1、第五讲第五讲 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 定义：若直线 l 与平面 内的_任意_一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直 判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交_直线都垂直，则该直线与此平面垂 直(线线垂直线面垂直)即：a，_b_，la，lb，abPl 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行_即：a，b_ab_ (2)直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角_，叫做这条斜线和这个平 面所成的角 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0
2、_，若直线与平面垂直，直 线与平面所成角为_ 2_ 线面角 的范围： 0， 2 知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的_两个半平面_所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂 直_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角 的范围：0， (2)平面与平面垂直 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相 垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a_ _ 性质定理： 两个平面垂直， 则一个平面内垂直于_交线_的直线与另一个平面垂直 即： ，
3、a，b，ab_a_ 归 纳 拓 展 1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的 一个重要方法) 3垂直于同一条直线的两个平面平行 4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若直线 a，b，则 ab( ) (4)若 ，a，则 a( ) (5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与
4、b 垂直( ) (6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 ( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P73T1)下列命题中不正确的是( D ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项均是正确的 题组三 走向高考 3(2017 课标全国)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，
5、E 为棱 CD 的中点，则( C ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析 A1B1平面 BCC1B1，BC1平面 BCC1B1， A1B1BC1，又 BC1B1C，且 B1CA1B1B1， BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD， BC1A1E故选 C 4(2019 北京)已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若 l ，lm，则 m(或若 l，m，则 lm)_ 解析 由 l，m 是平面 外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若 l，lm，
6、则 m，若 l，m，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得 lm，若 l，m， 则 lm，故答案为：若 l，lm，则 m(或若 l，m，则 lm) 5(2020 全国(节选)如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E， 交 AC 于 F 证明：AA1MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F 证明 M，N 分别为 BC，B1C1的中点，MNBB1 又 AA1BB1，MNAA1 在等边ABC 中，M 为 BC 中点，则 BCAM 又侧面 BB1C1C 为矩形，
7、BCBB1 MNBB1，MNBC 由 MNAMM，MN，AM平面 A1AMN BC平面 A1AMN 又B1C1BC，且 B1C1平面 ABC， BC平面 ABC， B1C1平面 ABC 又B1C1平面 EB1C1F， 且平面 EB1C1F平面 ABCEF B1C1EF，EFBC 又BC平面 A1AMN EF平面 A1AMN EF平面 EB1C1F 平面 EB1C1F平面 A1AMN 考点突破 互动探究 考点一 空间垂直关系的基本问题自主练透 例 1 (1)(2021 河北保定七校联考)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的 平面，p：mn，若 p 是 q 的必要条件，则 q 可能是( B
8、 ) Aq：m，n， Bq：m，n， Cq：m，n， Dq：m，n， (2)(2020 陕西汉中质检一)已知 l，m 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面，l ，m，则有下面四个命题：若 ，则 lm，若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm，则 其中所有正确的命题是( A ) A B C D (3)(2021 四川成都诊断)已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的 直线，则下列说法正确的是( C ) A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 ，则 mn C若 m，n，且 ，则 mn D若 m，n，且 ，则 mn 解析 (1)由题知 q 能推出 p： mn 对 A，
9、 当 mn 时仍然可以有 m， n， 故 A 错误对 B，n，则 n，又 m，则 mn故 B 正确对 C，m， 则 m，又 n，故 mn故 C 错误对 D，当 且相交于 m 时，若 nm，也满足 m， n故 D 错误 2l l m lm，对； lm l m m ，对； 由图可知错故选 A (3)由 m，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 相交，或 m 与 n 异面，故 A 错误；由 m ，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误；由 m，得 m，又 n，则 mn，故 C 正确；由 m，n 且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误，
