1、第十三讲第十三讲 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 定积分的运算 1定积分的概念、几何意义和性质 (1)定积分的定义及相关概念： 定义：一般地，如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixn b，将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)， 作和式 n i1f(i)x n i1 ba n f(i)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作 a bf(x)dx. 相关概念：在 a bf(x)dx 中，a 与 b
2、 分别叫做积分下限与积分上限，区间_a，b_叫做 积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做_积分变量_，_f(x)dx_叫做被积式 (2)其定义体现求定积分的四个步骤： _分割_；_近似代替_；_取和_；_取极限_. (3)定积分的几何意义： f(x) a bf(x)dx 的几何意义 f(x)0 表示由直线_xa_，_xb_，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形 的面积 f(x)0 表示由直线_xa_，_xb_，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形 的面积的相反数 f(x)在a，b 上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 (3)定积分的性质：
3、 a bkf(x)dx_k a bf(x)dx_(k 为常数) a bf1(x) f2(x)dx_ a bf1(x)dx a bf2(x)dx_. _ a bf(x)dx_ a cf(x)dx c bf(x)dx(其中 acb) 2微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 a bf(x)dx_F(b) F(a)_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式 知识点二 定积分的应用 1定积分与曲边梯形面积的关系： 设阴影部分的面积为 S. (1)S a bf(x)dx. (2)S_ a bf(x)dx_. (3)S_ a cf(x)dx
4、c bf(x)dx_. (4)S a bf(x)dx a bg(x)dx a bf(x)g(x)dx. 2定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系 (1)作变速直线运动的物体所经过的路程 s， 等于其速度函数 vv(t)v(t)0在时间区间a， b上的定积分，即 s_ a bvtdt_ . (2)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 xa 移 动到 xb(ab)，那么变力 F(x)所做的功 W_ a bF(x)dx_. 归 纳 拓 展 两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分 的值为
5、负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时， 定积分的值为 零 (2)函数 f(x)在闭区间a，a上连续，则有 若 f(x)为偶函数，则 a a f(x)dx2 0 af(x)dx. 若 f(x)为奇函数，则 a a f(x)dx0. 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数 yf(x)在区间a，b上连续，则 a bf(x)dx a bftdt ( ) (2)若 a bf(x)dx0， 则由 yf(x)， xa， xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方 ( ) (3) b adx a bdtba(a，
6、b 为常数，且 a0)( ) 解析 对于(1)，因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限，而与积分变 量用什么字母表示无关，故(1)正确；对于(2)，因为积分小于 0，未必图形一定在 x 轴下方， 故(2)错误；对于(3)由于 b adxab， a bdtba，所以(3)错；对于(4)，由定积分的几何意义 知， 1 0 1x2dx 与 0 1 1x2dx都表示半径为 1 的圆的面积的1 4，所以都等于 4，故(4)正确； 只有当函数 f(x)为偶函数时，才有 a a f(x)dx2 0 afxdx ，所以(5)错误 题组二 走进教材 2(选修 22P55BT2 改编)若 0 1f(x
7、)dx1， 0 2f(x)dx1，则 1 2f(x)dx( B ) A2 B2 C0 D1 解析 0 2f(x)dx 0 1f(x)dx 1 2f(x)dx， 1 2f(x)dx 0 2f(x)dx 0 1f(x)dx112. 故选 B 3(选修 22P55BT1 改编)若 a 0 2x2dx，b 0 2x3dx，c 0 2sin xdx ，则 a，b，c 的大小关 系是( D ) Aacb Babc Ccba Dcab 解析 由微积分基本定理得 a 0 2x2dx 1 3x 3 | 2 08 3，b 0 2x3dx 1 4x 4 | 2 04，c 0 2sin xdx(cos x)| 2 0
8、1cos 22，则 ca0)所围成的曲边图形的面积为4 3， 则 k_2_. 解析 由 yx2， ykx 得 x0， y0 或 xk， yk2， 则曲线 yx2与直线 ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为 0 k(kxx2)dx k 2x 21 3x 3 | k 0 k3 2 1 3k 34 3， 即 k38，所以 k2. 角度 3 定积分在物理中的应用 例 4 物体 A 以 v3t21(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直线 l 上，且在 物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为(
9、 C ) A3 B4 C5 D6 解析 因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 0 t(3t21)dt， 物体 B 在 t 秒内行驶的路程为 0 t 10tdt，所以 0 t(3t2110t)dt(t3t5t2)| t 0t3t5t25， 整理得(t5)(t21)0，解得 t5. 名师点拨 (1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：画草图；求曲线的交点定出积分上、 下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算用微积分基 本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性 (2)根据平面图形的面积求参数的求解策略：先利用定积分求出平面图形的面积，
10、再据条 件构建方程(不等式)求解 (3)做变速运动的物体经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)(v0)在时间区间a，b上的 定积分，也就是 s a bv(t)dt.需根据题意写出函数 vv(t)，确定时间区间，用定积分求解 物体作变速直线运动的速度 v，等于加速度函数 aa(t)在时间区间a，b上的定积分 a b a(t)dt. (4)如果力 F(x)使得物体沿力的方向由 xa 运动到 xb(ab)， 那么力 F(x)对物体所作的功 W a bF(x)dx. 变式训练 1 (1)(角度 1)(2021 宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是( D ) A2 3 B2 3 C35 3 D32
11、3 (2)(角度 2)(2020 山东聊城地区联考)若定积分 2 t x22xdx 4，则 m 等于( A ) A1 B0 C1 D2 (3)(角度 3)设变力 F(x)作用在质点 M 上， 使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10， 已知 F(x) x21 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_342_J(x 的单位：m；力 的单位：N) 解析 (1)由题意得 S 3 1 (3x22x)dx 3x1 3x 3x21 332 3 . (2)根据定积分的几何意义知，定积分 2 m x22xdx 的值，就是函数 y x22x的图 象与 x 轴及直线 x2，xm 所
12、围成图形的面积，y x22x是一个半径为 1 的半圆，其 面积等于 2，而 2 m x22xdx 4，即在区间2，m上该函数图象应为 1 4个圆，于是得 m 1.故选 A (3)变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为 W 1 10F(x)dx 1 10(x21)dx 1 3x 3x10 1342(J) 名师讲坛 素养提升 用变换积分变量法求平面图形面积 例 5 抛物线 y24x 与直线 y2x4 围成的平面图形的面积是_9_. 解析 解法一：(选 x 为积分变量)由 y24x， y2x4 得 x1， y2 或 x4， y4. 画出草图如图所示 选用
13、 x 为积分变量，所求画积为 0 12 x(2 x)dx 1 4(2 x2x4)dx 42 3x 3 2| 1 022 3x 3 2| 4 1x2| 4 14x| 4 1 8 3 32 3 4 3 (161)(164)9. 解法二：选用 y 为积分变量，这时所求的面积为 2 4 (1 2y2 1 4y 2)dy 1 4y 22y1 12y 34 2 9. 名师点拨 通过本例可知选择合适的积分变量可简化运算 变式训练 2 (2020 天津市红桥区高三上学期期中)如图所示，由抛物线 y2x 和直线 x1 所围成的图 形的面积等于( B ) A1 B4 3 C2 3 D1 3 解析 选用 y 作积分变量 ，S 1 1 (1y2)dy y1 3y 31 14 3，故选 B
