1、矩形矩形中的折叠问题教学设计中的折叠问题教学设计 一、一、 内容和内容解析内容和内容解析 （一）（一） 内容内容 人教版八年级下册人教版八年级下册矩形矩形中的折叠问题中的折叠问题 （二）（二） 内容解析内容解析 在初中数学中，在初中数学中，矩形矩形的折叠问题是我们常见的一种数学问题，也是初的折叠问题是我们常见的一种数学问题，也是初 中数学教材中的一个重要内容。在中考中，常常以选择、填空的形式出现，这中数学教材中的一个重要内容。在中考中，常常以选择、填空的形式出现，这 类问题经常通过折叠操作来考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象类问题经常通过折叠操作来考查学生的数、形结合的数学思想方法和
2、空间想象 能力，这类题目能力，这类题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系 中激发兴趣，体会数学学习的快乐。中激发兴趣，体会数学学习的快乐。矩形矩形的折叠问题，实质上是轴对称问题。的折叠问题，实质上是轴对称问题。 解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形，确确 定其中对应角相等、对应线段相等定其中对应角相等、对应线段相等，折痕平分线段、平分角等条件，然后找到，折痕平分线段、平分角等条件，然后找到 对应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利
3、用方程思想解决问题。对应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。 二、二、 教学目标教学目标 1. 掌握轴对称性质、几何图形（特殊三角形、掌握轴对称性质、几何图形（特殊三角形、特殊特殊四边形）的性质等知识；四边形）的性质等知识； 2. 能够借助勾股定理解决能够借助勾股定理解决矩形问矩形问题中的折叠问题题中的折叠问题. 三、三、教学重难点教学重难点 教学重点：解决教学重点：解决矩形矩形中的折叠问题；中的折叠问题； 教学难点：教学难点：综合运用知识找出或构造基本图形，挖掘综合运用知识找出或构造基本图形，挖掘矩形矩形折叠问题中角度折叠问题中角度 和线段的数量关系和线段的数量关系. 四
4、、四、教学过程教学过程 教学过程教学过程 教学内容教学内容 设计意图设计意图 1.情境引入情境引入 折叠问题折叠问题 1.动画演示四边形动画演示四边形 ABCD 沿着沿着 AC 折叠，让点折叠，让点 D 与点与点 A 重合，重合， 对称轴两边有怎样的特点？对称轴两边有怎样的特点？ 2.如图，有一张直角三角形的纸片，直角边如图，有一张直角三角形的纸片，直角边 AC=12，BC=9， 将斜边将斜边 AB 翻折，使点翻折，使点 B 落在直角边落在直角边 AC 的延长线上的点的延长线上的点 E 处，折痕是处，折痕是 AD，求线段求线段 CD 的长的长. 分析：分析： 1. 图中全等的图形有哪些？图中全
5、等的图形有哪些？ 2. 图中相等的线段有哪些？图中相等的线段有哪些？ 总结：总结： 学 生 初 遇 翻 折 问学 生 初 遇 翻 折 问 题，往往一片茫然，题，往往一片茫然， 但但通过动画演示，通过动画演示， 让学生透过现象看让学生透过现象看 本质：本质：折叠即为轴折叠即为轴 对称，是一种对称，是一种全等全等 变换，有相等的线变换，有相等的线 段。如果求线段的段。如果求线段的 长度，可利用已知长度，可利用已知 条件和折叠条件和折叠，找到，找到 相 应 的 直 角 三 角相 应 的 直 角 三 角 形，通过设未知数，形，通过设未知数， 用勾股定理建立方用勾股定理建立方 程，利用方程思想程，利用方
6、程思想 解决问题解决问题. 折叠折叠即为轴对称，一般先根据即为轴对称，一般先根据已知条件及已知条件及轴对称的性质，得出相关边轴对称的性质，得出相关边 的长度，的长度，再找到相应的直角三角形，通过设未知数，再找到相应的直角三角形，通过设未知数，用用勾股定理建立勾股定理建立 方程，方程，再再利用方程思想解决问题利用方程思想解决问题. 2.2.例题讲解例题讲解 本题考查 例例 1 如图，如图，折叠矩形折叠矩形 ABCD，让点，让点 B 落在对角线落在对角线 AC 上，上， 若若 AD=4，AB=3，求线段，求线段 EF 的长的长. 例例 2.如图，矩形如图，矩形 ABCD 中，点中，点 E 在边在边
