1、专题专题 07 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 一、单选题一、单选题 1 （2020 洞口县第九中学高二月考）过点( 13)P ，且垂直于直线 23 0 xy 的直线方程为（ ） A2 1 0 xy B250 xy C250 xy D270 xy 2 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）与直线210 xy 关于x轴对称的直线方程为（ ） A2 10 xy B210 xy C2 10 xy D210 xy 3 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）两条平行线 1:3 410lxy-=与 2:6 870lxy-=间的距离为 ( ) A 1 2 B 3 5 C 6 5 D1
2、4 （2020 哈密市第十五中学高二期末）已知直线l过点(1,1)，且与直线6540 xy平行，则l的方程 为（ ） A56110 xy B5610 xy C65110 xy D6510 xy 5 （2018 山西省山西大附中高二期中（文） ）已知点1,2P与直线l： 10 xy ，则点P关于直线l的 对称点坐标为 A3, 1 B2,4 C3, 2 D2, 2 6 （2020 广东省高三月考（文） ）已知直线 l1：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10，则“l1l2”的必要不充 分条件是（ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 Dm2 或 m1 7 （2018 山西省山西实验中学高二
3、期中）无论m取何值，直线31411210mxmym 都恒过 一个定点，则定点的坐标为（ ） A( 8,9) B(9, 8) C(15, 14) D( 14,15) 8 （2019 浙江省镇海中学高一期末）已知点1,0aa 到直线: 20l xy 的距离为 1，则a的值为 （ ） A 2 B2 2 C 2 1 D 21 9 （2019 陕西省高三月考（理） ）已知直线 l1：2xy2=0 与直线 l2：3x+y8=0 的交点为 P，则点 P 到直 线 l：y=2x 5 的距离为（ ） A 4 5 B 305 5 C 6 55 5 D 65 5 10 （2018 山西省山西大附中高二期中 （文）
4、） 已知直线l过直线 1: 10lxy 与直线 2:2 380lxy 的 交点，且点0,4P到直线l的距离为 2，则这样的直线l的条数为 A0 B1 C2 D3 二、多选题二、多选题 11 （2020 江苏省启东中学高一开学考试） （多选题）下列说法正确的是（ ） A直线 20 xy与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B点(0,2)关于直线 1yx 的对称点为(1,1) C过 11 ( ,)x y， 22 (,)xy两点的直线方程为 11 2121 yyxx yyxx D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 20 xy 12 （2018 全国单元测试）已知直线 1: 10lx
5、y ，动直线 2:( 1)0()lkxkykkR，则下列结论 错误 的是（ ） A不存在k，使得 2 l的倾斜角为 90 B对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 C对任意的k， 1 l与 2 l都不 重合 D对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 13 （2019 山东省高二期末）已知直线: 310lxy ，则下列结论正确的是（ ） A直线l的倾斜角是 6 B若直线:310,m xy 则lm C点( 3,0)到直线l的距离是2 D过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 340 xy 三、填空题三、填空题 14 （2019 浙江省高三月考）已知两条平行直线 1: 10laxy 与 2: 3
6、0lxy的距离为d，则 a_，d _. 15 （2020 江苏省启东中学高一开学考试）直线3450 xy关于点 (2, 3)M对称的直线的方程为 _. 16 （2020 山西省高二期末（文） ）将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点0,2A与4,0B重合，若此 时点0,4C恰与点 D 重合，则点 D 的坐标是_ 17 （2019 陕西省高二竞赛）已知,m n为正数，且直线05)2(ynx与直线30nxmy互相垂 直，则2mn的最小值为_ 四、解答题四、解答题 18 （2019 四川省仁寿一中高二期中（文） ）已知直线 1 l经过点,1A m，3,4B ，直线 2 l经过1,Cm， 1,1Dm.
