1、第二讲第二讲 函数的定义域、值域函数的定义域、值域 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的定义域 函数 yf(x)的定义域 1求定义域的步骤： (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出) 2求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为 R. (2)分式函数中分母_不等于 0_. (3)偶次根式函数被开方式_大于或等于 0_. (4)一次函数、二次函数的定义域均为_R_. (5)函数 f(x)x0的定义域为_x|x0_. (6)指数函数的定义域为_R_. (7)对数函数的定义域为_(0，)_. 知识点二
2、函数的值域 基本初等函数的值域： 1ykxb(k0)的值域是_R_. 2yax2bxc(a0)的值域是：当 a0 时，值域为_ y y4acb 2 4a _；当 a0 且 a1)的值域是_(0，)_. 5ylogax(a0 且 a1)的值域是_R_. 归 纳 拓 展 1定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应 该用并集符号“”连接 2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的_并 集_. 3函数 f(x)与 f(xa)(a 为常数 a0)的值域相同 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( ) (2)函数 y x x1定义域为 x1.( ) (3)函数 yf(x)定义域为1,2，则 yf(x)f(x)定义域为1,1( ) (4)函数 ylog2(x2xa)的值域为 R，则 a 的取值范围为 ，1 4 .( ) (5)求函数 y x23 x22的值域时有以下四种解法判断哪种解法是正确的 解法一(不等式法)：y x23 x22 x 22 1 x222，值域为2，)( ) 解法二(判别式法)：设 x22t(t 2)，则 yt1 t，即 t 2ty10，tR， y240，y2 或 y2(舍去)( ) 解法三(配方法)：令 x22t(
4、t 2)，则 yt1 t t 1 t 222.( ) 解法四(单调性法)：易证 yt1 t在 t 2时是增函数，所以 t 2时，ymin 3 2 2 ，故 y 3 2 2 ， .( ) 解析 (4)ylog2(x2xa)值域为 R 应满足 0，即 14a0，a1 4. 题组二 走进教材 2(必修 1P17例 1 改编)函数 f(x) 2x1 1 x2的定义域为( C ) A0,2) B(2，) C0,2)(2，) D(，2)(2，) 解析 使函数有意义满足 2x10 x20 ，解得 x0 且 x2，故选 C 3(必修 1P32T5 改编)函数 f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B
5、 ) Af 3 2 ，f 3 2 Bf(0)，f 3 2 Cf 3 2 ，f(0) Df(0)，f(3) 4(必修 1P39BT1 改编)已知函数 f(x)x9 x，x2,4的值域为_ 6，13 2 _. 解析 当 x3 时取得最小值 6，当 x2 取得最大值13 2 ，值域为 6，13 2 . 题组三 走向高考 5(2020 北京，11,5 分)函数 f(x) 1 x1ln x 的定义域是_(0，)_. 解析 要使函数 f(x)有意义，则 x10， x0， 故 x0，因此函数 f(x)的定义域为(0，) 6(2016 北京，5 分)函数 f(x) x x1(x2)的最大值为_2_. 解析 解
6、法一： (分离常数法)f(x) x x1 x11 x1 1 1 x1， x2， x11,0 1 x1 1，1 1 x1(1,2，故当 x2 时，函数 f(x) x x1取得最大值 2. 解法二：(反解法)令 y x x1，xyyx，x y y1.x2， y y12， y y12 2y y10，解得 1y2，故函数 f(x)的最大值为 2. 解法三：(导数法)f(x) x x1，f(x) x1x x12 1 x120， x10， x0， 解得1x0 或 0 x0， x11， 解得1x0 或 0 x3，所以函数的定义域为(1,0)(0,3 角度 2 求抽象函数的定义域 例 2 已知函数 f(x)的
7、定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为( B ) A(1,1) B 1，1 2 C(1,0) D 1 2，1 分析 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同 解析 由函数 f(x)的定义域为(1,0)，则使函数 f(2x1)有意义，需满足12x10， 解得1x1 2，即所求函数的定义域为 1，1 2 . 引申 1若将本例中 f(x)与 f(2x1)互换，结果如何？ 解析 f(2x1)的定义域为(1,0)，即1x0， 12x10， lnx10， 4x20， 得10，所以 xa 2，所以 a 21，得 a2.故选 D (3)因为 yf(x21)的定义域为 3， 3，所以
8、x 3， 3，x211,2，所以 y f(x)的定义域为1,2 考点二 求函数的值域师生共研 例 3 求下列函数的值域 (1)y1|x| 1|x|； (2)y 2x2x3； (3)yx 2x1 x ； (4)yx 12x； (5)yx 1x2； (6)y|x1|x2|. 解析 (1)解法一：分离常数法： y1|x| 1|x|1 2 1|x|， |x|0，|x|11，0 2 |x|12. 11 2 1|x|1. 即函数值域为(1,1 解法二：反解法： 由 y1|x| 1|x|，得|x| 1y 1y. |x|0，1y 1y0，1y1，即函数值域(1,1 (2)解法一：配方法：y2 x1 4 225
9、 8 ， 0y5 2 4 ，值域为 0，5 2 4 . 解法二：复合函数法： y t，t2x2x3， 由 t2x2x3，解得 t25 8 ， 又y t有意义，0t25 8 ， 0y5 2 4 ，值域为 0，5 2 4 . (3)yx 2x1 x x1 x1 解法一：基本不等式法 由 yx1 x1(x0)，得 y1x 1 x. x1 x |x| 1 x 2|x| 1 x 2， |y1|2，即 y1 或 y3.即函数值域为(，13，) 解法二：判别式法 由 yx 2x1 x ，得 x2(1y)x10. 方程有实根，(1y)240. 即(y1)24，y12 或 y12. 得 y1 或 y3.即函数的
10、值域为(，13，) 解法三：导数法(单调性法) 令 y1 1 x2 x1x1 x2 0， 得1x0 或 0 x1. 函数在(0,1)上递减，在(1，)上递增，此时 y3； 函数在(1,0)上递减，在(，1)上递增，此时 y1. y1 或 y3. 即函数值域为(，13，) (4)解法一：换元法 设12xt(t0)，得 x1t 2 2 ， y1t 2 2 t1 2(t1) 211 2(t0)， y ，1 2 .即函数的值域为 ，1 2 . 解法二：单调性法 12x0，x1 2，定义域为 ，1 2 .又函数 yx，y 12x在 ，1 2 上 均单调递增，y1 2 121 2 1 2，y ，1 2 .
