1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试（ 安徽卷 ） 数学 (文科 )答案解析 第 卷 一、选择题 1.【 答案 】 C 【解析】 复数 (1 i)(1 + 2 i)= 1 + 2 i+ 2 i= 3 + i?. 【提示】 直接利用复数的多项式乘法展开求解 【 考点 】 复数代数形式的乘除运算 2.【 答案 】 B 【解析】 1,5,6RB? ； ( ) 1 , 2 11 , 5 , 6RAB? ? ? .故选： B 【提示】 进行补集、交集的运算 【 考点 】 交集 ， 并集 ， 补集的混合运算 3.【 答案 】 C 【解析】 设 :3px? ， : 1 3qx?
2、 ? ? ， 则 p 成立，不一定有 q 成立，但是 q 成立，必有 p 成立，所以 p 是 q 成立的必要不充分条件 ， 故选： C. 【提示】 判断必要条件与充分条件，推出结果 【 考点 】 必要条件 ， 充分条件 ， 充要条件 4.【 答案 】 D 【解析】 对于 A ， lnyx? ， 定义域为 (0, )? ，所以是非奇非偶的函数； 对于 B ，是偶函数，但是不存在零点； 对于 C ， sin( ) sinxx? ? ，是奇函数； 对于 D ， cos( ) cosxx? ，是偶函数并且有无数个零点 【提示】 利用函数奇偶性的判断 以及 零点的定义分别分析解答 【 考点 】 函数的零
3、点 ， 函数奇偶性的判断 . 5.【 答案 】 A 【解析】 由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线 2y x z?经过 A 时使得 z 最大，由01xyy? ? ， 得到 (1,1)A ，所以 z 的最大值为 2 1 1 1? ? ? ? 故选： A. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 首先画出平面区域， 2z x y? ? 的最大值就是 2y x z?在 y 轴的截距的最大值 【 考点 】 简单线性规划 6.【 答案 】 A 【解析】 由双曲线方程 221xyab?( 0, 0)ab?的渐近线方程为 byxa? ， 由 A 可得渐近线方程为 2yx? ，由 B 可得渐近线方程
4、为 12yx? ，由 C 可得渐近线方程为 2yx? ，由 D 可得渐近线方程为 22yx?. 故选： A 【提示】 由双曲线方程 221xyab?( 0, 0)ab?的渐近线方程为 byxa? ， 对选项一一判断 【 考点 】 双曲线的简单性质 7.【 答案 】 B 【解析】 模拟执行程序框图，可得 1a? ， 1n? 满足条件 1.414 0 0|.0 5a? ? ， 32a? ， 2n? 满足条件 1.414 0 0|.0 5a? ? ， 75a? ， 3n? 满足条件 1.414 0 0|.0 5a? ? ， 1712a? ， 4n? 不满足条件 1 .4 1 4 0 .0 0 2 6
5、 7| .| 0 0 0 5a ? ? ?，退出循环，输出 n 的值为 4. 故选： B 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到 a ， n 的值 【 考点 】 程序框图 8.【 答案 】 D 【解析】 22 2 2 1 0x y x y?可化为 22( 1) ( 1) 1xy? ? ? ? 直线 34x y b?与圆 22 2 2 1 0x y x y?相切， 【 ;百万教育资源文库 】 圆心 (1,1) 到直线的距离 | 3 4 | 19 16bd ? ， 解得： 2b? 或 12. 【提示】 由直线与圆相切得到圆心到直线的距离 dr? ，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程
6、的解 【 考点 】 圆的切线方程 9.【 答案 】 C 【解析】 三棱锥 O ABC? ， OE ADC?底 面 ， 1EA ED?， 1OE? ， 2AB BC? AB BC? ， 可判断； OAB OBC? 的直角三角形， 1 2 1 12O A C A B CSS? ? ? ? ?， OABS S? ? 23 ( 2 ) 34O BC ? ? ?该四面体的表面积： 23? ，故选： C 【提示】 判断得出三棱锥 O ABC? ， OE ADC?底 面 ， 1EA ED?， 1OE? ， 2AB BC?， AB BC? ，可判断； OAB OBC? 的直角三角形，运用面积求解即可 【 考点
7、 】空间 几何体 的 表面积 和 体积 10.【 答案 】 A 【解析】 (0) 0fd?，排除 D ，当 x ? 时， y? ， 0a? ，排除 C ，函数的导数 2( ) 3 2f x ax bx c? ? ? ?，则 ( ) 0fx? ? 有两个不同的正实根，则 (0) 0fc? ? ，排除 B ，故选： A. 【提示】 根据函数的图像和性质，利用排除法进行判断即可 【 考点 】 函数的图像 第 卷 二、填空题 11.【 答案 】 1? 【解析】原式 l g 5 l g 2 2 l g 2 2 l g 5 l g 2 2 l g 1 0 2 1 2 1 .? ? ? ? ? ? ? ?
