1、第十一讲第十一讲 导数的概念及运算导数的概念及运算 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1函数的平均变化率 一般地，已知函数 yf(x)，把式子fx2fx1 x2x1 称为函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率，还 可以表示为y x fx2fx1 x2x1 . 2导数的概念 (1)f(x)在 xx0处的导数就是 f(x)在 xx0处的_瞬时变化率_，记作：y|xx0或 f(x0)， 即 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x . (2)当把上式中的 x0看作变量 x 时，f(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 yf(x) _lim x0 fx
2、xfx x _. 3基本初等函数的导数公式 (1)C_0_(C 为常数)；(2)(xn)_nxn 1_(nQ*) (3)(sin x)_cos x_;_ (4)(cos x)_sin x_； (5)(ax)_axln a_;_ (6)(ex)_ex_； (7)(logax) 1 xln a；(8)(ln x)_ 1 x_. 4导数的运算法则 (1)f(x) g(x)_f(x) g(x)_. (2)f(x) g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_. 特别地：C f(x)_Cf(x)_(C 为常数) (3) fx gx _fxgxfxgx gx2 (g(x)0)_. 5复合函数的导数 复合函
3、数 yfg(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_yxyu ux_. 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 知识点二 导数的几何意义 函数 f(x)在 xx0处的导数就是曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率， 即曲线 yf(x) 在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 kf(x0)，切线方程为_yy0f(x0)(xx0)_. 归 纳 拓 展 1 1 fx fx f2x . 2f(x0)不一定为 0，但f(x0)一定为 0. 3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 4 函数 yf(
4、x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的方向， 其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x)与 f(x0)(x0为常数)表示的意义相同( ) (2)在曲线 yf(x)上某点处的切线与曲线 yf(x)过某点的切线意义相同( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( ) (5) sin 3 cos 3.( ) (6)f(x0)f(x0).( ) (7)(2x)x
5、2x 1.( ) (8)(理)ln(x)1 x.( ) 解析 (2)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线，点 P 在曲线上，而过点 P(x0，y0)的切线， 点 P 可以在曲线外 (3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点 (4)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线 (8)(理)ln(x)1 x(1) 1 x. 题组二 走进教材 2(理)(选修 22P18AT4 改编)(文)(选修 11P85AT4 改编)计算： (1)(x43x31)_4x39x2_； (2)(xex)_exxex_； (3)(sin x cos x)_cos 2x_； (4) 1 ln x _ 1 xl
6、n2x_. 3(理)(选修 22P18AT5 改编)(文)(选修 11P85AT5 改编)已知函数 f(x)2xf(1)xln x， 则 f(1)( C ) Ae B1 C1 De 解析 f(x)2f(1)ln x1， 当 x1 时，f(1)2f(1)1， f(1)1，故选 C 4 (理)(选修 22P3例题改编)(文)(选修 11P3例题改编)在高台跳水运动中， t s 时运动员 相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度 v_9.8t 6.5_m/s，加速度 a_9.8_m/s2. 解析 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8. 题组三 走向高考 5
7、(2020 课标理，6,5 分)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为( B ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 解析 本题考查导数的几何意义 f(x)4x36x2， 则 f(1)2， 易知 f(1)1， 由点斜式可得函数 f(x)的图象在(1， f(1) 处的切线方程为 y(1)2(x1)，即 y2x1.故选 B 6(2019 江苏，5 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_(e,1)_. 解析 设 A(x0，ln x0)，又 y1 x，
8、则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yln x0 1 x0(x x0)，将(e，1)代入得，1ln x0 1 x0(ex0)，化简得 ln x0 e x0，解得 x0e，则点 A 的坐标是(e,1) 考点突破 互动探究 考点一 导数的基本运算师生共研 例 1 (1)求下列函数的导数 yln x1 x； y(2x21)(3x1)； yxsinx 2cos x 2； ycos x ex ； (理)yln 12x2； (理)ye2xcos 3x. (2)若函数 f(x)ln xf(1)x23x4，则 f(3)_14 3 _. 分析 (1)直接求导；化简后再求导；利用商的导数运算法则求解；(