7、 AB 上，上，将矩形将矩形 ABCD 沿直线沿直线 DE 折叠，点折叠，点 A 恰好落在边恰好落在边 BC 的点的点 F 处若处若 AD 10，CD8，求求 EF 的长的长. 总结：总结： 折叠问题， 应当从轴对称图形和背景图形入手， 找出全折叠问题， 应当从轴对称图形和背景图形入手， 找出全 等图形、相等的线段等，这是解决问题的基本条件等图形、相等的线段等，这是解决问题的基本条件. 例例 1 考查考查了折叠问了折叠问 题、勾股定理和矩题、勾股定理和矩 形的性质；解题中，形的性质；解题中， 找准相等的量是正找准相等的量是正 确 解 答 题 目 的 关确 解 答 题 目 的 关 键键. . 在
8、矩形中，求长度在矩形中，求长度 就要把折叠和勾股就要把折叠和勾股 定 理 紧 密 联 系 起定 理 紧 密 联 系 起 来；读题视图，要来；读题视图，要 会寻找图形折叠前会寻找图形折叠前 后 的 变 量 和 不 变后 的 变 量 和 不 变 量，选择恰当的直量，选择恰当的直 角三角形，利用勾角三角形，利用勾 股 定 理 去 建 立 方股 定 理 去 建 立 方 程，解方程，进一程，解方程，进一 步解决相关问题步解决相关问题. 例例 3 3 在矩形纸片在矩形纸片 ABCD 中中，按如图方式折叠按如图方式折叠，使点使点 B 与与 点点 D 重合，折痕为重合，折痕为 EF. （1 1）线段的计算线段
9、的计算 若若 A AB B3 3，A AD D9 9，求，求 AEAE 的长的长. . （2 2）线段的计算线段的计算 若若 A AB B3 3，A AD D9 9，求，求 B BF F 的长的长. . （3 3）面积的计算面积的计算 若若 ABAB3 3，ADAD9 9，求，求: :四边形四边形 DEBFDEBF 的面积的面积 此题目此题目的设计，达的设计，达 到学生能够熟悉利到学生能够熟悉利 用勾股定理，建立用勾股定理，建立 方程的解题方法和方程的解题方法和 思路思路. . 一题多变：一题多变： 将矩形按不同要求将矩形按不同要求 进行折叠，就会产进行折叠，就会产 生丰富多彩的几何生丰富多彩
10、的几何 问题，而这些问题问题，而这些问题 中往往融入了中往往融入了丰富丰富 的对称思想， 综合了三的对称思想， 综合了三 角形、 四边形的诸多知角形、 四边形的诸多知 识， 千变万化， 趣味性识， 千变万化， 趣味性 很强很强. （4 4）折痕）折痕的的计算计算 若若 A AB B3 3，A AD D9 9，求，求 EFEF 的长的长 总结：总结： 一题多变一题多变，由简到难，通过折叠，由简到难，通过折叠，找出全等图形找出全等图形、相等的线、相等的线 段以及特殊图形；段以及特殊图形；求线段长度时可先求线段长度时可先找到相应的直角三角找到相应的直角三角 形，通过设未知数，利用勾股定理列方程，形，
11、通过设未知数，利用勾股定理列方程，解方程来求出；解方程来求出； 若是求面积及折痕，可以若是求面积及折痕，可以通过构造直角三角形或者利用等积通过构造直角三角形或者利用等积 法来进行法来进行. . 本环节的设计，调本环节的设计，调 动学生的积极性动学生的积极性. . 培养学生挖掘图形培养学生挖掘图形 的 所 有 价 值 的 能的 所 有 价 值 的 能 力力. .通过及时的帮通过及时的帮 助学生梳理知识和助学生梳理知识和 方法，掌握解题方方法，掌握解题方 法和技巧，进一步法和技巧，进一步 培养学生分析问题培养学生分析问题 和和 解解 决 问 题 的 能决 问 题 的 能 力力. . 3.3.课堂练
12、习课堂练习 基础练习基础练习 1.1.如图，将矩形如图，将矩形 ABCDABCD（ABABADAD）沿着）沿着 BDBD 折叠，点折叠，点 C C 落在点落在点 E E 处，且处，且 BEBE 交交 ADAD 于点于点 F F，若，若 AB=4AB=4，BC=8BC=8， 求求 DFDF 的长的长. . 2.2.如图，有一块矩形纸片如图，有一块矩形纸片 ABCDABCD，AB=8AB=8，AD=6AD=6将纸片折将纸片折 叠，使得叠，使得 ADAD 边落在边落在 ABAB 边上，折痕为边上，折痕为 AEAE，再将，再将AEDAED 沿沿 DEDE 向右翻折，向右翻折，AEAE 与与 BCBC
13、的交点为的交点为 F F，求，求 CFCF 的长的长. . 在矩形中，求长度在矩形中，求长度 就要把折叠和勾股就要把折叠和勾股 定 理 紧 密 联 系 起定 理 紧 密 联 系 起 来；如果角平分线来；如果角平分线 和平行线相交，一和平行线相交，一 定有特殊三角形；定有特殊三角形； 求长度，要会寻找求长度，要会寻找 图形折叠前后的变图形折叠前后的变 量和不变量，选择量和不变量，选择 恰 当 的 直 角 三 角恰 当 的 直 角 三 角 形，利用勾股定理形，利用勾股定理 去建立方程，解方去建立方程，解方 程，进一步解决相程，进一步解决相 关问题，从而内化关问题，从而内化 本 节 课 的 知 识
