1、第十一讲 质数与合数 1.1.质数与合数质数与合数 2.2.质因数与分解质因数质因数与分解质因数（算术基本定理）（算术基本定理） 3.3.利用分解质因数求约数的个数利用分解质因数求约数的个数 4.4.质数，合数有下面常用的性质：质数，合数有下面常用的性质： 1.在有些问题的解决中适当地考虑到自然数的奇偶性和是否为质数或合数的特点， 恰当地应 用这些特点可简便、快捷地解决问题。 2.能应用质数与合数的性质解题。 例例 1：在三位愉快的教士面前有一个画有在三位愉快的教士面前有一个画有 16 个方格的台面，上面放有个方格的台面，上面放有 10 个硬币，每个硬币个硬币，每个硬币 占一个方格。教士们绞尽
2、脑汁想用这占一个方格。教士们绞尽脑汁想用这 10 个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行 可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线。即图可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线。即图 1 中的硬币如何重新布局才能排出尽中的硬币如何重新布局才能排出尽 可能多的硬币个数是偶数的行。可能多的硬币个数是偶数的行。 例例 2：用五个奇数数码能否组成自然数用五个奇数数码能否组成自然数 14。 例例 3：有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的只数的一半。商人买一只有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的只数的一半。商人买一只 狗花狗
3、花 2 元钱，和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价元钱，和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价 10。这个商人卖出了大部分。这个商人卖出了大部分 狗和兔子，最后剩下狗和兔子，最后剩下 7 只。他只。他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚的发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚的 钱也就是这剩下的钱也就是这剩下的 7 只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱？只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱？ 例例 4：解答下列各题：解答下列各题： （1）7 个相邻的奇数的和是个相邻的奇数的和是 147，求这，求这 7 个数。个数。 （2）三个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数）三
4、个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数 48，请把中间的四个数字填出，请把中间的四个数字填出 来。来。 例例 5：求自然数中前求自然数中前 25 个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？ 例例 6：求求 270 的约数个数。的约数个数。 例例 7：求合数求合数 2730 的约数中，其中最小的三位数约数是多少？的约数中，其中最小的三位数约数是多少？ A A 1.已知三个不同的质数 a，b，c 满足 abbc+a=2000，那么 a 十 b 十 c= 2.不超过 100 的所有质数的乘积减去不超过 60 且个位数字为 7 的所有质数的乘积所得之差 的个位数字是(
5、 ) A3 B1 C7 D9 3.求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数 4. (1)将 l，2，2004 这 2004 个数随意排成一行，得到一个数 N求证：N 一定是合数； (2)若 n 是大于 2 的正整数，求证：2n一 1 与 2n+1 中至多有一个是质数 5.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 xcm 规格的地砖，恰用 n 块； 若选田边长为 ycm 规格的地砖， 则要比前一种刚好多用 124 块 已知 x， y、 n 都是正整数 且 (x，y)1试问这块地有多少平方米? B B 6.由超级计算机运算得到的结果 28594331 是一个质数，则 285
6、9433+1 是( ) A质数 B合数 C 奇合数 D偶合数 7.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 x()规格的地砖，恰用 n 块； 若选用边长为了 y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块已知 x， 、y、n 都是正整 数，且(x，y)=1试问：这块地有多少平方米? 8. p 是质数，p 4+3 仍是质数，求 p5+3 的值 9. 已知正整数 p 和 q 都是质数，且 7p+q 与 pq+11 也都是质数，试求 pq+qp的值 10.若 n 为自然数，n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 3 所得的余数 C C 11.设 a、b、c、d 都是自然数，且
7、 a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d 定是合数 12.正整数 m 和 m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是 p，求 2 22 p nm 的值 13.若 a、b、c 是 1998 的三个不同的质因数，且 abc，则(b+c)a的值是多少? 14. n 是不小于 40 的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和 15. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问： (1)能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数? (2)能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举
8、一例；若不能办到，请说明理由 16. 写出 5 个正整数，使它们的总和等于 20，而它们的积等于 420 17，若自然数 n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 6 的余数 1在 l，2，3，n 这 n 个自然数中，已知共有 p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶 数，则(q 一 m)十(p 一 k) 2p 是质数，并且 p+3 也是质数，则 p11一 52 3若 a、b、c、d 为整数，且(a2+b2)(c2+d2)=1997，则 a2+b2+c2+d2= 4已知 a 是质数，b 是奇数，且 a2+b2001，则 a+b 5以下结论中( )个结论不正确 (1) 1 既不是合数也不是
9、质数；(2)大于 0 的偶数中只有一个数不是合数； (3)个位数字是 5 的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是 3 的倍数的自然 数，个个都是合数 A1 B2 C 3 D4 6若 p 为质数，p3+5 仍为质数，p5+7 为( ) A质数 B可为质数也可为合数 C合数 D既不是质数也不是合数 7超级计算机曾找到的最大质数是 2859433一 1，这个质数的末尾数字是( ) A1 B3 C7 D9 8若正整数 a、b、c 满足 222 cba，a 为质数，那么 b、c 两数( ) A同为奇数 B同为偶数 C一奇一偶 D同为合数 1 四年级全年级共有学生三百名， 现在选派一位同学去
10、观看文艺会演。 挑选的方法是： 先把三百名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学 站在原位置上不动，再报数。如此继续下去，最后剩下的一名同学便是观看会演的人选。丁 丁非常想去，那么让丁丁站在什么位置上能被选中？ 2100 个箱子，分装到 9 只船上，要使每只船上都装奇数个箱子，问能否办到？为什 么？ 3由 1 一直加到 2001，和是奇数还是偶数？ 4199 个偶数之和与 199 个奇数之和的差是奇数还是偶数？ 5三个相邻偶数的乘积是一个六位数 82，求这三个偶数。 6今有一队同学，每个人手里都有一个球，如果其中拿篮球的人比拿足球的多 1 人， 而拿足球的又比拿
11、排球的多 1 人， 设拿排球的人数是奇数， 那么这一队同学的总人数是奇数 还是偶数。 72001 名同学参加智力竞赛，竞赛题共 30 题，评分标准是：基础分 15 分，答对一道 加 5 分，不答记 1 分，答错一道减 1 分，试说明所有参加竞赛的同学得分总和一定是奇数。 8有两个两位数的积是 3828，求这两个数。 9用某个比 32 小的自然数去乘 32，使得积恰好是一个平方数，求这个数是多少？ 10有 5 个小朋友，年龄逐个增加 1 岁，5 个人的年龄乘积是 720，问他们的年龄各是 多少岁？ 11由 0、l、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字任意排成一个十位数，那么这个十 位数是质数还是合数
