1、平行四边形的性质平行四边形的性质 【课时安排】【课时安排】 2 课时 【第一课时】【第一课时】 【教学目标】【教学目标】 1理解平行四边形的概念。 2探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质。 3初步体会几何研究的一般思路与方法。 【教学重【教学重难难点】点】 通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形对边相等、对角相等的性质。 【教学过程】【教学过程】 一、观察抽象，理解概念。 1引言。 前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法， 本节开始，我们继续研究生活中的常见图形。 观察下列图片，它们是什么几何图形的形象？ 师生活动：学生积极踊跃发言，教师用
2、电脑演示从实物中抽象出平行四边形的过程。 你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？ 师生活动：教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念：两组对边分别平行的四形 叫做平行四边形。说明定义的两方面作用：既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依 据。介绍平行四边形的表示方法。 2猜想证明，探究性质。 回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么？ 师生活动：学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等三角形的学习过程，得出研究 的一般过程： 先给出定义， 再研究性质和判定。 教师进一步指出： 性质的研究， 其实就是对边、 角等基本要素的研究。 平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质
3、和两组对边分别平行外，还有什 么特殊的性质呢？ 师生活动：教师引导学生通过观察、度量、提出猜想。 猜想 1：四边形 ABCD 是平行四边形 AB=CD，AD=BC。 猜想 2：四边形 ABCD 是平行四边形A=C，B=D。 追问 1：你能证明这些结论吗？ 师生活动： 一般地， 学生会先考虑分别证明这两个结论， 利用平行线的性质证明对角相等， 教师引导添加辅助线，利用三角形全等证明对边相等。证后会发现用全等可以同时证明这两个 结论。 设计意图：让学生领悟，证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法。而图形 中没有三角形，只有四边形，我们需要添加辅助线，构造全等三角形，将四边形问题转化为三
4、角形问题来解决，突破难点，进而总结提炼出化四边形问题化三角形问题的基本思路。 追问 2：通过证明，发现上述两个猜想正确。这样得到平行四边形的两个重要性质。你能 说出这两个命题的题设与结论，并运用这两个性质进行推理吗？ 师生活动：教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式： 四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ， AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等） ， A=C，B=D（平行四边形的对角相等） 。 设计意图：把性质由文字语言转化为符号语言。 二、应用知识，解决问题。 1如图，在 ABCD 中，DEAB，BFCD，垂足分别为 E、F。求证：AE=CF。 师生活动
5、：师生交流，要证明线段相等，我们可以利用全等三角形性质，而全等的条件可 由平行四边形的性质得到，在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评。本题 也可以先用定义证明四边形 DEBF 是平行四边形，得到 BE=DF，再证 AE=CF。 追问：DE=BF 吗？如图，直线 a 平行直线 b，A、D 为直线 a 上任意两点，点 A 到直线 b 的距离和点 D 到直线 b 的距离相等吗？为什么？ 师生活动：结合前面分析，可以得出如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条 直线的距离都相等。此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念。 2如图，在 ABCD 中，AE=CF。 求证：AF=CE。
6、 师生活动：师生交流，要证 AF=CE，需证ADFCBE，由于四边形 ABCD 是平行四 边形，因此有D=B，AD=BC，AB=CD，又 AE=CF，根据等式性质，可得 BE=DF。由“边 角边”可得出所需要的结论。引导学生写出证明过程。 三、开放探究，发散思维。 在 ABCD 中，AC 是平行四边形 ABCD 的对角线。 （1）请你说出图中的相等的角、相等的线段； （2）对角线 AC 需添加一个什么条件，能使平行四边形 ABCD 的四条边相等？ 师生活动：学生认真读题、思考、分析、讨论，得出有关结论。 因为平行四边形的对边相等，对角相等，所以 AB=CD，AD=BC，DAB=BCD，B= D
7、，又因为平行四边形的两组对边分别平行，所以DAC=BCA，DCA=BAC。 教师根据学生回答，板书有关正确的结论。 解决第（2）个问题时，学生思考、交流、讨论得出：只要添加 AC 平分DAB 即可。 并说明理由：因为平行四边形的两组对边分别平行，所以DCA=BAC，而DAC= BAC，所以DCA=DAC，所以 AD=DC，又因为平行四边形的对边相等，所以 AB=DC=AD=BC。 四、反思与小结。 1本节课我们学习了哪些知识？ 2你觉得对一个几何图形的研究的一般思路是什么？ 3对于平行四边形，你觉得还需要进一步研究什么？ 【第二【第二课时】课时】 【教学目标】【教学目标】 1理解平行四边形中心