14、体本 节 课 的 知 识 体 系，并熟练运用系，并熟练运用. . 巩固提高巩固提高 3.3. 将菱形纸片将菱形纸片 ABCDABCD 折叠，使点折叠，使点 A A 恰好落在菱形的对角线恰好落在菱形的对角线 交点交点 O O 处，折痕为处，折痕为 EFEF，若菱形的边长，若菱形的边长 为为 2 2，A=120A=120，求，求 EF EF 的长的长. . 4 4. .如图，如图，正方形纸片正方形纸片 ABCDABCD 的边长为的边长为 3 3，点，点 E E、F F 分别在边分别在边 BCBC、CDCD 上，将上，将 ABAB、ADAD 分别和分别和 AEAE、AFAF 折叠，点折叠，点 B B
15、、D D 恰好恰好 都将在点都将在点 G G 处，已知处，已知 BE=1BE=1，求，求 EFEF 的长的长. . 矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题 同样适用于菱形和同样适用于菱形和 正 方 形 的 折 叠 问正 方 形 的 折 叠 问 题，只要题，只要会寻找变会寻找变 量和不变量，会选量和不变量，会选 择恰当的直角三角择恰当的直角三角 形，利用勾股定理，形，利用勾股定理， 一 切 问 题 都 可一 切 问 题 都 可 解解 决决. . 4.4.课堂小结：课堂小结： 1.1. 矩形的折叠一般有以下几种情况：矩形的折叠一般有以下几种情况： 2.2. 通过折叠，找出全等图形、相等的线段、相等的、以
16、通过折叠，找出全等图形、相等的线段、相等的、以 及特殊图形；及特殊图形； 3.3. 找到相应的直角三角形，通过设未知数，利用勾股定找到相应的直角三角形，通过设未知数，利用勾股定 理列方程，理列方程，解方程，解方程，进一步进一步求求解；解； 4. 几何图形当中的折叠，都可以用矩形的折叠去分析，几何图形当中的折叠，都可以用矩形的折叠去分析， 去去解决解决. . 折叠大致可分为以折叠大致可分为以 下三种情况：下三种情况： 1.折叠后点落在三折叠后点落在三 角形内部，落在对角形内部，落在对 角线上，落在一边角线上，落在一边 是，落在三角形外是，落在三角形外 部；部； 2.折叠后边与边重折叠后边与边重
17、合合 3.折叠后点与点重折叠后点与点重 合合 五布置作业五布置作业： 课时作业：基础练习及巩固练习课时作业：基础练习及巩固练习 六教学反思六教学反思： 今后的学习中，但凡出现折叠问题，我们要有一定的今后的学习中，但凡出现折叠问题，我们要有一定的 解题思路：解题思路： 首先：应当从折叠产生的轴对称图形和背景图形入首先：应当从折叠产生的轴对称图形和背景图形入 手，找出全等图形、相等的线段、相等的角以及特殊图形手，找出全等图形、相等的线段、相等的角以及特殊图形 等，这是解决问题的基本条件；等，这是解决问题的基本条件； 其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有其次，根据这些基本条件，再结合我们在
18、几何中已有 的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、 等腰三角形等特殊图形；等腰三角形等特殊图形； 最后，在特殊图形中借助勾股定理，运用方程思想，最后，在特殊图形中借助勾股定理，运用方程思想， 解决最终问题解决最终问题. 其实，图形的折叠题型变化多端，但万变不离其宗，其实，图形的折叠题型变化多端，但万变不离其宗， 只要我们掌握了解决问题的一般思路，所有的题也就迎刃只要我们掌握了解决问题的一般思路，所有的题也就迎刃 而解了。而解了。 七板书设计七板书设计： 几何图形中的折叠问题几何图形中的折叠问题 三角形的折叠三角形的折叠 矩形的折叠矩形的折叠 图中全等的图形有图中全等的图形有： （1）若若EFDEFD7575，求，求AED.AED. 图中相等的角线段有：图中相等的角线段有： （2）若若 ADAD3 3，ABAB9 9，求，求 AEAE. . 图中相等的线段有图中相等的线段有： （3 3）若若 AD3，AB9，求：四边形，求：四边形 DEBF 的面积的面积 （4）若）若 AD3，AB9，求，求 EF. 小结：小结：