9、理)用 复合函数求导法则求导 (2)先求出 f(1)得出导函数的解析式，再把 x3 代入导函数解析式得 f(3) 解析 (1)y ln x1 x (ln x) 1 x 1 x 1 x2. 因为 y(2x21)(3x1)6x32x23x1， 所以 y(6x32x23x1) (6x3)(2x2)(3x)(1)18x24x3. 另解：y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1) 4x(3x1)3(2x21)12x24x6x23 18x24x3. 因为 yxsinx 2cos x 2x 1 2sin x， 所以 y x1 2sin x x 1 2sin x 11 2cos x. y cos x ex
10、 cos xe xcos xex ex2 sin xcos x ex . (理)yln 12x21 2ln(12x 2)，令 u12x2， 则 yln 12x2由 y1 2ln u 与 u12x 2复合而成， yf(u) u(x) 1 2ln u (12x 2)1 2u (4x) 2x 12x2. (理)y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x) 2e2x cos 3x3e2xsin 3xe2x(2cos 3x3sin 3x) (2)对 f(x)求导，得 f(x)1 x2f(1)x3，所 f(1)12f(1)3，解得 f(1) 4 3，所 以 f(x)1 x 8 3x3，将 x3 代入 f
11、(x)，可得 f(3) 14 3 . 名师点拨 导数计算的原则和方法 (1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求 导 (2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的 结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的 形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角 函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导 变式训练 1 (1)填空 若 y(x1)(x2)(x3)，则 y_3x212x11_； 若 yexln x，则 y_ex 1 xln x _；
12、 若 ytan x，则 y_ 1 cos2x_； (理)若 y(x22x1)e2 x，则 y_(3x2)e2x_； (理)若 yln2x3 x21 ，则 y_2x 212x2x3ln2x3 2x3x212 _. (2)(2020 课标，15,5 分)设函数 f(x) ex xa.若 f(1) e 4，则 a_1_. (3)若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)_2_. (4)(理)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_2_. 解析 (1)y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以 y3x212x11. yexln xex 1 xe
13、x 1 xln x . ytan xsin x cos x，y cos x cos xsin xsin x cos2x cos 2xsin2x cos2x 1 cos2x. (理)y(x22x1)e2 x(x22x1)(e2x) (2x2)e2 x(x22x1) (e2x) (3x2)e2 x. (理)yln2x3x 21ln2x3x21 x212 2x3 2x3 x212xln2x3 x212 2x 212x2x3ln2x3 2x3x212 . (2)f(x)xa1e x xa2 ，则 f(1) ae a12 e 4，解得 a1. (3)f(x)4ax32bx，因为 f(x)为奇函数且 f(
14、1)2，所以 f(1)2.故填2. (4)(理)解法一：令 tex，故 xln t，所以 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所以 f(x)1 x 1，所以 f(1)2. 解法二：f(ex)1ex，f(1)f(e0)1e02.故填 2. 考点二 导数的几何意义多维探究 角度 1 求曲线的切线方程 例 2 已知曲线 f(x)x3x，则 (1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_2xy20_； (2)曲线过点(1,0)的切线方程为_2xy20 或 x4y10_； (3)曲线平行于直线 5xy10 的切线方程为_5xy4 20 或 5xy4 20_. 分析 (1)解决曲线的切线问题直接利用导数
15、的几何意义求切线斜率可得； (2)由于在点 P 处的切线平行于直线 5xy10，则在点 P 处的切线斜率为 5. 解析 f(x)3x21. (1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为 kf(1)2. 所求切线方程为 y2(x1)，即 2xy20. (2)设切点为 P(x0，x30 x0)，则 k切f(x0)3x201， 所求切线方程为 yx30 x0(3x201)(xx0)， 又切线过点(1,0)，x30 x0(3x201)(1x0) 解得 x01 或1 2. 故所求切线方程为 y2(x1)或 y3 8 1 4 x1 2 即 2xy20 或 x4y10. (3)设切点坐标为(x0， x30 x0)
