1、专题专题 28 二项式定理二项式定理 一、单选题一、单选题 1 （2020 北京高三一模）在 6 1 2x x 的展开式中，常数项是（ ） A160 B20 C20 D160 2 （2020 江苏省邗江中学高二期中）在 10 2 1 2 x x 的二项展开式中，含 11 x的项的系数是（ ） A10 B15 C20 D25 3 （2020 北京大峪中学高二期中） 5 2 2 1 11x x 的展开式的常数项是（ ） A3 B4 C3 D4 4 （2020 江苏省邗江中学高二期中）已知 9 210 01210 11.xxaa xa xa x，则 8 a （ ） A45 B27 C27 D45 5
2、 （2020 北京市鲁迅中学高二月考） 7 12x的展开式中系数最大的项为（ ） A第4 项 B第5 项 C第7 项 D第8 项 6 （2020 阳江市第三中学高二期中） 13 1x的展开式中，系数最小的项为（ ） A第 6 项 B第 7 项 C第 8 项 D第 9 项 7 （2020 辽宁省高三其他（理） ）已知二项式 1 2 1 (2)nx x 的展开式中，二项式系数之和等于 64，则展开式 中常数项等于（ ） A240 B120 C48 D36 8 （2020 扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在 n xy的展开式中第 4 项与第 8项的系数相等，则展 开式中系数最大的项是（ ） A第
3、6 项 B第 5项 C第 5、6项 D第 6、7项 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省扬州中学高二期中）已知 n ab的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n的值可以为 （ ） A7 B8 C9 D10 10 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）若 1 ()nx x 的展开式中第 3 项与第 8项的系数相等，则展开式中 二项式系数最大的项为（ ） A第 3 项 B第 4项 C第 5项 D第 6 项 11 （2020 福建省南安市侨光中学高二月考）关于 6 1 x x 的展开式，下列结论正确的是( ) A所有项的二项式系数和为 32 B所有项的系数和为 0 C常数项为20 D二
4、项式系数最大的项为第 3 项 12 （2020 江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ） A mn m nn CC B 1 1 mm nn mCnC C 1 11 mmm nnn CCC D 2222 012 2 nn nnnnn CCCCC 三、填空题三、填空题 13 （2020 上海复旦附中高二期中） 若 6226 016 (1)xaa xa xa x， 则 0126 aaaa=_. 14 （2020 上海交大附中高三期中）计算： 012 393n n nnnn CCCCL_. 15 （2020 山东省高二期中）二项式 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 16 （20
5、20 浙江省高三三模）二项式 7 2 2 x x 的展开式中，所有二项式系数的和是_，含 x的项 的系数是_ 四、解答题四、解答题 17 （2020 延安市第一中学高二期中（理） ）已知 727 0127 (12 )xaa xa xa x，求 （1） 017 aaa的值； （2） 0246 aaaa的值. 18 （2020 北京大峪中学高二期中）已知 1 n x x 展开式中的第三项的系数为45，求： （1）含 4 x的项； （2）二项式系数最大的项 19 （2020 湖北省高二期中）已知 2 n x x 的展开式中第 4项与第 5项的二项式系数相等 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2
6、）求展开式中系数最大的项 20 （2020 怀仁市第一中学校高二月考（理） ）已知（x+ 1 2 x ）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等 （1）求 n 的值； （2）求展开式中所有的有理项 21 （2020 江西省上高二中高二月考（理） ）在二项式 4 1 () 2 n x x 的展开式中，前三项的系数依次成等差 数列 （1）求展开式中的所有有理项； （2）求系数最大的项 22 （2020 广西壮族自治区钦州一中高二月考（理） ）已知 1 2 n x x 展开式前三项的二项式系数和为 22 （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项 专题专题 28
