1、八年级八年级 下册下册 第第17章章 小结与复习小结与复习 1、掌握勾股定理和逆定理，理解原命题、逆命、掌握勾股定理和逆定理，理解原命题、逆命 题、逆定理的概念及关系题、逆定理的概念及关系 2、熟练掌握勾股定理及逆定理的应用、熟练掌握勾股定理及逆定理的应用 理清脉络理清脉络 构建框架构建框架 勾股定理勾股定理 直角三角形边直角三角形边 长的数量关系长的数量关系 勾股定理勾股定理 的逆定理的逆定理 直角三角直角三角 形的判定形的判定 互逆定理互逆定理 课前认真阅读课前认真阅读37页小结的内容，注意：页小结的内容，注意： 1、本章的知识结构图中体现了那些知识点之间、本章的知识结构图中体现了那些知识
2、点之间 的关系的关系 2、在“回顾与思考”中提到的一个数学方法是、在“回顾与思考”中提到的一个数学方法是 什么？什么？ 3、带着“回顾与思考”中的、带着“回顾与思考”中的5个问题快速浏览个问题快速浏览 课本课本22页至页至34页的内容页的内容 知识点一：勾股定理知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边a、b的平方和等的平方和等 于斜边于斜边c的平方。（即：的平方。（即：a2+b2c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角要点诠释：勾股定理反映了直角三角 形三边之间的关系，是直角三角形的重要形三边之间的关系，是直角三角形的重要 性质之一，其主要应用：（性质之一，其主要应用：（1）已
3、知直角三）已知直角三 角形的两边求第三边（角形的两边求第三边（2）已知直角三角形）已知直角三角形 的一边与另两边的比例关系，求直角三角的一边与另两边的比例关系，求直角三角 形的另两边（形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线）利用勾股定理可以证明线 段平方关系的问题段平方关系的问题 1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B =90，一直角边为一直角边为a， 斜边为斜边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足c2 = . 【思考思考】为什么不是为什么不是 ？ 222 bac （一）知两边或一边一角型（一）知两边或一边一角型 勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用 答案：因为B 所对的边是
4、斜边. 答案： 222 abc 2.在RtABC中，C=90. . （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b= ； （3）如果c=13，b=12，则a= ； （4）已知b=3，A=30，求a，c. 答案:（4）a= ，c= . 5 8 5 3 2 3 c b a 1.如图，已知在ABC 中，B =90，若BC4 ， ABx ，AC=8- -x，则AB= , ,AC= . 2.在RtABC C 中中, ,B=90，b=34, ,a:c=8:15, ,则 a= , , c= . 3 5 16 30 （二）知一边及另两边关系型（二）知一边及另两边关系型 （方程思想）
5、（方程思想） 1. 1. 对三角形边的分类对三角形边的分类. . 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，求 第三条边的长 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以 4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论 答案：5 cm或 cm. （三）分类讨论的题型（三）分类讨论的题型 7 已知：在已知：在ABC中，中，AB15 15 cm，AC13 13 cm，高，高AD12 12 cm， 求求S ABC 答案：答案：第第1 1种情况：如图种情况：如图1 1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股中，分别由勾股 定理，得定理，得BD9 9，CD5 5，所以，所以BCBD
6、+ + CD9+59+51414 故故S ABC 8484（cmcm2 2） 第第2 2种情况，如图种情况，如图2 2，可得：，可得：S ABC=24 =24（ cmcm2 2 ） ） 2. 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. . Zxxk 图图1 图图2 1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大 树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒 下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担 心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到 张大爷的房子吗？（ ） A一定丌会 B可能会 C一定会 D以上答案都丌对 A 用勾股定理解决简单的实际问题用勾股定理解决简单的实际问题 2 2:
7、:如图 如图, ,一圆柱高一圆柱高8 8cm,cm,底面半径底面半径2 2cm,cm,一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A 爬到点爬到点B B处吃食处吃食, ,沿表面爬行的最短路程沿表面爬行的最短路程( ( 取取3 3）是是 ( ( ) ) A A. .2020cmcm B B. .1010cmcm C C. .1414cmcm D D. .无法确定无法确定 B B 8 O A 2 蛋糕 A C B 周长的一半 3 3、已知：如图，、已知：如图，ABCABC的周长是的周长是 24,C=9024,C=90, ,且且 b=6,b=6,则三角形的面积则三角形的面积 是多少是多少? ? 解：解： 周长是周长
8、是24，且，且b=6 a+c=24-6=18 设设a=x,则则c=18-x C=90, a a2+b+b2=c=c2 x x2+6+62=(18=(18- -x)x)2 解得：解得：x=8 A C B c b a 【点评点评】利用勾股定理解题决实际问题时，利用勾股定理解题决实际问题时， 基本步骤是什么？基本步骤是什么？Zxxk 1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角 形形. 2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. . 3.3.根据已知和所求，利用勾股定理建立方程解决问题根据已知和所求，利用勾股定理建立方程
