1、第四讲第四讲 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有_f(x)f(x)_， 那么函数 f(x) 是偶函数 都有_f(x)f(x)_， 那么函 数 f(x)是奇函数 图象特征 关于_y 轴_对称 关于_原点_对称 知识点二 函数的周期性 1周期函数 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有_f(x T)f(x)_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所
2、有周期中存在一个_最小的正数_，那么这个_最小正数_就叫 做 f(x)的最小正周期 归 纳 拓 展 1奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(x)f(x)f(x)f(x)0fx fx 1(f(x)0)f(x)为偶函数； (2)f(x)f(x)f(x)f(x)0fx fx 1(f(x)0)f(x)为奇函数 2对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x，最小正周期为 T (1)若 f(xa)f(x)，则 T2|a|； (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2|a|； (3)若 f(xa)f(xb)，则 T|ab|. 3函数图象的对称关系 (1)若函数 f(x)满足关系 f(ax)f(bx)，则 f(x
3、)的图象关于直线 xab 2 对称； (2)若函数 f(x)满足关系 f(ax)f(bx)，则 f(x)的图象关于点 ab 2 ，0 对称 4一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x)axa x 为偶函数，函数 f(x)axa x为奇函数； (2)函数 f(x)a xax axa xa 2x1 a2x1为奇函数； (3)函数 f(x)loga bx bx为奇函数； (4)函数 f(x)loga(x x21)为奇函数 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yx2，x(0，)是偶函数( ) (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)
4、0.( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称( ) (4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称( ) (5)2 是函数 f(x)sin x，x(，0)的一个周期( ) 题组二 走进教材 2(必修 1P35例 5 改编)下列函数中为奇函数的序号是_；偶函数的序号是_ _. f(x)2x43x2；f(x)x32x； f(x)x 21 x ；f(x)x31； yx2sin x；y|ln x|. 3(必修 1P45T5 改编)若函数 yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f(x)图象上的是
5、( B ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 解析 函数 yf(x)为奇函数，f(a)f(a) 即点(a，f(a)一定在函数 yf(x)的图象上 4(必修 1P45T6 改编)若奇函数 f(x)在区间a，b上是减函数，则它在b，a上是_减 _函数；若偶函数 f(x)在区间a，b上是增函数，则它在b，a上是_减_函数 5(必修 4P46T10 改编)已知函数 f(x)满足 f(x3)f(x)，当 x0,1时，f(x)log3(x23)， 则 f(2 022)_1_. 题组三 走向高考 6(2020 江苏，7,5 分)已知 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f
6、(x)x 2 3 ，则 f(8)的值是_ 4_. 解析 由函数 f(x)是奇函数得 f(8)f(8)8 2 3 (23) 2 3 4. 7(2020 课标，9,5 分)设函数 f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)( D ) A是偶函数，且在 1 2， 单调递增 B是奇函数，且在 1 2， 1 2 单调递减 C是偶函数，且在 ，1 2 单调递增 D是奇函数，且在 ，1 2 单调递减 解析 由 |2x1|0， |2x1|0 x 1 2， 函数 f(x)的定义域为 x x 1 2，xR ， 关于原点对 称， 又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f
7、(x)是奇函数，排除 A、C；当 x 1 2， 1 2 时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20， f(x)在 1 2， 1 2 单调递增，排除 B；当 x ，1 2 时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20， x2x，x0； (5)f(x) 1x2 |x2|2； (6)已知函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x) f(y)，且 f(0)0. 分析 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的 先化简，计算 f(x)，再判断 f(x)
8、与 f(x)之间的关系抽象函数常用赋值法判断 解析 (1)由题意得1x 1x0 且 x1， 10 时，f(x)x2x， 则当 x0，故 f(x)x2xf(x)； 当 x0 时，x0.从而有 f(x) 1x2 x22 1x2 x ，这时有 f(x) 1x2 x 1x2 x f(x)，故 f(x)为奇函数 (6)已知对任意 x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x) f(y)，不妨取 x0，y0，则有 2f(0) 2f(0)2，因为 f(0)0，所以 f(0)1. 取 x0，得 f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)， 所以 f(y)f(y)又 yR，所以函数 f(x)是偶函数 名师点拨