8、? ? ? ? ? 【提示】 利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项 【 考点 】 对数的运算性质 12.【 答案 】 2 【解析】 75A? ， 45B? ，则 1 8 0 7 5 4 5 6 0C? ? ? ? ?，由正弦定理可得 sin60 sin45AB AC? ， 即有262 232AC?.故答案为： 2. 【提示】 由三角形的内角和定理可得角 C ，再由正弦定理，计算即可得到 AC 【 考点 】 正弦定理 【 ;百万教育资源文库 】 13.【 答案 】 27 【解析】1 12nnaa?( 2)n?， 1 12nnaa? ? ( 2)n?， 数列 na 的公差 12d? ，又
9、1 1a? ， 111122n nan ? ? ? ?（ ）， 91 9 ( 9 1 ) 19 9 3 6 2 722S a d? ? ? ? ? ?，故答案为： 27. 【提示】 通过1 12nnaa?( 2)n?可得公差，进而由求和公式即得结论 【 考点 】 数列递推式 14.【 答案 】 A 【解析】 解：由已知直线 2ya? 是平行于 x 轴的直线，函数 1|y x a? 的图 像 是折线，所以直线 2ya? 过折线顶点时满足题意，所以 21a? ，解得 12a? ； 故答案为： 12? . 【提示】 由已知直线 2ya? 与函数 1|y x a? 的图像特点分析一个交点时，两个图像的
10、位置，确定 A 【 考点 】 函数的零点与方程根的关系 15.【 答案 】 【解析】 ABC? 是边长为 2的等边三角形，已知向量 a 、 b 满足 2AB a? ， 2AC a b?，则 12a AB? ， 2AB? ，所以 1a? ，即 a 是单位向量； 正确； 因为 2AC AB BC a b? ? ? ?，所以 BC? ，故 2b? ；故 错误； 正确； a 、 b 夹角为 120，故 错误； a 2( 4 ) 4 4 1 2 c o s 1 2 0 4 4 4 0a b b c a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；故 正确 . 故答案为： . 【提示】 利用向量
11、的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择 【 考点 】 平面向量数量积的运算 三、解答题 16.【 答案 】 （ 1）最小正周期为 （ 2） ()fx在区间 0,2?上的取得最小值为 0，最大值为 12? 【解析】解： （ 1） 函数 2 ( ) ( s i n c o s ) c o s 2 1 s i n 2 c o s 2 1 2 s i n 2 4f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 它的最小正周期为 2 2? . 【 ;百万教育资源文库 】 （ 2）在区间 0,2?上， 52,4 4 4x ? ?，故当 52 44x? 时， ()fx取得最小
12、值为 21 2 02? ? ?-，当 2 42x?时， ()fx取得最大值为 1 2 1 1 2? ? ? ? 【提示】 由条件利用三角恒等变换求得 ()fx的解析式，再利用正弦函数的周期性求得 ()fx最小正周期 ， 由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得 ()fx在区间 0,2?上的最大值和最小值 【 考点 】 三角函数的最值 ， 三角函数的周期性及其求法 17.【 答案 】 （ 1） 0.006a? （ 2） 0.4 （ 3） 110P? . 【解析】 解：（ 1）因为 ( 0 . 0 0 4 0 . 0 1 8 0 . 0 2 2 2 0 . 0 2 8 ) 1 0 1a? ? ? ?
