，则 120ad? ? ， 2
5、3 12 3 2 0a a a d d d? ? ? ? ?，时，结论成立，即 B 不正确； na 是等差数列， 120 aa? ? ， 132 1 32aaa a a?， C 正确； 若 1 0a? ，则 22 1 2 3)( )(0a a a a d? ?，即 D 不正确故选 C 【提示】 对选项分别进行判断，即可得出结论 【考点】 等差数列 的 性质 7.【答案】 C 【解析】 由题可知：由已知 ()fx的图象，在此坐标系内作出 2log ( 1)yx?的图象，如图 【 ;百万教育资源文库 】 满足不等式 2( ) log ( 1)f x x?的 x 范围是 11x? ? ；所以不等式
6、2( ) log ( 1)f x x?的解集是 ? ?1,1? ， 故选 C 【提示】 在已知坐标系内作出 2log ( 1)yx?的图象，利用数形结合得到不等式的解集 【考点】 指 数函数和 对数 函数 不等式的解法 8.【答案】 D 【解析】 由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于 5， 所以 A 错； 由图知，当以 40km/h 的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少， B 错； 甲车以 80km/h 行驶 1 小时耗油 8 升，故 C 错 ； 在限速 80km/h ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油 ，故选 D 【提示】 根据汽车的 “燃油效率
7、”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可 【考点】 函数的图象与图象变化 第 卷 二、填空题 9.【答案】 40 【解析】 5(2 )x? 的 展开式的通项公式为： 5152r r rrT C x? ? ，当 3r? 时，系数为 325 542 4 402C ? ? ? 故 答案为 40 【提示】 写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x 的指数为 3，求出 r ，然后求解所求数值 【考点】 二项式定理的应用 10.【答案】 33【解析】 双曲线 2 22 1x ya ?的 渐近线方程为 ，所以 xy a? ， 解得 1 3a? ， 33a? 【提示】 运用双曲线
8、的渐近线方程为 xy a? ，结合条件可得 1 3a? ，即可得到 a 的值 【考点】 双曲线的简单性质 11.【答案】 1 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 点 2,3P?化为 (1, 3)P ， 直线方程为 3 6 3 6 0x y x y? ? ? ? ? ?， 所以点到直线方程的距离为 |1 3 6| 2 1213d ? ? ? 【提示】 化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出 【考点】 简单曲线的极坐标方程 12.【答案】 1 【解析】 在 ABC 中， 4a? ， 5b? ， 6c? ， 1 6 2 5 3 6 1c o s =2 4 5 8C ? ?， 2 5
9、 3 6 1 6 3c o s =2 5 6 4A ? ?， 37sin8C?， 7sin4A?， 2 2 2s i n 2 2 s i n c o s 2 4 2 5 3 6 1 6 9 0 1s i n s i n 2 6 3 0 9 0A A A a b c aC C c b c? ? ? ? ? ? ? ? ?g 【提示】 利用余弦定理求出 cos cosCA， ，即可得出结论 【考点】 余弦定理 ， 二倍角的正弦 ， 正弦定理 13.【答案】 12x? 【解析】 由 已知得到 1 1 1 1 1 1()3 2 3 2 2 6M N M C C N A C C B A C A B A
10、C A B A C? ? ? ? ? ? ? ? ?u u u r u u ur u u ur u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur，所以 1126xy? ?， 【提示】 首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 ABACuuruuur、 表示，然后利用平面向量基本定理得到值 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 14.【答案】 min( ) 1fx ? ? ?1 ,1 2,2a ? ? 【解析】 当 1a? 时， 2 1, 1()4 ( 1 ) ( 2 ) , 1x xfxx x x? ? ? ? ? ?， 当 1x? 时， 1 ( )
11、 1fx? ? ? ， 当 1x? 时，m i n 3 1 1( ) 4 12 2 2f x f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 min( ) 1fx ? ； 16y?【 ;百万教育资源文库 】 当 0a? 时， ()fx没有两个零点， 当 01a?时， 1x? 时， 22 0 lo g 0xaax? ? ? ? ?， ()fx有一个零点； 而 1x? 时， 12( ) 0 , 2f x x a x a? ? ? ?； 当 21a? ，即 12a? 时， ()fx恰有两个零点，所以当 1 12 a?时， ()fx恰有两个零点； 当 12a?时， 1x? 时