9、 判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函 数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的区间， 再判断 f(x)是否等于 f(x)或f(x)， 据此得出结论 (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或 y 轴)对称 (3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函 数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为 奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 考向 2 函数的性质的综合应用多维探究 角度 1 利用奇偶性求参数的值或取
10、值范围 例 2 (1)已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，则 ab( B ) A1 3 B1 3 C1 2 D1 2 (2)已知 f(x)a 2 3 2x1是 R 上的奇函数，则 f(a)的值为( A ) A7 6 B1 3 C2 5 D2 3 解析 (1)依题意 b0，且 2a(a1)0， a1 3，则 ab 1 3. (2)因为 f(x)a 2 3 2x1是 R 上的奇函数， 所以 f(0) a 2 3 20， 得 a3， 所以 f(x) 3 2 3 2x1. 所以 f(a)f(3)3 2 3 9 7 6.故选 A 角度 2 函数奇偶性与单调性结合 例 3 (1)(20
11、20 全国新高考，8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(，0)单调递减，且 f(2)0，则满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是( D ) A1,13，) B3，10,1 C1,01，) D1,01,3 (2)(2021 新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x 1)0， fx10， 即 x0， 2x10 或 x0， 0 x12， 解得1x0 或 1x3.故选 D (2)由 yf(x)图象知，x 离 y 轴越近，函数值越小，因此，|2x1|1 3，解得 1 3x 2 3，故选 A 角度 3 函数奇偶性与周期性结合 例 4 已知 f(x)是定义在 R
12、上的偶函数，并且 f(x3) 1 fx，当 1x3 时，f(x) cos x 3 ，则 f(2 022)_1_. 分析 先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把 f(2 022)转化为 f(0)，进而 转化为 f(3)，把 x3 代入即可 解析 由已知可得 f(x6)f(x3)3 1 fx3 1 1 fx f(x)，故函数 f(x)的周期 为 6， f(2 022)f(63370)f(0) 又 f(x) 1 fx3， f(0) 1 f3 1 cos 1 f(2 022)1. 角度 4 单调性、奇偶性和周期性结合 例 5 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)且在区
13、间0,2上是增函数， 则( D ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 分析 解析 因为 f(x)满足 f(x4)f(x)， 所以 f(x8)f(x)， 所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数， 则 f(25)f(1)， f(80)f(0)， f(11)f(3) 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x4)f(x)，得 f(11)f(3)f(1)f(1) 因为 f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数， 所以 f(x)在区间2,2上是增函数， 所以 f(1)f
14、(0)f(1)，即 f(25)f(80)f(11) 名师点拨 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1函数单调性与奇偶性结合注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象 的对称性 2周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，然后利用奇偶性和单调性求解 变式训练 1 (1)(角度 1)(2019 北京，13,5 分)设函数 f(x)exae x(a 为常数)若 f(x)为奇函数，则 a _1_. (2)(角度 2)(20
15、20 郴州第二次数学质量检测)已知 f(x)是定义在2b,1b上的偶函数，且在 2b,0上为增函数，则 f(x1)f(2x)的解集为( B ) A 1，2 3 B 1，1 3 C1，1 D 1 3，1 (3)(角度 3)(2018 课标全国)已知 f(x)是定义域为(， )的奇函数， 满足 f(1x)f(1 x)，若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)( C ) A50 B0 C2 D50 (4)(理)(角度 4)(2021 湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x6)f(x)，且 yf(x3)为偶函数，若 f(x)在(0,3)内单