16、， 则 k切3x2015 解得 x0 2， 故切点为( 2， 2)或( 2， 2)所以所求切线方程为 y 25(x 2)或 y 25(x 2)即 5xy4 20 或 5xy 4 20. 名师点拨 求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程和求 曲线过点 P(x0，y0)的切线方程，在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，不 论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点 (2)在点 P 处的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) (3)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步：设出切点坐标
17、P(x1，f(x1)； 第二步：写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程 注：也可利用 f(x1)fx1fx0 x1x0 k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线 角度 2 求切点坐标 例 3 (2021 郑州质量检测)已知曲线 yx 2 23ln x 的一条切线的斜率为 2，则切点的 横坐标为( A ) A3 B2 C1 D1 2 解析 设切点坐标为(x0，y0)，且 x00， 由
18、yx3 x，得 kx0 3 x02，x03. 角度 3 求参数的值(或范围) 例 4 (1)直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab_1_. (2)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是 ( B ) A(，2 B(，2) C(2，) D(0，) 解析 (1)由题意知，yx3axb 的导数为 y3x2a，则 13ab3， 312ak， k13， 由此解得 k2，a1，b3，2ab1. (2)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，即 f(x)2 在(0，) 上有解 所以 f(x)1
19、xa2 在(0，)上有解，则 a2 1 x. 因为 x0，所以 21 x2，所以 a 的取值范围是(，2) 变式训练 2 (1)(角度 1)(2019 全国卷， 5 分)曲线 y2sin xcos x 在点(， 1)处的切线方程为( C ) Axy10 B2xy210 C2xy210 Dxy10 (2)(角度 1)过点(1，1)的曲线 yx32x 的切线方程为_xy20 或 5x4y10_. (3)(角度 2)曲线 y3ln xx2 在点 P0处切线方程为 4xy10，则点 P0的坐标是 ( C ) A(0,1) B(1，1) C(1,3) D(1,0) (4)(角度 3)(2019 全国卷，
20、5 分)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y 2xb，则( D ) Aae，b1 Bae，b1 Cae 1，b1 Dae 1，b1 解析 (1)依题意得 y2cos xsin x，y| x(2cos xsin x)| x2cos sin 2，因此所求的切线方程为 y12(x)，即 2xy210，故选 C (2)设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f(x0)3x202. 故切线方程为 yy0(3x202)(xx0) 即 y(x302x0)(3x202)(xx0) 又知切线过点(1，1)，代入上述方程， 得1(x302x0)(3x202)(1x0) 解得 x01
21、 或 x01 2. 故所求的切线方程为 y1x1 或 y15 4(x1) 即 xy20 或 5x4y10. (3)由题意知 y3 x14，解得 x1， 此时 41y10，解得 y3，故点 P0的坐标是(1,3) (4)因为 yaexln x1，所以 y| x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y ae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1，所以 ae12， b1， 解得 ae 1， b1. 名师讲坛 素养提升 两曲线的公共切线问题 例 5 (2020 黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线， 也是曲线 yln(x1)的切线，则 b( C ) A1
22、 B1 2 C1ln 2 D12ln 2 解析 设 ykxb 与 yln x2 和 yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x2 1) 则切线分别为 yln x12 1 x1(xx1)，yln(x21) 1 x21(xx2) 化简得 y 1 x1xln x11，y 1 x21x x2 x21ln(x21)， 依题意， 1 x1 1 x21 ln x11 x2 x21lnx21 ，解得 x11 2，从而 bln x111ln 2.故选 C 引申本例中两曲线公切线方程为_y2x1ln 2_. 解析 k1 x12，公切线方程为 y2x1ln 2. 名师点拨 同时和曲线 yf(
23、x)、yg(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线设直线与曲线 yf(x) 切于(x1， f(x1)与曲线yg(x)切于(x2， g(x2)， 则切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)， 即yf(x1)x f(x1)f(x1)x1同理 yg(x2)xg(x2)g(x2)x2. fx1gx2 fx1fx1x1gx2gx2x2 ，解 出 x1、x2，从而可得切线方程由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数 变式训练 3 若曲线 yxln x 与曲线 yax2(a2)x1 存在过点(0，1)的公切线，则 a_8_. 解析 设直线 l 与曲线 C：yxln x 切于 P(x0，x0ln x0)，则 k切y|xx01 1 x0. 1 1 x0 x0ln x01 x0 ，解得 x01， 切线 l 的方程为 y2x1. 又直线 l 与曲线 yax2(a2)x1 相切 方程 2x1ax2(a2)x1 即 ax2ax20 的判别式 a28a0， a8 或 0(舍 去)