13、 ? ? ?，解得 0.006a? ； （ 2）由已知的频率分布直方图可知， 50名受访职工评分不低于 80 的频率为 (0 .0 2 2 0 .0 1 8) 1 0 4? ? ?，所以该企业职工对该部门评分不低于 80的概率的估计值为 0.4； （ 3）受访职工中评分在 ? ?50,60 的有： 50 0.006 10 3? ? ?（人），记为 1A ， 2A ， 3A 受访职工评分在 ? ?40,50 的有： 50 0.004 10 2? ? ?（人），记为 1B ， 2B ， 从这 5名受访职工中随机抽取 2人，所有可能的结果共有 10种，分别是 12 , AA ， 13 , AA ，
14、11 , AB ， 12 , AB ， 23 , AA ， 21 , AB ， 22 , AB ，31 , AB ， 32 , AB ， 12 , BB 又因为所抽取 2人的评分都在 ? ?40,50 的结果有 1种，即 12 , BB ，故所求的概率为 110P? 【提示】 利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为 1， 得到 a ， 对该部门评分不低于 80 的即为90 和 100，的求出频率，估计概率 ， 求出评分在 40， 60的受访职工和评分都在 40， 50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答 . 【 考点 】 频率分布直方图 ， 古典概型 18.【
15、 答案 】 （ 1） 12nna? （ 2）11 2 2 3 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 21n nn n nT S S S S S S S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【解析】 （ 1） 数列 na 是递增的等比数列，且 149aa?， 238aa? . 149aa?， 41 8aa? . 解得 1 1a? ， 4 8a? 或 1 8a? ， 4 1a? （舍），解得 2q? ， 【 ;百万教育资源文库 】 即数列 na 的通项公式 12nna? ； （ 2） 1 (1 ) 211 n nn aqS q? ? ?， 111 1 111n n nnn n
16、n n n na S Sb S S S S S S? ? ? ? ? ?， 数列 nb 的前 n 项和11 2 2 3 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 21n nn n nT S S S S S S S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示】 根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列 na 的通项公式 ， 求出 11nnnnab SS?， 利用裂项相消法即可求数列 nb 的前 n 项和 nT 【 考点 】等比数列的 通项公式，列项 相消 法求和 19.【 答案 】 （ 1） 1336P A B C A B CV S P A? ?（ 2） 13PM ANM
17、C NC? 【解析】 解： （ 1）由题设， 1AB? ， 2AC? ， 60BAC?，可得 13s in 6 022ABCS A B A C?因为 PA ABC?平 面 ， 1PA? ，所以 1336P A B C A B CV S P A? ?； （ 2）过 B 作 BN AC? ，垂足为 N ，过 N 作 MN PA ，交 PA 于点 M ，连接 BM ，由 PA ABC?平 面 ，知PA AC? ，所以 MN AC? ，因为 BN MN N? ，所以 AC MBN?平 面 . 因为 BM MBN?平 面 ，所以 AC BM? . 在直角 BAN 中， 1c o s 2AN AB BAC? ? ?，从而 32NC AC AN? ? ?由 MN PA 得 13PM ANMC NC? 【提示】 利用 1336P A B C A B CV S P A?，求三棱锥 P ABC? 的体积 ， 过 B 作 BN AC? ，垂足为 N ，过 N作 MN PA ，交 PA 于点 M ，连接 BM ，证明 AC MBN?平 面 ，可得 AC BM? ，利用 MN PA ，求 PMMC的值 【 考点 】 棱柱、棱锥、棱台的体积 ， 点、线、面间的距离计算 20.【 答案 】 （ 1）