10、故选 C 名师点拨 解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论(2)结合 符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平 移或旋转的线，让其动动再判断(3)否定命题时只需举一个反例即可 变式训练 1 (1)(2021 东北三省三校模拟)已知 ， 是不重合的平面，m，n 是不重合的直线，则 m 的一个充分条件是( C ) Amn，n Bm， Cn，n，m Dn，mn (2)(2021 福建福州调研)已知两条直线 m，n 和两个平面 ，下列命题正确的是( A ) A若 m，n，且 mn，则 B若 m，n，且 mn，则 C若 m，n
11、，且 mn，则 D若 m，n，且 mn，则 解析 (1)对于答案 A：mn，n，得出 m 与 是相交的或是垂直的或 m，故 A 错；答案 B：m，得出 m 与 是相交的、平行的都可，故 B 错；答案 C：n，n ，得出 ，再 m 得出 m，故 C 正确 2m mn n 或 n 若 n，又 n，；若 n，则存在 l 且 ln，又 n，l， 故 A 正确；事实上，在 B 中条件下，、 可能相交；在 C 中条件下，、 可能平行；在 D 的条件下，故选 A 考点二 直线与平面垂直的判定与性质多维探究 角度 1 线、面垂直的判定 例 2 如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB
12、，PC 的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45 ，求证：MN平面 PCD 证明 解法一：(1)连接 AC，AN ，BN， PA平面 ABCD， PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC 中点 AN1 2PC PA平面 ABCD，PABC 又 BCAB ，PAABA， BC平面 PAB，BCPB 从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线， BN1 2PCANBN， ABN 为等腰三角形 又 M 为底边 AB 的中点， MNAB，又 ABCD，MNCD (2)PA平面 ABCD，PAAD 又PDA45 ，APAD 四边形 ABCD 为矩形，ADBC，PABC 连接 PM，
13、CM，又M 为 AB 的中点，AMBM 而PAMCBM90 ，RtPAMRtCBM PMCM，又 N 为 PC 的中点，MNPC 由知 MNCD，PCCDC，MN平面 PCD 解法二：(理)PA平面 ABCD， PAAD，PAAB，又 ABAD， PA、AB、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 不妨设 C(a，b,0)，P(0,0，c)，则 D(0，b,0)，M a 2，0，0 ，N a 2， b 2， c 2 ， (1)由MN 0，b 2， c 2 ，CD (a,0,0)， MN CD 0，MNCD (2)PDA45 ，bc， 又PC (a，b，b)， MN PC 0，b 2， b 2
14、 (a，b，b)0， MNPC，又 MNCD， MN平面 PCD 角度 2 线、面垂直的性质 例 3 (2021 河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， B1C1平面 AA1C1C，D 是 AA1的中点，ACD 是边长为 1 的等边三角形证明：CDB1D 证明 ACD 是边长为 1 的等边三角形， ADC60 ，DA1C1120 D 是 AA1的中点，ACD 的边长为 1， ADA1DA1C11，即A1C1D 是等腰三角形， A1DC130 ，从而CDC190 ，即 CDC1D B1C1平面 AA1C1C，且 CD平面 AA1C1C， B1C1CD B1C1C1D
15、C1，B1C1平面 B1C1D，C1D平面 B1C1D， CD平面 B1C1D B1D平面 B1C1D，CDB1D 名师点拨 1证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系 (2)利用等腰三角形底边中线的性质 (3)利用勾股定理的逆定理 (4)利用直线与平面垂直的性质 (5)(理)向量法：aba b0 2证明线面垂直的常用方法 (1)利用判定定理，它是最常用的思路 (2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面 (3)利用面面垂直的性质： 两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个
16、平面 (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行 变式训练 2 (1)(角度 1)(2020 河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABCA1B1C1 为三棱柱，且 AA1平面 ABC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CDADC60 ，若 AA1AC，求证：AC1平面 A1B1CD (2)(角度 2)(2021 湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱 OQ 的上，下底面圆的圆心分别 为 Q，O，四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的下底面圆周上，G 是 DP 的 中点，圆柱 OQ 的底面圆的直径 AB4，母线 ADAP2 3求证：AGBD 证明 (1)证法
17、 1：AD2CD，ADC 60 ， DCAC，又 AA1平面 ABC，AA1DC DC平面 AA1C1C，又 AC1平面 AA1C1C， DCAC1， AA1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，AC1A1C， 而 DCA1CC，AC1平面 A1B1CD 证法 2：(理)AD2CD，ADC60 ， ACD90 ，则 CD，CA，CC1两两垂直如图，建立空间直角坐标系 Cxyz 不妨设 CD1，则 C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0， 3，0)，C1(0,0， 3)，A1(0， 3， 3) AC1 (0， 3， 3)，CD (1,0,0)，CA1 (0， 3， 3) 易得AC1 CD 0，
18、AC1 CA1 0 AC1CD，AC1CA1，又CDCA1C， AC1平面 A1B1CD (2)证法 1：ADAP，又 G 是 DP 的中点， AGDP AB 为圆 O 的直径，APBP， 易知 DA底面 ABP，DABP，而 ADAPA， BP平面 ADP， 又 AG平面 ADP，BPAG， 由可知：AG平面 BDP，又 BD平面 BDP， AGBD 证法 2：(理)AB 为O 的直径，PAPB，如图建立空间直角坐标系， 由题意知 P(0,0,0)，A(0,2 3，0)，B(2,0,0)，D(0,2 3，2 3)，G(0， 3， 3)， AG (0， 3， 3)，BD (2,2 3，2 3)
