1、章末复习章末复习 【知识与技能】 进一步感受勾股定理及其逆定理,能用它们解决问题. 【过程与方法】 在经历“知识回顾问题与思考问题探究”过程中,进一步增强学生 分析问题、解决问题的能力,体验数形结合的思想,锻炼解题技能. 【情感态度】 进一步培养学生的合作交流意识和探究精神,激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 勾股定理及其逆定理解决问题. 【教学难点】 用勾股定理的逆命题证明几何问题. 一、知识回顾,整体把握 1.勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股数:满足 a 2+b2=c2的三个正整数 a,b,c 称为一组勾股数. 3.勾股定理的逆定理:在一个三角形中,如果满
2、足两条边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 4.互逆命题、互逆定理. 【教学说明】师生共同回顾本章知识,教师扼要板书,加深学生理解. 二、释疑解惑,加深理解 1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的, 它们各是怎样体现数形结合的 思想的,谈谈你的理解. 2.已知一个三角形三边长,就能判断它是不是直角三角形,你能举个例子 吗? 3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明. 【教学说明】教师展示问题,师生共同回顾,加深认识. 三、典例精析,复习新知 例例 1 1 (1)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长,不能构成直 角三角形的是( ) A.3,4,5 B
3、.6,8,10 C.3 ,2,5 D.5,12,13 (2)如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则ABC 的度数是( ) A.90 B.60 C.45 D.30 【分析】 (1)中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的 平方进行比较,易知以 C 选项中三个数据3 ,2,5为三边的三角形不是直角 三角形,故选 C; (2)中,由于给出了小正方形的边长为 1,因而可利用勾股定 理分别求出线段 AB、BC 和 AC(应连接 AC)的长,再利用勾股定理的逆定理判断 ABC 的形状后可得到结论.AB 2=12+32=10,CB2=12+22=5,CA2=12+22
4、=5,ABC 是等腰直角三角形,且ACB=90,故ABC=45,应选 C. 例例 2 2 如图 1,在梯形 ABCD 中,ABDC,ADC+BCD=90且 DC=2AB,分 别以 DA,AB,BC 为边向梯形外作正方形,其面积分别为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3之 间的关系是 . 【分析】如图 2,过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E,连接 AC,则EAC=ACB. 由 ABCD 知BAC=ACE,AC=AC, ABCAEC,AB=CE,AE=BC. 由 CD=2AB=CE+DE 知 DE=CE=AB. 由 AEBC 知AED=BCD,而ADC+BCD=90, ADC+AED=
5、90, DAE=90,即ADE 为直角三角形, DE 2=AD2+AE2,即 AB2=AD2+BC2,即 S 2=S1+S3. 例例 3 3 如图,已知 AB=12,ABBC 于 B,ABAD 于 A,AD=5,BC=10,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为. 【分析】可过 E 作 EMAD 于 M,交 BC 于 N, E 为 CD 中点,从而易得 RtDMERtCNE, 而 DM=NC= 1 2 (AD+BC)=15 2 ,AM=15 2 -5= 5 2 . 又 EM=EN= 1 2 AB=6, 故在 RtAEM 中,有 AE 2=AM2+EM2=(5 2 ) 2+62=25 4 +
6、36=169 4 ,AE=13 2 . 例例 4 4 已知,如图,在四边形 ABCD 中.ABC=90,CDAD 于点 D,且 CD 2+AD2=2AB2. (1)求证 AB=BC; (2)当 BEAD 于点 E 时,试证明:BE=AE+CD. 【分析】 (1)由条件 CD 2+AD2=2AB2, 并结合图形, 有 CD2+AD2=AC2, 又 AC2AB2+BC2 (连接 AC) ,从而 2AB 2=AB2+BC2,有 BC=AB(勾股定理功不可没) ; (2)过 C 作 CFBE 于 F,由 AB=BC,ABE=BCF,AEB=CFB,知ABE BCF,有 BF=AE,且 CD=FE,故
7、BE=BF+FE=AE+CD. 例例 5 5 如图,点 P 为正方形 ABCD 内一点,且 PA=1,PB=2,PC=3,求APB 的度数. 解: 将APB 绕点 B 顺时针旋转 90, 至BPC 位置, 连 PP (如图所示) , 易知 BP=BP2,PBP=90,且BPA=BPC,PC=PA=1. 在 RtBPP中,有 BP 2+BP2=PP2,即 PP2=22+22=8.又 PC=1. PP2+PC 2=8+1=9,而 PC=3, PC 2=9.故PPC 为直角三角形,且PPC=90. 又 BP=BP,PBP=90, BPP=45,故BPC=45+90=135,从而APB=135. 【教学说明】例 1、例 2 可由学生独立完成,例 3、4、5 由师生共同探究获 得结论,通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用. 四、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习, 你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识?你还有哪 些疑问?与同伴交流. 1.布置作业:从教材“复习题 17”中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本章的复习应紧紧围绕 “勾股定理” 这个中心, 师生一起共同回顾本章知识, 并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外, 教案中安排的五个例 题应先让学生试着解答,教师再予以点拨,以达到复习的效果.