7、（1）若 12 /ll，求实数m的值； （2）若 12 ll，求实数m的值. 19 （2020 四川省高二期末（文） ）求经过直线 1:3 210lxy 和 2:5 210lxy 的交点，且平行于直 线 3:3 60lxy的直线的方程. 20 （2019 四川省绵阳南山中学高二期中（理） ）在ABC 中， BC 边上的高所在直线的方程为 x2y10， A 的角平分线所在直线的方程为 y0，若点 B 的坐标为(1,2)，求点 A 和点 C 的坐标 21 （2020 陕西省陕西师大附中高一期末） 已知直线 l1：axyb0；l2：bxya0(aR，bR) (1)直线 l1，l2能否平行？说明理由；
8、 (2)若直线 l1，l2重合，求证：点 P(a，b)与点 Q(b，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线 l1，l2的交点共线 22 （2020 江苏省启东中学高一开学考试）已知直线: 20lab xab yab及点3,4P 1证明直线l过某定点，并求该定点的坐标 2当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程 23 （2019 浙江省效实中学高一期中） 三角形ABC中， 边AB和AC所在的直线方程分别为 3100 xy 和20 xy，BC的中点为(3,1)M. （1）求, ,A B C的坐标； （2）求角B的内角平分线所在直线的方程. 专题专题 07 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐
9、标与距离公式 一、单选题一、单选题 1 （2020 洞口县第九中学高二月考）过点( 13)P ，且垂直于直线 23 0 xy 的直线方程为（ ） A2 1 0 xy B250 xy C250 xy D270 xy 【答案】A 【解析】 根据题意，易得直线23 0 xy 的斜率为 1 2 ， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2， 又知其过点( 13) ， 由点斜式得所求直线方程为32(1)21 0yxxy 故选：A 2 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）与直线2 10 xy 关于x轴对称的直线方程为（ ） A2 10 xy B210 xy C2 10 xy D210 xy 【答案】
10、A 【解析】 设对称直线上的点为,P x y， 则其关于x轴的对称点,Q xy在直线210 xy 上， 所以210 xy 即210 xy ，选 A. 点睛：若直线 22 :00l AxByCAB ，那么l关于x轴的对称直线的方程为0AxByC，关 于y轴的对称直线的方程为0AxByC，关于直线y x 对称的直线的方程0BxAyC . 3 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）两条平行线 1:3 410lxy-=与 2:6 870lxy-=间的距离为 ( ) A 1 2 B 3 5 C 6 5 D1 【答案】A 【解析】 直线 2 7 :340 2 lxy，所以两条平行线间的距离为 2 2
11、7 5 1 21 2 52 34 . 故选：A 4 （2020 哈密市第十五中学高二期末）已知直线l过点(1,1)，且与直线6540 xy平行，则l的方程为 （ ） A56110 xy B5610 xy C65110 xy D6510 xy 【答案】D 【解析】 设直线l的方程为650 xym，又因为该直线过点(1,1)，所以056m，即1m，l的方程为 6510 xy ；故选 D 5 （2018 山西省山西大附中高二期中（文） ）已知点1,2P与直线l： 10 xy ，则点P关于直线l的 对称点坐标为 A3, 1 B2,4 C3, 2 D2, 2 【答案】C 【解析】 设1,2P关于直线l：
12、10 xy 对称的点为( , )Q a b， 则 2 (1 )1 1 12 10 22 b a ab ， 解得 3 2 a b ， 即1 , 2P 关于直线l：10 xy 对称的点为( 3, 2).故选 C. 6 （2020 广东省高三月考（文） ）已知直线 l1：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10，则“l1l2”的必要不充 分条件是（ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 Dm2 或 m1 【答案】C 【解析】 直线 l1：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10， 若 l1l2，则 m（m+1）-20，解得：m2 或 m1 当 m1 时，l1与 l2重合，故“l1l2”“
13、m2”， 故“l1l2”的必要不充分条件是“m-2 或 m1”， 故选：C 7 （2018 山西省山西实验中学高二期中）无论m取何值，直线31411210mxmym 都恒过 一个定点，则定点的坐标为（ ） A( 8,9) B(9, 8) C(15, 14) D( 14,15) 【答案】A 【解析】 由题直线31411210mxmym ， 即341210mxyxy ，令 34120 10 xy xy ， 解得 8 9 x y ，所以该直线过定点( 8,9). 故选：A 8 （2019 浙江省镇海中学高一期末）已知点1,0aa 到直线: 20l xy 的距离为 1，则a的值为 （ ） A 2 B2