7、二项式定理二项式定理 一、单选题一、单选题 1 （2020 北京高三一模）在 6 1 2x x 的展开式中，常数项是（ ） A160 B20 C20 D160 【答案】A 【解析】 6 1 2x x 展开式的通项公式为 6 66 2 166 2112 rrr rrrrr r TCxxCx ， 令6 20r，可得3r ，故 6 1 2x x 展开式的常数项为 3 6 8160C ， 故选：A. 2 （2020 江苏省邗江中学高二期中）在 10 2 1 2 x x 的二项展开式中，含 11 x的项的系数是（ ） A10 B15 C20 D25 【答案】B 【解析】 10 2 1 2 x x 的二项
8、展开式的通项为 2 1020 3 11010 11 () 22 rr rrrr r TCxC x x 令20311r，解得3r 含 11 x的项的系数是 3 3 10 1 15 2 C 故选：B 3 （2020 北京大峪中学高二期中） 5 2 2 1 11x x 的展开式的常数项是（ ） A3 B4 C3 D4 【答案】D 【解析】 5 2 1 1 x 展开式中的第1k项为 5 210 155 2 1 11 k kk kkk k TCC x x ， 当2102k ，即4k 时，此时 4 4 5 15C； 当2100k，即5k 时，此时 5 5 5 11C .则5 14 . 故选:D. 4 （2
9、020 江苏省邗江中学高二期中）已知 9 210 01210 11.xxaa xa xa x，则 8 a （ ） A45 B27 C27 D45 【答案】A 【解析】 当1x取 1时， 9 1x取 8个x，则 1 89 1aC ， 当 1x 取 x时， 9 1x取 7 个x，则 2 7 89 11aC ， 所以 2 71 899 11145aCC . 故选：A 5 （2020 北京市鲁迅中学高二月考） 7 12x的展开式中系数最大的项为（ ） A第4 项 B第5 项 C第7 项 D第8 项 【答案】B 【解析】 7 12x的展开式的通项公式为： 177 22 rr rrr r TCxCx， 要
10、使系数最大，则 r为偶数，且 r 只可能从 2，4，6 中选， 故 2 2 77 22 rr rr CC，且 2 2 77 22 rr rr CC， 所以 7!7! 4 ! 7!2 ! 9!rrrr ，且 7!7! 4 ! 7!2 ! 5!rrrr ， 所以 41 198 r rrr ，且 14 7621 rrrr ， 经验证：当4r 时，符合， 所以 7 12x的展开式中系数最大的项为第五项， 故选：B 6 （2020 阳江市第三中学高二期中） 13 1x的展开式中，系数最小的项为（ ） A第 6 项 B第 7 项 C第 8 项 D第 9 项 【答案】C 【解析】 由题设可知展开式中的通项公
11、式为 11313 ()( 1) rrrrr r TCxC x ，其系数为 13 ( 1)r r C，当r为奇数时展开式 中项的系数 13 ( 1)r r C最小，则7r ，即第 8 项的系数最小，应选答案 C. 7 （2020 辽宁省高三其他（理） ）已知二项式 1 2 1 (2)nx x 的展开式中，二项式系数之和等于 64，则展开式 中常数项等于（ ） A240 B120 C48 D36 【答案】A 【解析】 由题意264 n ，解得6n，则 11 6 22 11 (2)(2) n xx xx ， 则二项式 1 6 2 1 (2)x x 的展开式的通项公式为 6 13 3 6 22 166
12、 1 22 r r r rrr r TCxCx x ， 令 3 30 2 r即2r =，则 642 66 22240 rr CC . 故选：A. 8 （2020 扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在 n xy的展开式中第 4 项与第 8项的系数相等，则展 开式中系数最大的项是（ ） A第 6 项 B第 5项 C第 5、6项 D第 6、7项 【答案】A 【解析】 因为 n xy的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第 4项与第 8 项的系数相等 所以 37 nn CC，所以10n 所以展开式里系数最大的项是第 6项 故选：A 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省扬州中学高二期中）已知