11、 (5)三角换元法： 设 xsin ， 2， 2 ， ysin cos 2sin 4 ， 2， 2 ， 4 4， 3 4 ， sin( 4) 2 2 ，1 ，y1， 2 (6)解法一：绝对值不等式法： 由于|x1|x2|(x1)(x2)|3， 所以函数值域为3，) 解法二：数形结合法： y 2x1x2. 画出此分段函数的图象如图，可知值域为3，) 名师点拨 求函数值域的一般方法 (1)分离常数法：形如 ycxd axb(a0)的函数；如例 3(1) (2)反解法：形如 ycfxd afxb(a0，f(x)值域易求)的函数；如例 3(1) (3)配方法：形如 yaf2(x)bf(x)c(a0)的
12、函数；如例 3(2) (4)不等式法；如例 3(3) (5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域 (6)换元法： 形如 yaxb cxd(c0)的函数； 如例 3(4)； 形如 yaxb c2x2(c0) 的函数采用三角换元，如例 3(5) (7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例 3(6) (8)导数法 变式训练 2 (理)求下列函数的值域： (1)y1x 2 1x2； (2)yx4 1x； (3)y2x 2x1 2x1 x1 2 . (文)函数 yx 22x3 x1 (x1)的值域为_2 64，)_. 解析 (理)(1)解法一：y1x 2 1x21 2 1x2，
13、因为 x20，所以 x211，所以 0 2 1x22. 所以11 2 1x21. 即函数的值域为(1,1 解法二：由 y1x 2 1x2，得 x 21y 1y. 因为 x20，所以1y 1y0. 所以11 2，所以 x 1 20， 所以 x1 2 1 2 x1 2 2 x1 2 1 2 x1 2 2， 当且仅当 x1 2 1 2 x1 2 ，即 x1 2 2 时取等号 所以 y 21 2，即原函数的值域为 21 2， . 导数法：y4x 24x1 2x12 ， y 在 1 2， 1 2 2 递减，在 1 2 2 ， 递增， y 21 2. (文)换元法： 令 x1t0，xt1. yt1 22t
14、13 t t 24t6 t t6 t42 64，当且仅当“t 6 t”时等号成立 即 t 6时，取最小值 2 64. 函数 yx 22x3 x1 (x1)的值域为2 64，) 名师讲坛 素养提升 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围 例 4 已知函数 f(x)lg (a21)x2(a1)x1 (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围 分析 (1)由 f(x)的定义域为 R 知(a21)x2(a1) x10 的解集为 R，即(a21)x2(a 1)x10 恒成立； (2)由 f(x)的值域为 R 知(a21)x2(a1)
15、x1 能取所有正数， 即 y(a21)x2(a1)x1 图象的开口向上且与 x 轴必有交点 解析 (1)依题意(a21)x2(a1)x10， 对一切 xR 恒成立，当 a210 时，其充要条件是 a210， a124a211或a5 3或a1. a5 3.又 a1 时，f(x)10，满足题意 a1 或 a5 3. (2)依题意， 只要 t(a21)x2(a1)x1 能取到(0， )上的任何值， 则 f(x)的值域为 R， 故有 a210，0，解得1a5 3，又当 a 210，即 a1 时，t2x1 符合题意；a 1 时不合题意，10， 6m24mm80， 解得 0m1， m 的取值范围是0,1 (2)由 x23x425 4 得 x3 2；由 x 23x44，得 x0 或 x3，又函数 yx23x 4 的定义域为0，m，值域为 25 4 ，4 ，3 2m3. 另：由 yx23x4 x3 2 225 4 ，3 2m3.