14、 2 C 2 1 D 21 【答案】D 【解析】 由题, 22 12 112 11 a a ,因为0a,故2 1 a . 故选：D 9 （2019 陕西省高三月考（理） ）已知直线 l1：2xy2=0 与直线 l2：3x+y8=0 的交点为 P，则点 P 到直 线 l：y=2x 5 的距离为（ ） A 4 5 B 305 5 C 6 55 5 D 65 5 【答案】C 【解析】 联立 220 380 xy xy ，得 P（2，2） ， 点 P（2，2）到直线 l：y=2x 5 的距离 65 6 55 55 d 故选：C 10 （2018 山西省山西大附中高二期中 （文） ） 已知直线l过直线
15、1: 10lxy 与直线 2:2 380lxy 的 交点，且点0,4P到直线l的距离为 2，则这样的直线l的条数为 A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】 方法一 由 230 2 380 xy xy ，得 1 2 x y ，即直线l过点( ) 1,2，设1,2Q,因为 22 1 02452PQ ,所以满足条件的直线l有 2 条.故选 C. 方法二 依题意，设经过直线 12 ,l l交点的直线l的方程为 238230 xyxyR ，即23 2380 xy .由 题意得 22 12-83 -8 2 23-2 ，化简得 2 5-8 -360，解得-2或 18 5 ，代入得直线l的方程为 2y
16、或4 320 xy ，故选 C. 二、多选题二、多选题 11 （2020 江苏省启东中学高一开学考试） （多选题）下列说法正确的是（ ） A直线 20 xy与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B点(0,2)关于直线 1yx 的对称点为(1,1) C过 11 ( ,)x y， 22 (,)xy两点的直线方程为 11 2121 yyxx yyxx D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 20 xy 【答案】AB 【解析】 A中直线在坐标轴上的截距分别为2，2， 所以围成三角形的面积是2正确， B中 0+1 2 1 (,) 22 在直线 1yx 上，且(0,2),(1,1)连线的斜
17、率为1，所以 B 正确，C 选项需要条件 2121 ,yy xx，故错误，D 选项错误， 还有一条截距都为 0 的直线y x . 12 （2018 全国单元测试）已知直线 1: 10lxy ，动直线 2:( 1)0()lkxkykkR，则下列结论 错误 的是（ ） A不存在k，使得 2 l的倾斜角为 90 B对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 C对任意的k， 1 l与 2 l都不 重合 D对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 【答案】AC 【解析】 逐一考查所给的选项： A.存在0k ，使得 2 l的方程为 0 x，其倾斜角为 90 ，故选项不正确 B 直线 1: 10lxy 过定点0
18、, 1，直线 2: 1010lkxkykkRk xyx过定点 0, 1，故 B 是正确的 C.当 1 2 x 时，直线 2 l的方程为 111 0 222 xy，即10 xy ， 1 l与 2 l都重合，选项 C 错误； D.两直线重合，则： 1110kk ，方程无解，故对任意的k，1l与2 l都不垂直，选项 D 正确 故选：AC. 13 （2019 山东省高二期末）已知直线: 310lxy ，则下列结论正确的是（ ） A直线l的倾斜角是 6 B若直线:310,m xy 则lm C点( 3,0)到直线l的距离是2 D过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 340 xy 【答案】CD 【解析】
19、 对于 A直线310lxy ：的斜率 ktan3，故直线 l 的倾斜角是 3 ，故 A 错误； 对于 B因为直线310mxy ：的斜率 k 3 3 ，kk11，故直线 l 与直线 m 不垂直，故 B 错误； 对于 C点3 0，到直线 l 的距离 d 2 2 330 1 31 2，故 C 正确； 对于 D过2 3 2，与直线 l 平行的直线方程是 y23（x23） ，整理得：340 xy，故 D 正确 综上所述，正确的选项为 CD 故选：CD 三、填空题三、填空题 14 （2019 浙江省高三月考）已知两条平行直线 1: 10laxy 与 2: 30lxy的距离为d，则 a_，d _. 【答案】
20、-1 2 2 【解析】 因为 12 ll，所以 1a，两直线的距离为 4 2 2 2 d . 故答案为：-1；2 2. 15 （2020 江苏省启东中学高一开学考试）直线345 0 xy 关于点(2, 3)M对称的直线的方程为 _. 【答案】34410 xy 【解析】 设所求直线上任一点坐标为( , )P x y，P点关于点(2, 3)M对称的点为 00 ,x y 根据坐标中点公式可得： 0 0 2 2 3 2 xx yy 解得： 0 0 4 6 xx yy 点 00 ,x y在直线3450 xy 00 3450 xy 将代入可得：3(4)4( 6)50 xy 整理可得：34410 xy. 故
21、答案为：34410 xy. 16 （2020 山西省高二期末（文） ）将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点0,2A与4,0B重合，若此 时点0,4C恰与点 D 重合，则点 D 的坐标是_ 【答案】 28 6 , 55 【解析】 设折线方程为y kxb ， 1 2 AB k ，故2k ，AB中点为2,1，故3b. 故23yx. 设 ,D m n，则 41 2 4 23 22 n m nm ，解得 28 5 m ， 6 5 n . 故答案为： 28 6 , 55 . 17 （2019 陕西省高二竞赛）已知,m n为正数，且直线05)2(ynx与直线30nxmy互相垂 直，则2mn的最小值为_ 【答