13、n ab的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n的值可以为 （ ） A7 B8 C9 D10 【答案】ABC 【解析】 已知 n ab的展开式中第 5项的二项式系数 4 n C最大,则7n或 n8或 n9 故选：ABC. 10 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）若 1 ()nx x 的展开式中第 3 项与第 8项的系数相等，则展开式中 二项式系数最大的项为（ ） A第 3 项 B第 4项 C第 5项 D第 6 项 【答案】CD 【解析】 由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第 3项与第 8项的系数为 27 , nn CC， 又因为其相等，则9n 所以该展开式
14、中二项式系数最大的项为 9 1 15 2 与 9 1 16 2 项 即为第 5项；第 6 项. 故选：CD 11 （2020 福建省南安市侨光中学高二月考）关于 6 1 x x 的展开式，下列结论正确的是( ) A所有项的二项式系数和为 32 B所有项的系数和为 0 C常数项为20 D二项式系数最大的项为第 3 项 【答案】BC 【解析】 解：二项式 6 1 x x 展开式的通项为 66 2 166 1 1 r r rrrr r TC xC x x 令6 20r，解得3r ，则常数项为 3 3 46 120TC ，故 C 正确； 且二项式系数最大的项为第 4项，故 D错误； 二项式系数和 01
15、234566 6666666 264CCCCCCC； 令1x ，得所有项的系数和为 0，故 A错误，B正确； 故选：BC 12 （2020 江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ） A mn m nn CC B 1 1 mm nn mCnC C 1 11 mmm nnn CCC D 2222 012 2 nn nnnnn CCCCC 【答案】ABD 【解析】 对于A，因为 ! !()! m n n C m nm ， ! ()!()!()! n m n nn C nmnnmm nm ，所以 mn m nn CC ，即A正 确； 对于B， !(1)! !()!(1)! ()! m n nn
16、n mCmm m nmmmnm (1)! (1)!(1)(1)! n n mnm 1 1 m n nC ， 故B正 确； 对于C，当1mn时，左边 2 2 1C，右边 11 12 123CC ，等式不成立，故C不正确； 对于D，因为 2 (1)(1)(1) nnn xxx， 等式左边 n x的系数为： 011220nnnn nnnnnnnn CCCCCCCC 001122nn nnnnnnnn CCCCCCCC 0212222 ()()()() n nnnn CCCC， 等式右边 n x的系数为： 2 n n C， 所以 2222 012 2 nn nnnnn CCCCC，故D正确. 故选：A
17、BD 三、填空题三、填空题 13 （2020 上海复旦附中高二期中） 若 6226 016 (1)xaa xa xa x ， 则 0126 aaaa =_. 【答案】64 【解析】 在 6226 016 (1)xaa xa xa x 中，令1x 可得， 6 0126 1 1aaaa. 所以 6 0126 264aaaa 故答案为：64. 14 （2020 上海交大附中高三期中）计算： 012 393n n nnnn CCCCL_. 【答案】4n 【解析】 由题得原式= 001122 3333(1 3)4 nnnn nnnn CCCCL. 故答案为：4n 15 （2020 山东省高二期中）二项式
18、 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 【答案】40 【解析】 依题意，二项式展开式的通项公式为 5 2110 3 155 22 rr r rrr r TCxxCx ，当10 3 4,2rr ， 故 4 x的系数是 2 2 5 240C. 16 （2020 浙江省高三三模）二项式 7 2 2 x x 的展开式中，所有二项式系数的和是_，含 x 的项 的系数是_ 【答案】128 84 【解析】 由题意所有二项式系数的和为 7 2128， 题中二项式展开式通项公式为 77 3 177 2 2 ()2 rrrrrr r TC xC x x ，令7 31r，2r =， 所以含 x的项的系数
19、是 22 7 284C 故答案为：128；84 四、解答题四、解答题 17 （2020 延安市第一中学高二期中（理） ）已知 727 0127 (12 )xaa xa xa x，求 （1） 017 aaa的值； （2） 0246 aaaa的值. 【答案】 （1）1； （2）1093 【解析】 （1）令1x ，则 7 017 1 21aaa； （2）令1x，则 012367 2187aaaaaa 令0 x，则 0 1a 1237 2aaaa 由得 0246 2218722185aaaa，即 246 1092aaa 0246 1 10921093aaaa 18 （2020 北京大峪中学高二期中）已
