1、19.2 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式 RR 八年级数学下册八年级数学下册 新课导入 数学知识之间是相互联系的数学知识之间是相互联系的，一次函数一次函数 知识并不是孤立的知识并不是孤立的，其实它与以前我们学过其实它与以前我们学过 的有关知识有密切联系的有关知识有密切联系.今天我们来探讨一次今天我们来探讨一次 函数与方程函数与方程、不等式之间的联系不等式之间的联系. 学习目标 (1)会从函数的角度看方程会从函数的角度看方程(组组)解的意义解的意义. (2)会从函数的角度看不等式的解集的意义会从函数的角度看不等式的解集的意义. (3)会将函数问题转化为解方程会将函数问题转化为解方
2、程(组组)或不等式或不等式(组组)问题问题. 推进新课 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 知识点知识点 1 这这3个方程有个方程有 什么共同点什么共同点 和不同点和不同点？ 例例1 x 210 x 211x 213 观观 察察 相同点：等号左边都是相同点：等号左边都是 ， 不同点：等号右边分别是不同点：等号右边分别是 ， ， . 2x+1 3 0 -1 x 210 x 211x 213 你能从函数的角度你能从函数的角度 对解这三个方程式对解这三个方程式 进行解释吗进行解释吗？ 分分 析析 从函数的角度看，解这三个方程从函数的角度看，解这三个方程 方程方程2x+1=3的解是：的解是：
3、 ； 即当即当 时时，函数函数y=2x+1的值为的值为3，也就是也就是 ； 方程方程2x+1=-1的解是：的解是： ； 即当即当 时时，函数函数y=2x+1的值为的值为-1，也就是也就是 . 方程方程2x+1=0的解是：的解是： ； 即当即当 时时，函数函数y=2x+1的值为的值为0，也就是也就是 ； x=1 x=-1 x=1 y=3 1 2 - x= y=0 x=-1 y=-1 1 2 x= 方程方程 函数函数 发发 现现 从函数的角度看，解这从函数的角度看，解这3个个 方程相当于在一次函数方程相当于在一次函数y=2x+1 的函数值分别为的函数值分别为3，0，-1时，时， 求自变量求自变量x
4、的值的值. 函数图象如右图所示：函数图象如右图所示： 归归 纳纳 因为任何一个以因为任何一个以x为未知数的为未知数的一元一元 一次方程一次方程都可以都可以变形为变形为ax+b=0(a0)的的 形式形式，所以所以解一元一次方程相当于在解一元一次方程相当于在 某个一次函数某个一次函数y=ax+b(a0)的函数值为的函数值为 0时时，求自变量求自变量x的值的值. 练练 习习 1.直线直线y=2x+b与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(2，0)， 则关于则关于x的方程的方程2x+b=0的解是的解是x= . 2 2 2.若直线若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的面与两坐标轴所围成的面 积是积是24，求常
5、数求常数k的值的值. 解：设直线解：设直线y=kx+6与与x轴和轴和y轴分别交于点轴分别交于点A、B. 令令y=0，得得x= ， - k 6 令令x=0，得得y= 6， A( ，0)，B(0，6). - k 6 S= OA OB = 6=24 1 2 1 2 - k 6 k = 3 4 k = 3 4 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式 知识点知识点 2 例例2 3x+22 3x+20 3x+22 3x+20 3x+22的解是：的解是： ； 即当即当 时时，函数函数 ； 不等式不等式3x+2-1的解是：的解是： ； 即当即当 时时，函数函数 . 不等式不等式3x+20 y=3x+
6、22 - 2 3 x - 2 3 x y=3x+20 x-1 y=3x+20 x2 3x+20 3x+22 3x+20 3x+20 或或ax+b0(a0)的形式，所以的形式，所以解一元解一元 一次不等式相当于在某个一次函数一次不等式相当于在某个一次函数 y=ax+b(a0)的值大于的值大于0或小于或小于0时，时， 求自变量求自变量x的取值范围的取值范围. 练练 习习 在直角坐标系中在直角坐标系中，直线直线y=kx+3(k0)过点过点 (2，2)，且与且与x轴轴、y轴分别交于轴分别交于A、B两点两点，求求 不等式不等式kx+30的解集的解集. 解：解：直线直线y=kx+3(k0)过点过点(2，2