22、案】9 【解析】 因为直线05)2(ynx与直线30nxmy互相垂直， 因为 n-（n-2）m=0,所以 2m+n=mn， 从而有1 12 mn 9 22 25) 12 )(2(2 m n n m mn nmnm， 故答案为：9 四、解答题四、解答题 18 （2019 四川省仁寿一中高二期中（文） ）已知直线 1 l经过点,1A m，3,4B ，直线 2 l经过1,Cm， 1,1Dm. （1）若 12 /ll，求实数m的值； （2）若 12 ll，求实数m的值. 【答案】 （1）3m； （2） 9 2 m . 【解析】 （1） 2 1 2 k ，若 12 /ll， 1 14 1 23 k m
23、，3m； （2） 2 1 2 k ，若 12 ll， 1 4 1 2 3 k m ， 9 2 m . 19 （2020 四川省高二期末（文） ）求经过直线 1:3 210lxy 和 2:5 210lxy 的交点，且平行于直 线 3:3 60lxy的直线的方程. 【答案】350 xy 【解析】 由 3210 5210 xy xy ，求得 1 2 x y ， 故直线 1:3 210lxy 和 2:5 210lxy 的交点为1,2， 设所求的直线的方程为30 xyc，再把点1,2代入， 求得5c ， 故所求的直线的方程为350 xy. 20 （2019 四川省绵阳南山中学高二期中（理） ）在ABC
24、中， BC 边上的高所在直线的方程为 x2y10， A 的角平分线所在直线的方程为 y0，若点 B 的坐标为(1,2)，求点 A 和点 C 的坐标 【答案】1,0,5, 6 【解析】 由方程组 210, 0, xy y 解得点 A 的坐标为(1,0) 又直线 AB 的斜率 kAB1，x 轴是A 的平分线， 所以 kAC1，则 AC 边所在的直线方程为 y(x1) 又已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x2y10， 故直线 BC 的斜率 kBC2， 所以 BC 边所在的直线方程为 y22(x1) 解组成的方程组得 5, 6, x y 即顶点 C 的坐标为(5，6) 21 （2020 陕西省陕西
25、师大附中高一期末） 已知直线 l1：axyb0；l2：bxya0(aR，bR) (1)直线 l1，l2能否平行？说明理由； (2)若直线 l1，l2重合，求证：点 P(a，b)与点 Q(b，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线 l1，l2的交点共线 【答案】(1)直线 l1，l2不能平行 (2)见解析 (3) 见解析 【解析】 (1)由题意，假设直线 1: 0laxyb与 2: 0lbxya平行， 则满足 1221 0ABA B且 1221 0BCB C，即()0ab 且0a b ，显然矛盾， 所以直线 12 ,l l不能平行 (2)证明：若直线 12 ,l l重合，由（1）可知必有 0
26、ab，故点 ( , )P a b与点( , )Q b a在同一条直线上 (3)证明：若两条直线 12 ,l l相交，可得0ab， 解方程组 0 0 axyb bxya ，得 1x yba ，故直线的交点为( 1,)ba， 由此可得直线的交点都在直线1x上 22 （2020 江苏省启东中学高一开学考试）已知直线: 20lab xab yab及点3,4P 1证明直线l过某定点，并求该定点的坐标 2当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程 【答案】 （1）证明见解析,定点坐标为2,3（2）570 xy 【解析】 1直线l方程可化为：2110axyb xy 由 210 10 xy xy ，解得2x且
27、3y ， 直线恒l过定点A，其坐标为2,3 2直线恒l过定点2,3A 当点P在直线l上的射影点恰好是A时， 即PAl时，点P到直线l的距离最大 PA的斜率 431 325 PA k 直线l的斜率 1 5 PA k k 由此可得点P到直线l的距离最大时， 直线l的方程为352yx ，即570 xy 23 （2019 浙江省效实中学高一期中） 三角形ABC中， 边AB和AC所在的直线方程分别为 3100 xy 和20 xy，BC的中点为(3,1)M. （1）求, ,A B C的坐标； （2）求角B的内角平分线所在直线的方程. 【答案】 （1）1,3 , (2,4), (4, 2)ABC； （2）2
28、yx. 【解析】 （1）边AB和AC所在的直线方程分别为3100 xy和20 xy， 两直线方程联立解得1,3xy ， 点1,3A ， BC的中点为(3,1)M，设 1122 ( ,),(,)B x yC xy， 11 22 12 12 3100 20 +=6 2 xy xy xx yy ，解得 1 2 1 2 =2 4 =4 2 x x y y ， 即(2,4),(4, 2)BC， (2)BC 直线方程为 3x+y-10=0, 设角B的内角平分线所在直线的上的点为 P（x，y） ， 根据角平分线性质，P 点到 AB、BC 的距离相等， 可得 22 310 1 3 3 1 1 3 0 xyxy ， 化简可得+2100 xy或者20 xy， 根据三角形ABC在坐标系中位置， 可得角 B 内角平分线所在直线的斜率为正值， 故为20 xy.