16、调递减，则下面结论正确的是 ( B ) Af(4.5)f(3.5)f(12.5) Bf(3.5)f(4.5)f(12.5) Cf(12.5)f(3.5)f(4.5) Df(3.5)f(12.5)x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 解析 (1)f(x)exae x 为奇函数， f(x)f(x)0， 即 e xaexexaex0， (a1)(exe x)0，a1. (2)f(x)是定义在2b,1b上的偶函数， 2b1b0，b1， f(x)在2b,0上为增函数， 即函数 f(x)在2,0上为增函数， 故函数 f(x)在(0,2上为减函数， 则由 f(x1)
17、f(2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2， 解得1x1 3. 又因为定义域为2,2，所以 2x12， 22x2， 解得 1x3， 1x1. 1x1 3. (3)f(x)是奇函数，且 f(1x)f(1x)， f(1x)f(1x)f(x1)，f(0)0， 则 f(x2)f(x)，则 f(x4)f(x2)f(x)，即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数， f(1)2， f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2， f(4)f(0)0， 则 f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 则 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)f(1
18、)f(2)20 2，故选 C (4)(理)易知函数 f(x)的最小正周期 T6，f(x)的图象关于直线 x3 对称，f(3.5)f(2.5)， f(4.5)f(1.5)，f(12.5)f(0.5)又 f(x)在(0,3)内单调递减，f(3.5)f(4.5)x11 时，f(x2)f(x1)(x2 x1)0 恒成立，知 f(x)在(1，)上单调递减 125 2f 5 2 f(e)，bac. 考点二 函数的周期性自主练透 例 6 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 3，且对任意的 x 都有 f(x2) 1 fx，则 f(2 022)_2 3_. (2)已知定义在 R 上周期为
19、3 的奇函数 f(x)，则 f(1.5) _0_. (3)设 f(x)是周期为 2 的偶函数，当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，当4x3 时，f(x) _2(x4)(x3)_，当 2 021x2 022 时，f(x)_2(2 022x)(x2 021)_. 解析 (1)f(x) 1 fx2f(x4)， yf(x)的周期 T4， f(2 022)f(45052)f(2)2 3. (2)f(1.5)f(1.5)f(1.53)f(1.5)， f(1.5)0. (3)设4x3，则 0 x41， f(x)f(x4)2(x4)1(x4)2(x4)(x3)， 设 2021x2 022，则 02 022
20、x0，给出下列命题： 直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴； 函数 yf(x)在9，6上为增函数； 函数 yf(x)在9,9上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_. 解析 对于任意 xR，都有 f(x6)f(x)f(3)成立，令 x3，则 f(36)f( 3)f(3)，又因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(3)0.所以 f(x6)f(x)，所以 f(x)的周期为 6， 又因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以 f(x6)f(x)， 而 f(x)的周期为 6， 所以 f(x6)f(6x)， f(x)f(x6)，所以 f(6x)f(6x)，所以直线 x6 是函数 yf(x)
21、的图象的一条对 称轴，故正确当 x1，x20,3，且 x1x2时，都有fx1fx2 x1x2 0，所以函数 yf(x)在0,3 上为增函数，因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以函数 yf(x)在3,0上为减函数，而 f(x)的周期 为 6，所以函数 yf(x)在9，6上为减函数，故错误，f(3)0，f(x)的周期为 6，所以 f(9)f(3)f(3)f(9)0，函数 yf(x)在9,9上有四个零点，故正确 名师点拨 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往 需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单 调性解决相关问题
22、变式训练 2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f x3 2 f(x)0， 且函数 yf x3 4 为奇函数， 给出下列命题： 函数 f(x)的最小正周期是3 2；函数 yf(x)的图象关于点 3 4，0 对称；函数 yf(x)的图 象关于 y 轴对称其中真命题的个数是( C ) A0 B1 C2 D3 解析 由 f x3 2 f(x)0 知 f(x)为周期函数，且周期为 3，故不正确； 由函数 yf x3 4 为奇函数，知 f(x)关于 3 4，0 对称，故正确； 由 f(x)关于 3 4，0 对称，可知 f(x)f 3 2x 0，又 f x3 2 f(x)0，f 3 2x f x3 2 ， f(x)f(x)， 或f x3 4 是奇函数， f x3 4 f x3 4 ，又 f x3 2 f(x)0， 即 f x3 2 fx f x3 4 f x3 4 3 2 f x3 4 f x3 4 即 f(x)f(x) f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故正确