8、对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质。 2能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题。 3培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力。 【教学重点】【教学重点】 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质。 【教学难【教学难点】点】 1能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题。 2培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力。 【教学过程】【教学过程】 一、教学设计与师生互动 第一步：课堂引入 1复习提问： （1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： （2）平行四边形的性质： 具有一般四边形的性质（
9、内角和是？） 。 角：平行四边形的对角相等，邻角互补。 边：平行四边形的对边相等。 第二步：探究新知： 【探究】 ： 请学生在纸上画两个全等的四边形ABCD和四边形EFGH， 并连接对角线AC、 BD和EG、 HF，设它们分别交于点 O，把这两个平行四边形落在一起，在点 O 处钉一个图钉，将四边形 ABCD 绕点 O 旋转，观察它还和四边形 EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四 边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？ 【结论】 （1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的高：在平行四边形中，从
10、一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足 间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平 行四边形的高这里所说的“底”是相对高而言的。 平行四边形的面积等于它的底和高的积，即 Sah（其中 a 可以是平行四边形的任何一 边，h 必须是 a 边与其对边的距离，即对应的高） 。 注意：如图（1）要避免学生发生如图（2）的错误。为了区别，有时也可以把高记成 ha， 表明它们所对应的底是 a。 第二步：应用举例： 例 1（补充）已知：如图平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于点 E、F。 求证：OE
11、OF，AE=CF，BE=DF。 证明：在 ABCD 中，ABCD， 12，34。 又 OAOC(平行四边形的对角线互相平分)， AOECOF（ASA） 。 OEOF，AE=CF（全等三角形对应边相等） 。 ABCD 是平行四边形，AB=CD（平行四边形对边相等） 。 ABAE=CDCF，即 BE=FD。 【引申】 若例 1 中的条件都不变， 将 EF 转动到图 b 的位置， 那么例 1 的结论是否成立？ 若将 EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图 c 和图 d） ，例 1 的结论是否 成立，说明你的理由。 解略 例 2 （教材例 2） 已知平行四边形 ABCD 是平行四边形
12、， AB10cm， AD8cm， ACBC， 求 BC、CD、AC、OA 的长以及平行四边形 ABCD 的面积。 分析：由平行四边形的对边相等，可得 BC、CD 的长，在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 AC 的长。再由平行四边形的对角线互相平 分可求得 OA 的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的 面积=底高（高为此底上的高） ，可求得 ABCD 的面积 （平行四边形的面积小学学过，再 次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底” ， “底”确定后，高也 就随之确定了平行四边形的面积计算。 解略（参看教材） 。 第三步：随堂练习 1在平行四边形中，周长等于 4
13、8， 已知一边长 12，求各边的长； 已知 AB=2BC，求各边的长。 已知对角线 AC、BD 交于点 O，AOD 与AOB 的周长的差是 10，求各边的长 2如图， ABCD 中，AEBD，EAD=60，AE=2cm， AC+BD=14cm，则OBC 的周长是_cm。 3判断对错 （1）在平行四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，则 AO=OB=OC=OD。 （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。 （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等。 （ ） （4）平行四边形是轴对称图。 （ ） 4在平行四边形 ABCD 中，AC6、BD4，则 AB 的范围是_。 5在平行四边形 ABCD 中，已知 AB、BC、CD 三条边的长度分别为（x+3） ， （x-4）和 16，则这个四边形的周长是 。 6公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB 15cm，AD12cm，ACBC，求小路 BC，CD，OC 的长，并算出绿地的面积。