7、)， 2k+3=2，解得解得k= . 1 2 函数的解析式为函数的解析式为y= x+3. 1 2 当当y=0时时， x+3=0，解得解得x=6，则则A(6，0) 1 2 不等式不等式kx+30的解集为的解集为x6. 一次函数与二元一次方程组一次函数与二元一次方程组 知识点知识点 3 例例3 1号探测气球从海拔号探测气球从海拔5m处出发处出发，以以 1m/min的速度上升的速度上升.与此同时与此同时，2号探测气球从海号探测气球从海 拔拔15m处出发处出发，以以0.5m/min的速度上升的速度上升.两个气球两个气球 都上升了都上升了1小时小时. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的用式子分别表示
8、两个气球所在位置的 海拔海拔(单位：米单位：米)关于上升时间关于上升时间(单位：分钟单位：分钟)的的 函数关系；函数关系； (1)气球上升时间满足气球上升时间满足 . 分析：分析： 1号气球的函数解析式为号气球的函数解析式为 ； 2号气球的函数解析式为号气球的函数解析式为 . 0 x 60 y=x+5 y=0.5x+15 (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高在某个时刻两个气球能否位于同一高 度度?如果能如果能，这时气球上升了多长时间这时气球上升了多长时间？位于位于 什么高度什么高度？ 分析：分析： (2)在某个时刻两个气球位于同一高度，在某个时刻两个气球位于同一高度， 就是说对于就是说对于x
9、的某个值的某个值(0 x60)，函数，函数 y=x+5和和y=0.5x+15有相同的值有相同的值y.则只需则只需 求出求出x和和y的值的值. 容易想到解二元一次方程组：容易想到解二元一次方程组： y=x+5， y=0.5x+15， 即：即： x-y=-5， 0.5x-y=-15， 解得：解得： x=20， y=25， 这就是说，当上升这就是说，当上升20min时，时， 两个气球都位于海拔两个气球都位于海拔25m的高度的高度. 函数表达式函数表达式 方程组方程组 一般地一般地，因为每个含有未知数因为每个含有未知数x和和y的二元一的二元一 次方程次方程，都可以改写为都可以改写为( )的形式的形式，
10、所以每所以每 个这样的方程都对应一个一次函数个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对于是也对 应应 .这条直线上每个点的坐标这条直线上每个点的坐标(x ，y)都都 是这个二元一次方程的解是这个二元一次方程的解. y y= =kxkx+ +b b 一条直线一条直线 从从“数数”的角度看：的角度看：解二元一次方程组解二元一次方程组， 相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相相 等等，以及这个函数值是多少；以及这个函数值是多少； 从从“形形”的角度看：的角度看：解二元一次方程组解二元一次方程组， 相当于确定相当于确定两条直线两条直线的交点坐标的交点坐标.因此因此
11、，我们可我们可 以用画一次函数图象的方法得到方程组的解以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 发发 现现 考虑下面两种移动电话计费方式：考虑下面两种移动电话计费方式： 发现发现 练练 习习 方式一方式一 方式二方式二 月租费月租费/(元元/月月) 30 0 本地通话费本地通话费/(元元/min) 0.30 0.40 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：设通话时间为解：设通话时间为x分，若按“方式一”计分，若按“方式一”计 费方式，则收取费用费方式，则收取费用y=30+0.3x；若按“方式二”；若按“方式二” 计费方式收取费用，则收取费用计费方式
12、收取费用，则收取费用y=0.4x.在同一直在同一直 角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图：角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图： 得：得： x=300， y=120， 解方程组：解方程组： y=30+0.3x， y=0.4x， 所以两图象交于点所以两图象交于点(300，120)， 当当x=300时，时，30+0.3x=0.4x， 即当一个月内通话时间等于即当一个月内通话时间等于300分钟分钟 时，选择两种计费方式费用相等时，选择两种计费方式费用相等. 误误 区区 诊诊 断断 已知直线已知直线y=-2x-1与直线与直线y=3x+m相交于第三相交于第三 象限象限，求求m得取值范围得取值