9、解决问题 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边 是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画 弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无 理数，在原点右边的点表示是正无理数. 知识点二：利用勾股定理尺规作图知识点二：利用勾股定理尺规作图 0 1 2 3 4 l A B C 1.你能在数轴上画出表示 的点吗？ 17 1 17 ? 一用、一用、勾股定理，定直角边大小 二找、二找、两直角边的位置 三作三作、作垂线 四画、四画、画弧线找交点 知识点三：勾股定理的逆定理知识点三：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：如果三角形的三边长
10、：a、b、c，则有，则有 关系关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三，那么这个三角形是直角三 角形。角形。 要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角 形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2 a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形 （若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三 角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。 勾股定理逆定理的直接应用勾股定理逆定理的直接应用 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7 C 2.已知a、
11、b、c是ABC三边的长，且满足关系式 ，则ABC的形状是 _ 等腰直角三角形 222 0cabca+-+-= 3. 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点， CD=1，BC 5 ，BD=2 （1）求证：BCD是直角三角形； （2）求ABC的面积 （1）证明：CD=1，BC 5 ，BD=2， CD2+BD2=25 BC2=25，CD2+BD2=BC2 BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在RtADB中，AB2=AD2+BD2， x2=(x-1)2+22， 解得 5 . 2 x 1155 2. 2222 ABC SAC BD 用到了方 程的思想 会用勾股定理及逆定理解决
12、综合的问题会用勾股定理及逆定理解决综合的问题 知识点四：知识点四：1、勾股定理与勾股定理逆定理、勾股定理与勾股定理逆定理 的区别与联系的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质 定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾 股定理与其逆定理的题设和结论正好相反， 都与直角三角形有关。 2、互逆命题的概念、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另 一个命题的结论和题设，这样的两个命题 叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命 题，那么另一个叫做它的逆命题。 写出下列命题的逆命题，并判断其真假写出下列命题的逆命题，并判断其真假. . 2、等腰三角形是等边三角形、等腰三角形是等边三角形. 3、如果一
13、个整数的个位数字是、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整，那么这个整 数能被数能被5整除整除. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补逆命题：两直线平行，同旁内角互补. .真命题真命题 逆命题：等边三角形是等腰三角形逆命题：等边三角形是等腰三角形. .真命题真命题 逆命题：如果一个整数能被逆命题：如果一个整数能被5 5整除，那么这个整整除，那么这个整 数的个位数字是数的个位数字是5. 5.假命题假命题 1、同旁内角互补，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行. 布置作业布置作业 老师根据自己学生的实际情况布置老师根据自己学生的实际情况布置 教材教材67页探究页探究2：如图如图,一架长为一架长为 1
14、0m的梯子的梯子AB斜靠在墙上斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m. 问题：如果梯子的顶端下滑问题：如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动那么它的底端是否也滑动1 m? B D A C O 变式一：变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC 会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD? 变式二 变式二：如果设梯子的长度为如果设梯子的长度为c米，米，AO=b米，米，BO=a米，请米，请 用含用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑 的距离的距离AC会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD? 2、折叠矩形、折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC 边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求 1.CF 2.EC. A B C D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X