19、， AG BD 0，即 AGBD 考点三,两个平面垂直的判定与性质师生共研 例 4 (2020 四川成都二诊)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB4，AA16， E，F 分别为 BB1，AC 的中点 (1)求证：平面 A1EC平面 ACC1A1； (2)求几何体 AA1EBC 的体积 解析 (1)证明： 如图， 连接 AC1交 A1C 于点 O， 连接 OE， OF， 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 ACC1A1为矩形，所以 OAOC1 又因为 F 为 AC 的中点， 所以 OFCC1且 OF1 2CC1 因为 E 为 BB1的中点，所以 BECC1且 BE1 2CC1 所
20、以 BEOF 且 BEOF 所以四边形 BEOF 是平行四边形，所以 BFOE 因为 ABCB，F 为 AC 的中点， 所以 BFAC，所以 OEAC 因为 AA1底面 ABC，所以 AA1BF，所以 OEAA1 又 AA1，AC平面 ACC1A1，且 AA1ACA， 所以 OE平面 ACC1A1 因为 OE平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 ACC1A1 (2)四棱锥 A1EB1C1C 的高为 h4sin 60 2 3， 底面为直角梯形，面积为 S1 2(36)418， 得 VA1EB1C1C1 32 31812 3， 故几何体 AA1EBC 的体积为 VAA1EBCVABCA1B1C1
21、VA1EB1C1C1 244 3 2 6 12 312 3 例 5 (2021 黑龙江大庆市质检)在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， PAPD2，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60 ，E 是 AD 的中点 (1)求证：BE平面 PAD； (2)求点 E 到平面 PAB 的距离 解析 (1)连接 BD，在PAD 中，PAPD2，E 是 AD 的中点， PEAD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， PE平面 ABCD，PEBE， 又四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60 ， ABD 为等边三角形， BEAD， 又PEADE
22、，PE平面 PAD，AD平面 PAD， BE平面 PAD (2)在PAB 中，PAAB2，PB 6，则 SPAB 15 2 ， 在ABE 中，AB2，AE1，BE 3，则 SABE 3 2 ， 由 PE面 ABCD，PE 3，得 VPABE1 3 3 1 21 3 1 2， 由 VPABEVEPAB，设点 E 到平面 PAB 的距离为 h， 则1 3 15 2 h1 3 3 2 3，则 h 15 5 ， 即点 E 到平面 PAB 的距离为 15 5 名师点拨 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交
23、线的垂线，转化 为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 (3) 变式训练 3 (1)(2020 湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，DAB 3，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD，E 为棱 PC 上一点，若平面 EBD 平面 ABCD，则PE EC_ 1 2_ (2)(2021 云南玉海一中期中)已知三棱锥 PABC(如图 1)的展开图如图 2，其中四边形 ABCD 为边长等于 2的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形 证明：平面 PAC平面 ABC 解析 (1)取 AD 的中点 O，连接 OC 交 BD 于 F 点，连接 EF，PA
24、D 是等边三角形， POAD， ODBC，BC2OD，FC2OF 又平面 PAD平面 ABCD，POAD， PO平面 ABCD， 又平面 BDE平面 ABCD，PO平面 BDE OPEF，PE EC OF FC 1 2 故答案为1 2 (2)证明：如图取 AC 的中点 O，连接 BO，PO由题意可知 PAPBPC 2， PO1， AOBOCO1， 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点， POAC 在POB 中，PO1，OB1，PB 2， PO2OB2PB2，POOB ACOBO，AC，OB平面 ABC， PO平面 ABC， PO平面 PAC， 平面 PAC平面 ABC 名师讲坛 素养提
25、升 立体几何中的轨迹问题 例 6 (2021 山东青岛模拟改编)在如图所示的棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中错误的为( C ) A若点 P 总满足 PABD1，则动点 P 的轨迹是一条直线 B若点 P 到点 A 的距离为 2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆 C若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D若点 P 到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线 解析 APABD1，P 在过 A 且与 BD1垂直的平面 ACB1上，又 P平面 BC
26、C1B，P 的 轨迹是平面 ACB1与平面 BCC1B1的交线 B1C，故 A 正确；B点 P 的轨迹是以 A 为球心，半 径为 2的球面与平面 BCC1B1的交线，即点 P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为 r，球心 A 到平 面 BCC1B1的距离为 1，则 r 2211，所以小圆周长 l2r2，故 B 正确；C点 P 到直线 AB 的距离就是点 P 到点 B 的距离，即平面 BCC1B1内的点 P 满足|PB|PC|1|BC|， 即满足条件的点 P 的轨迹就是线段 BC，不是椭 圆，故 C 不正确；D如图，过 P 分别作 PMBC 于点 M，PECC1于点 E，则 PM平 面 ABCD，所以
27、 PMAD，过 M 作 MNAD，连接 PN，PMMNM，所以 AD平面 PMN， 所以 PNAD，如图建立平面直角坐标系，设 P(x，y)，PMy，则 PN21y2，PE2(1x)2， 即 1y2(1x)2，整理为：(x1)2y21，则动点 P 的轨迹是双曲线，故 D 正确故选 C 引申(1)本例中，若点 P 到直线 AB 的距离与到直线 CC1的距离相等，则点 P 的轨迹为_ 以 B 为焦点、CC1为准线的抛物线_ (2)本例中，若点 P 到直线 AB 的距离与到直线 AD 的距离相等，则点 P 的轨迹为_与 BC 距离为 1 的两条平行线_ 名师点拨 立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求 解 变式训练 4 (2021 安徽蚌埠质检)平面 的一条斜线 AP 交平面 于 P 点，过定点 A 的直线 l 与 AP 垂 直，且交平面 于 M 点，则 M 点的轨迹是( A ) A一条直线 B一个圆 C两条平行直线 D两个同心圆 解析 由题意知 M 在过 A 且与 PA 垂直的平面 内，点 M 的轨迹为平面 与 的交 线，故选 A