13、范围. 误误 区区 不能正确理解图象导致错解不等式不能正确理解图象导致错解不等式 错解：错解： 直线直线y=-2x-1与直线与直线y=3x+m相交于第三象限，相交于第三象限， 直线直线y=3x+m经过第三象限，经过第三象限， m0. 正解：正解： 由题意得：由题意得： 交点在第三象限，交点在第三象限， y=-2x-1， y=3x+m， 解得：解得： x= ， y= ， m - 1 5 m 23 5 0， 0， m - 1 5 m 23 5 解得：解得：-1m 3 2 错因分析：错因分析：两条直线相交于第三象限并两条直线相交于第三象限并 不代表直线不代表直线y=kx+b中的中的b0的解集；的解集
14、； 由图象可得：当由图象可得：当x-3时时，函数函数y=2x+6的的 图象在图象在x轴上方轴上方. 不等式不等式2x+60的解集为的解集为x-3； 4.函数函数y=2x+6的图象如图的图象如图，利用图象：利用图象： (3)若若-1y3，求求x的取值范围的取值范围. 由图象可得：函数图象过由图象可得：函数图象过F (-1.5，3)，G(-3.5，-1)两点两点， 当当-3.5x-1.5时时，函数函数y=2x+6 的函数值满足的函数值满足-1y3， x的取值范围是的取值范围是-3.5x-1.5. 综合应用 5.已知一次函数已知一次函数y=kx+b(k、b为常数为常数，且且k0) 的图象的图象(如图
15、如图). (1)方程方程kx+b=0的解为的解为 ， 不等式不等式kx+b4的解集为的解集为 ； x=2 x0 (3)在在(2)的条件下的条件下，比较比较mx与与 kx+b的大小的大小(直接写出结果直接写出结果). 解：当解：当x1时时，kx+bmx； 当当x=1时时，kx+b=mx； 当当x1时时，kx+bmx. (2)正比例函数正比例函数y=mx(m为常数为常数，且且m0)与与 一次函数一次函数y=kx+b相交于点相交于点P(如图如图)，则不等则不等 式组式组 的解集为的解集为 ； mx0， kx+b0， 0 x2 课堂小结 一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式 1.解一元一次方程
16、解一元一次方程：相当于在某个一次函数：相当于在某个一次函数 y=ax+b(a0)的的函数值为函数值为0时时，求自变量求自变量x的的值值. 2.解一元一次不等式：解一元一次不等式：相当于在某个一次函相当于在某个一次函 数数y=ax+b(a0)的值的值大于大于0或小于或小于0时时，求自变量求自变量x 的的取值范围取值范围. 课堂小结 一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式 3.解二元一次方程组解二元一次方程组：从：从“数数”的角度看相的角度看相 当于求当于求自变量为何值自变量为何值时相应的时相应的两个函数值相等两个函数值相等， 以及这个函数值是多少；以及这个函数值是多少； 从从“形形”的角度
17、看相当的角度看相当 于于确定两条直线的交点坐标确定两条直线的交点坐标. 请你根据图中图象所提供的信息解答下面请你根据图中图象所提供的信息解答下面 问题：问题： 拓展延伸 (1)分别写出分别写出a1、a2中变中变 量量y随随x变化而变化的情况；变化而变化的情况； a1：y随随x的增大而增大；的增大而增大； a2：y随随x的增大而减小；的增大而减小； (2)求出一个二元一次方程组求出一个二元一次方程组，使它满足使它满足 图象中的两条直线的位置图象中的两条直线的位置. 求满足图象中的两条求满足图象中的两条 直线的位置的一个二元一直线的位置的一个二元一 次方程组次方程组，即为求直线即为求直线a1、 a2的解析式的解析式. a1过点过点P(1，1)和点和点(0，-1)， 设直线设直线a1的解析式为的解析式为y=kx+b(k0). 同理同理，a2的解析式为的解析式为y= x+ . k+b=1， b=-1， 解得：解得： k=2， b=-1， 1 2 3 2 a1的解析式为的解析式为y=2x-1. 所求二元一次方程组为所求二元一次方程组为 y=2x-1， y= x+ . 1 2 3 2 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题. 课后作业