12、， 22 0 lo g 1xaax? ? ? ? ?， ()fx有一个零点； 而 1x? 时， 1( ) 0f x x a? ? ?， 2 2xa? ， ()fx有两个零点， 此时 ()fx有三个零点； 当 2a? 时， 1x? 时，无零点； 1x? 时，有两个零点，此时 ()fx有两个零点 综上所述 ? ?1 ,1 2,2a ? ? 【提示】 分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值 ； 分情况 讨论， 求出 符合 ()fx有两个零点的 并集 【考点】 函数的零点 ， 分段函数的应用 三、解答题 15.【答案 】（） 2T? （） 212?【解析】（） 22( ) s in (1 c
13、 o s )f x x x? ? ? 2 2 2s in c o s2 2 2xx? ? ? 2sin( )42x? ? ? ，则 周期 2 21T? （） 0x? ? ? ， 3 4 4 4x? ? ? ? ， 21 sin ( )42x? ? ? ?， 21 ( ) 02 fx? ? ? ?， ()fx在区间 0?， 上的最小值为 21 2? 【提示】（） 运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 ()fx，再由正弦喊话说的周期，即可得到所求 （） 由 x 的范围，可得 4x? 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值 【考点】 两角和与差的正弦函数 ， 三角函数的周期性及其求法 ，
14、 三角函数的最值 【 ;百万教育资源文库 】 16.【 答案】（） 37 （） 1049 （） 11a? 或 18a? 【解析】 （） 记甲康复时间不小于 14 天为事件 A 则 3()7PA? ， 所以甲康复时间不小于 14 天的概率为 37 （） 记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件 B 基本事件空间如下表 甲 乙 10 11 12 13 14 15 16 12 短 短 短 长 长 长 长 13 短 短 短 短 长 长 长 14 短 短 短 短 短 长 长 15 短 短 短 短 短 短 长 16 短 短 短 短 短 短 短 17 短 短 短 短 短 短 短 25 短 短 短 短 短 短 短
15、 所以 10 10() 7 7 49PB ? （） 由于 A 组为公差为 1 的等差数列，所以当 11a? 或 18a? 时 ， B 组也为公差为 1 的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于 a 的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有 11a? 或 18a?两个值 【提示】 （） 事件等价于 “ 甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人 ” ，由概率公式可得 （）设“ 甲的康复时间比乙的康复时间长 ” 为事件 B ，列出 基本时间空间表， 由 表即可求得 ()PB （） 由方差的公式可得 【考点】 古典概型及其概率公式，概率的加法公式和方差 17.【 答案】（ ） 见
16、 解析 （ ） 55?（ ） 2a? 【解析】（ ） 证明： AEF 为等边三角形， O 为 EF 中点， AO EF 又 平面 AEF 平面 EFCB ，平面 AEFI 平面 EFCB EF? ， 【 ;百万教育资源文库 】 AO 平面 EFCB ， AO BE （ ）以 O 为原点建立如图坐标系 ： ( ,0,0)Ea ， ( ,0,0)Fa? ， (0,0, 3 )Aa， (2, 3(2 ),0)Ba? ， ( ,0, 3 )EA a a?uur ， ( 2 , 3 ( 2 ), 0 )E B a a? ? ?uur 平面 AEF 的法向量 (0,1,0)m?ur ； 设平面 AEB 的
17、法向量 ( , , )n x y z?r ， 则 0 3 0300n E A x zxyn E B? ? ? ? ? ? ?r uurgr uurg ， 取 ( 3, 1,1)n?r ， 15c o s , 515| | | |mnmn mn ? ? ? ?ur rur r gur rg ， 又 二面角 F AE B?为钝角， 二面角 F AE B?的余弦值为 55? （ ） BE 平面 AOC ， BE OC ， ( 2, 3 (2 ), 0 )O C a? ? ?uuur ， 2 ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 ) 0B E O C a a a? ? ? ? ? ? ? ?u u r u u urg ， 解得 2a? （舍 去 ）或 43a? 【提示】 （ ） 根据线面垂直的性质定理即可证明 AO BE （ ）建立空间坐标系，利用向量法即