20、知 1 n x x 展开式中的第三项的系数为45，求： （1）含 4 x的项； （2）二项式系数最大的项 【答案】 （1） 4 120 x； （2）252. 【解析】 （1） 1 n x x 展开式的通项为 2 1 1 n r rrrr n rnn TCxCx x ， 由于展开式中第三项的系数为45，即 2 45 n C ，即 1 45 2 n n ，整理得 2 900nn， nN ，解得10n，则展开式通项为 210 110 rr r TCx ， 令2104r，解得7r ，因此，展开式中含 4 x的项为 744 810 120TCxx； （2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为
21、5 610 252TC. 19 （2020 湖北省高二期中）已知 2 n x x 的展开式中第 4项与第 5项的二项式系数相等 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项 【答案】 （1） 1 4 280Tx ， 5 2 5 560Tx ； （2） 5 2 5 560Tx 【解析】 （1）由题意知 34 nn CC，7n 又 7 2 x x 展开式的通项为： 77 3 22 1777 2 22 r rr r r rr rrr r TCxC xC x x 展开式中共有 8 项，其中二项式系数最大的项为第 4，第 5项 所以 7 9 3 31 2 47 2280TC xx
22、， 7 125 4 4 22 57 2560TC xx （2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在0r ，2，4，6时， 也即在 1 T， 3 T， 5 T， 7 T中产生， 而 7 2 1 Tx ， 1 2 3 84Tx ， 5 2 5 560Tx ， 11 2 7 448Tx 故系数最大的项为第 5项 5 2 5 560Tx 20 （2020 怀仁市第一中学校高二月考（理） ）已知（x+ 1 2 x ）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等 （1）求 n 的值； （2）求展开式中所有的有理项 【答案】 （1）5n； （2） 5 1 Tx, 2 3 5 2 Tx, 5 5 16
23、T x 【解析】 二项式 1 () 2 n x x 展开式的通项公式为 3 2 1 11 22 r r nr rn rr rnn TCxCx x ，0,1,2rn； （1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 2 12 11 22 nn CC ， 即 111 242 n n n , 解得5n； （2）二项式展开式的通项公式为 3 5 2 15 1 2 r r r r TCx ，0,1,2rn； 当0,2,4r 时,对应项是有理项, 所以展开式中所有的有理项为 0 055 15 1 2 TCxx , 2 25 32 35 15 22 TCxx , 4 45 6 55 15 216 TCx
24、x 21 （2020 江西省上高二中高二月考（理） ）在二项式 4 1 () 2 n x x 的展开式中，前三项的系数依次成等差 数列 （1）求展开式中的所有有理项； （2）求系数最大的项 【答案】 （1），（2）和 【解析】 （1） 由题设可知 解得 n=8 或 n=1（舍去） 当 n=8时，通项 据题意，必为整数，从而可知 r必为 4的倍数，而 0r8 r=0，4，8，故 x的有理项为， （2）设第 r+1 项的系数 tr+1最大，显然 tr+10，故有1 且1 ， 由1得 r3 又，由1 得：r2 r=2 或 r=3所求项为和 22 （2020 广西壮族自治区钦州一中高二月考（理） ）已
25、知 1 2 n x x 展开式前三项的二项式系数和为 22 （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项 【答案】 （1）6； （2）60； （3） 3 2 160 x . 【解析】 由题意， 1 (2)nx x 展开式前三项的二项式系数和为 22 (1)二项式定理展开：前三项二项式系数为： 012 1 122 2 nnn n n CCCn ， 解得：6n或7(n 舍去) 即 n的值为 6 (2)由通项公式 3 6 66 2 166 1 (2 )()2 k kkkkk k TCxCx x ， 令 3 60 2 k ， 可得：4k 展开式中的常数项为 12 6 46 4 2 4 162 60TCx ； 3n是偶数，展开式共有 7 项.则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为 93 6 36 3 22 3 162 160TCxx
